Evaluare Națională 2026, matematică: simulare națională ii

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: c)
Efectuăm mai întâi operația de împărțire, conform ordinii operațiilor:
$$9:3=3$$
Apoi efectuăm scăderea:
$$39-3=36$$

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: c)
Prețul unui caiet se află împărțind costul total la numărul de caiete:
$$50:5=10\text{ lei}$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: b)
Numerele naturale din intervalul deschis $(-1,6)$ sunt:
$$\{0,1,2,3,4,5\}$$
Cel mai mare dintre acestea este $5$.

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: b)
O fracție $\frac{a}{b}$ este subunitară dacă numărătorul este strict mai mic decât numitorul ($a<b$).

• $\frac{5}{2}=2,5>1$ (supraunitară)
• $\frac{15}{16}<1$, deoarece $15<16$ (subunitară)
• $\frac{16}{15}>1$ (supraunitară)
• $5>1$ (supraunitară)
  Așadar, fracția căutată este $\frac{15}{16}$.

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: b)
Calculăm numărul $b$ scoțând factorul de sub radical:
$$b=3-\sqrt{8}=3-2\sqrt{2}$$
Suma numerelor $a$ și $b$ este:
$$a+b=(3+2\sqrt{2})+(3-2\sqrt{2})=3+3=6$$
Rezultatul $6$ a fost obținut de Mihaela.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: a)
Dacă prețul inițial este $100$ lei, valoarea scumpirii cu $10\%$ este:
$$10\%\cdot 100=\frac{10}{100}\cdot 100=10\text{ lei}$$
Prețul după scumpire devine:
$$100+10=110\text{ lei}$$
Acesta coincide cu prețul din enunț, deci afirmația Anei este adevărată.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: a)
Lungimea segmentului $BC$ este jumătate din $AB$:
$$BC=\frac{AB}{2}=\frac{20}{2}=10\text{ cm}$$
Punctul $D$ este simetricul lui $B$ față de $C$, ceea ce înseamnă că $C$ este mijlocul segmentului $BD$, adică:
$$CD=BC=10\text{ cm}$$
Cum punctele sunt coliniare în ordinea $A,B,C,D$, avem:
$$AD=AB+BC+CD=20+10+10=40\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: a)
Dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele tăiate de secanta $BC$, iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a secantei $BC$. Unghiurile $\sphericalangle ABC$ și $\sphericalangle BCD$ sunt unghiuri alterne interne.
Prin urmare, ele sunt congruente:
$$\sphericalangle ABC=\sphericalangle BCD=45^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: c)
În triunghiul $AEC$, avem $AE=CE$, deci triunghiul este isoscel cu baza $AC$, de unde rezultă că $\sphericalangle EAC=\sphericalangle ECA$.
Unghiul $\sphericalangle BEA$ este unghi exterior triunghiului $AEC$, deci măsura lui este egală cu suma unghiurilor neadiacente:
$$\sphericalangle BEA=\sphericalangle EAC+\sphericalangle ECA=2\cdot \sphericalangle C$$
$$2\cdot \sphericalangle C=78^{\circ }⟹\sphericalangle C=39^{\circ }$$
Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $AB=AC$, deci:
$$\sphericalangle B=\sphericalangle C=39^{\circ }$$
Măsura unghiului $\sphericalangle CAB$ este:
$$\sphericalangle CAB=180^{\circ }-(\sphericalangle B+\sphericalangle C)=180^{\circ }-78^{\circ }=102^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: b)
Aria trapezului se calculează cu formula:
$${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot AD}{2}$$
Înlocuind datele din enunț:
$${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(8+4)\cdot 4\sqrt{3}}{2}=\frac{12\cdot 4\sqrt{3}}{2}=24\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: d)
Coarda $CD$ este paralelă cu diametrul $AB$. Deoarece unghiul la centru $\sphericalangle BOC=60^{\circ }$, arcul mic $\text{overparen}BC$ are măsura de $60^{\circ }$.
Între două coarde paralele, arcele cuprinse sunt congruente, deci:
$$\text{overparen}AD=\text{overparen}BC=60^{\circ }$$
Diametrul $AB$ împarte cercul în două semicercuri de câte $180^{\circ }$. Astfel, pe arcul $ADCB$ avem:
$$\text{overparen}CD=180^{\circ }-(\text{overparen}AD+\text{overparen}BC)=180^{\circ }-(60^{\circ }+60^{\circ })=60^{\circ }$$
Unghiul $\sphericalangle ADC$ este un unghi cu vârful pe cerc, deci măsura lui este jumătate din măsura arcului pe care nu-l conține (arcul $\text{overparen}ABC$):
$$\text{overparen}ABC=\text{overparen}AB+\text{overparen}BC=180^{\circ }+60^{\circ }=240^{\circ }$$
$$\sphericalangle ADC=\frac{\text{overparen}ABC}{2}=\frac{240^{\circ }}{2}=120^{\circ }$$
(Alternativ, patrulaterul $ABCD$ este trapez isoscel înscris în cerc, cu unghiul $\sphericalangle DAB=\frac{\text{overparen}DCB}{2}=\frac{60^{\circ }+60^{\circ }}{2}=60^{\circ }$, iar unghiurile alăturate laturii neparalele sunt suplementare: $\sphericalangle ADC=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$.)

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: d)
În cubul $ABCDEFGH$, muchia $BF$ este paralelă cu $AE$ sau $CG$, iar $BF\perp (ABC)$.
Deoarece dreapta $CD$ este inclusă în planul $(ABC)$, orice perpendiculară pe plan este perpendiculară pe toate dreptele din acel plan.
Deci $BF\perp CD$, ceea ce înseamnă că măsura unghiului dintre dreptele $BF$ și $CD$ este de $90^{\circ }$.

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)
Efectuăm împărțirea cu rest a numărului $158$ la $5$:
$$158=5\cdot 31+3$$
Restul obținut este $3$. (1p)

Conform enunțului, la împărțirea la $5$ restul trebuie să fie $2$. Deoarece $3\ne 2$, nu este posibil ca numărul scris de Silvia să fie $158$. (1p)

b)
Fie $n$ numărul natural căutat. Din teorema împărțirii cu rest, avem:
$$n=5a+2$$
$$n=6b+3$$
unde $a,b\in \mathbb{N}$. (1p)

Adunăm $3$ la ambele egalități:
$$n+3=5a+5=5(a+1)$$
$$n+3=6b+6=6(b+1)$$
Rezultă că $n+3$ este un multiplu comun nenul al numerelor $5$ și $6$. (1p)

Cel mai mic multiplu comun al numerelor $5$ și $6$ este $[5,6]=30$.
Pentru ca $n$ să fie cel mai mic număr natural, alegem cel mai mic multiplu pozitiv:
$$n+3=30⟹n=27$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)
Descompunem termenul din mijloc sau calculăm produsul din membrul drept:
$$x^2-6x+8=x^2-2x-4x+8$$ (1p)
$$=x(x-2)-4(x-2)=(x-2)(x-4)$$, pentru orice număr real $x$. (1p)

b)
Observăm că $-\frac{2-x}{x-4}=+\frac{x-2}{x-4}$.
Aducem expresia din paranteză la numitorul comun $(x-2)(x-4)$:
$$E(x)=\left(\frac{(x-4{)}^2}{(x-2)(x-4)}+\frac{(x-2{)}^2}{(x-2)(x-4)}-\frac{2(x-2)(x-4)}{(x-2)(x-4)}\right):\frac{1}{x-2}$$
$$=\frac{[(x-4)-(x-2){]}^2}{(x-2)(x-4)}\cdot (x-2)=\frac{(-2{)}^2}{(x-2)(x-4)}\cdot (x-2)=\frac{4}{(x-2)(x-4)}\cdot (x-2)=\frac{4}{x-4}$$ (1p)

Rezolvăm ecuația $E(x)=\frac{x+4}{12}$:
$$\frac{4}{x-4}=\frac{x+4}{12}⟺(x-4)(x+4)=4\cdot 12$$
$$x^2-16=48⟺x^2=64$$
Obținem soluțiile $x=-8$ și $x=8$. Ambele valori convin, deoarece $-8,8\notin \{2,4\}$.
Suma soluțiilor este:
$$(-8)+8=0$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)
Fie $C(6,0)$ proiecția punctului $B(6,3)$ pe axa $Ox$. În triunghiul dreptunghic $ACB$ (cu $\sphericalangle C=90^{\circ }$):
$$AC=x_C-x_A=6-2=4$$
$$BC=y_B-y_C=3-0=3$$ (1p)

Conform teoremei lui Pitagora în $△ACB$:
$$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2=4^2+3^2=16+9=25⟹AB=\sqrt{25}=5$$ (1p)

b)
Segmentul $OA$ se află pe axa $Ox$, deci lungimea bazei este:
$$OA=|x_A|=2$$ (1p)

Înălțimea corespunzătoare laturii $OA$ este distanța de la punctul $B$ la axa $Ox$, adică:
$$h=d(B,Ox)=y_B=3$$ (1p)

Aria triunghiului $AOB$ este:
$${\mathcal{A}}_{△AOB}=\frac{OA\cdot h}{2}=\frac{2\cdot 3}{2}=3$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)
Diametrele $AB$ și $CD$ sunt perpendiculare, deci arcul $\text{overparen}BD$ are măsura de $90^{\circ }$. (1p)

Unghiul $\sphericalangle BMN$ este același cu unghiul $\sphericalangle BMD$, care este un unghi înscris în cerc ce subîntinde arcul $\text{overparen}BD$.
$$\sphericalangle BMN=\frac{\text{overparen}BD}{2}=\frac{90^{\circ }}{2}=45^{\circ }$$ (1p)

b)
Deoarece $CD$ este diametru, triunghiul $CMD$ este înscris într-un semicerc, deci $\sphericalangle CMD=90^{\circ }$.
În triunghiul dreptunghic $NOD$ (dreptunghic în $O$, cu $AB\perp CD$) și în triunghiul dreptunghic $MCD$ (dreptunghic în $M$):
$$\sphericalangle NOD=\sphericalangle CMD=90^{\circ }$$
Unghiul $\sphericalangle ODN$ este comun (este unghiul $\sphericalangle MDC$).
Rezultă că triunghiurile sunt asemenea: $△OND\sim △MCD$. (1p)

Din asemănare avem raportul de proporționalitate:
$$\frac{ND}{CD}=\frac{OD}{MD}$$
Știm că $ND=6\text{ cm}$, $MN=3\text{ cm}$, deci $MD=DN+MN=6+3=9\text{ cm}$.
Diametrul este $CD=2\cdot OD$. Înlocuind, obținem:
$$\frac{6}{2\cdot OD}=\frac{OD}{9}⟺2\cdot O{D}^2=54⟺O{D}^2=27$$ (1p)

Aria discului cu centrul în $O$ și raza $R=OD$ este:
$$\mathcal{A}=\pi \cdot O{D}^2=27\pi {\text{ cm}}^2$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)
În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, aplicăm teorema lui Pitagora:
$$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}$$ (1p)
$$BC=\sqrt{36+100}=\sqrt{100}=10\text{ cm}$$ (1p)

b)
$G$ este centrul de greutate al $△ABC$ situat pe mediana $AM$, deci $\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$.
Punctul $Q\in AB$ cu $BQ=2\text{ cm}$, deci $AQ=AB-BQ=6-2=4\text{ cm}$.
Raportul $\frac{AQ}{AB}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
Cum $\frac{AG}{AM}=\frac{AQ}{AB}=\frac{2}{3}$, conform reciprocei teoremei lui Thales în $△ABM$, rezultă că $QG\parallel BM$, adică $QG\parallel BC$. (1p)

Din $QG\parallel BM$, conform teoremei fundamentale a asemănării, $△AQG\sim △ABM$, deci:
$$\frac{QG}{BM}=\frac{AQ}{AB}=\frac{2}{3}$$
Deoarece $AM$ este mediană, $BM=\frac{BC}{2}=5\text{ cm}$, deci $QG=\frac{2}{3}\cdot 5=\frac{10}{3}\text{ cm}$.
Pe de altă parte, $QP\parallel AC$, iar din teorema fundamentală a asemănării în $△ABC$ cu $QP\parallel AC$, avem $△BQP\sim △BAC$:
$$\frac{BP}{BC}=\frac{BQ}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}⟹BP=\frac{1}{3}\cdot 10=\frac{10}{3}\text{ cm}$$ (1p)

Deoarece $QG\parallel BP$ și $QG=BP=\frac{10}{3}\text{ cm}$, rezultă că patrulaterul $BQGP$ este paralelogram.
Perimetrul său este:
$${\mathcal{P}}_{BQGP}=2\cdot (BQ+BP)=2\cdot \left(2+\frac{10}{3}\right)=2\cdot \frac{16}{3}=\frac{32}{3}\text{ cm}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)
Triunghiul $ABC$ este echilateral cu latura $AB=12\text{ cm}$. Perimetrul său este:
$${\mathcal{P}}_{△ABC}=3\cdot AB$$ (1p)
$${\mathcal{P}}_{△ABC}=3\cdot 12=36\text{ cm}$$ (1p)

b)
Fie $N\in BC$ astfel încât $MN\perp BC$. Deoarece $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$ și $MN\subset (ABC)$, rezultă că $B{B}^{\prime }\perp MN$.
Cum $MN\perp BC$ și $MN\perp B{B}^{\prime }$, cu $BC\cap B{B}^{\prime }=\{B\}$, rezultă că $MN\perp (B^{\prime }BC)$.
Deoarece $N\in (B^{\prime }BC)$, proiecția punctului $M$ pe planul $(B^{\prime }BC)$ este punctul $N$. Punctul $C^{\prime }$ aparține planului $(B^{\prime }BC)$, deci proiecția segmentului $M{C}^{\prime }$ pe planul $(B^{\prime }BC)$ este $N{C}^{\prime }$.
Prin urmare, unghiul dintre dreapta $M{C}^{\prime }$ și planul $(B^{\prime }BC)$ este $\sphericalangle (M{C}^{\prime },N{C}^{\prime })=\sphericalangle M{C}^{\prime }N$. (1p)

În triunghiul echilateral $ABC$, măsura unghiului $\sphericalangle B$ este de $60^{\circ }$.
$M$ este mijlocul lui $AB$, deci $MB=\frac{AB}{2}=6\text{ cm}$.
În triunghiul dreptunghic $MNB$ (dreptunghic în $N$):
$$MN=MB\cdot \sin 60^{\circ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}$$
$$BN=MB\cdot \cos 60^{\circ }=6\cdot \frac{1}{2}=3\text{ cm}$$
Segmentul $NC=BC-BN=12-3=9\text{ cm}$.
În triunghiul dreptunghic $C^{\prime }CN$ (dreptunghic în $C$, deoarece $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$):
$$C^{\prime }N=\sqrt{C^{\prime }{C}^2+C{N}^2}=\sqrt{(3\sqrt{3}{)}^2+9^2}=\sqrt{27+81}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)

Cum $MN\perp (B^{\prime }BC)$ și $C^{\prime }N\subset (B^{\prime }BC)$, avem $MN\perp C^{\prime }N$, deci triunghiul $C^{\prime }NM$ este dreptunghic în $N$.
Tangenta unghiului căutat este:
$$\mathrm{tg}(\sphericalangle M{C}^{\prime }N)=\frac{MN}{C^{\prime }N}=\frac{3\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$$ (1p)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $39-9:3$ este egal cu:

• a) $10$
• b) $12$
• c) $36$
• d) $90$

5p 2. Cinci caiete de același fel costă $50$ de lei. Prețul unui astfel de caiet este egal cu:

• a) $1$ leu
• b) $5$ lei
• c) $10$ lei
• d) $50$ de lei

5p 3. Cel mai mare număr natural din intervalul $(-1,6)$ este egal cu:

• a) $6$
• b) $5$
• c) $0$
• d) $-1$

5p 4. Fracția subunitară din mulțimea $\left\{\frac{5}{2},\frac{15}{16},\frac{16}{15},5\right\}$ este:

• a) $\frac{5}{2}$
• b) $\frac{15}{16}$
• c) $\frac{16}{15}$
• d) $5$

5p 5. Patru elevi, Ana, Mihaela, Paul și Tudor, au calculat suma numerelor $a=3+2\sqrt{2}$ și $b=3-\sqrt{8}$. Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Ana	Mihaela	Paul	Tudor
$17$	$6$	$5$	$1$

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:

• a) Ana
• b) Mihaela
• c) Paul
• d) Tudor

5p 6. După o scumpire cu $10\%$, un obiect costă $110$ lei. Ana afirmă: „Prețul inițial al acestui obiect este de $100$ de lei.”. Afirmația Anei este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=20\text{ cm}$, lungimea segmentului $BC$ este jumătate din lungimea segmentului $AB$, iar punctul $D$ este simetricul punctului $B$ față de punctul $C$. Lungimea segmentului $AD$ este egală cu:

[Figura: Punctele coliniare A, B, C, D pe o dreaptă gradată]

• a) $40\text{ cm}$
• b) $35\text{ cm}$
• c) $30\text{ cm}$
• d) $10\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele $AB$ și $CD$, cu punctele $A$ și $D$ de o parte și de alta a dreptei $BC$. Măsura unghiului $BCD$ este egală cu $45^{\circ }$. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

[Figura: Dreptele paralele AB și CD tăiate de secanta BC, cu punctele A și D de o parte și de alta a secantei]

• a) $45^{\circ }$
• b) $75^{\circ }$
• c) $135^{\circ }$
• d) $145^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC$. Punctul $E$ aparține laturii $BC$, astfel încât $AE=CE$ și măsura unghiului $BEA$ este egală cu $78^{\circ }$. Măsura unghiului $CAB$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul isoscel ABC cu punctul E pe latura BC și unghiul BEA]

• a) $39^{\circ }$
• b) $78^{\circ }$
• c) $102^{\circ }$
• d) $141^{\circ }$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $AD\perp AB$, $AB\parallel CD$, $AB=8\text{ cm}$, $CD=4\text{ cm}$ și $AD=4\sqrt{3}\text{ cm}$. Aria trapezului $ABCD$ este egală cu:

[Figura: Trapezul dreptunghic ABCD cu AD perpendiculară pe baze]

• a) $40{\text{ cm}}^2$
• b) $24\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
• c) $32{\text{ cm}}^2$
• d) $8\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și diametru $AB$. Punctele $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele și măsura unghiului $BOC$ este egală cu $60^{\circ }$. Măsura unghiului $ADC$ este egală cu:

[Figura: Cercul de centru O cu diametrul AB, coarda CD paralelă cu AB și unghiul la centru BOC]

• a) $30^{\circ }$
• b) $60^{\circ }$
• c) $110^{\circ }$
• d) $120^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCDEFGH$. Măsura unghiului dreptelor $BF$ și $CD$ este egală cu:

[Figura: Cubul ABCDEFGH]

• a) $30^{\circ }$
• b) $45^{\circ }$
• c) $60^{\circ }$
• d) $90^{\circ }$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Silvia a scris pe o foaie un număr natural pe care, dacă îl împarte la $5$, obține restul $2$, iar dacă îl împarte la $6$ obține restul $3$.

• (2p) a) Este posibil ca numărul scris de Silvia să fie $158$? Justifică răspunsul dat.
• (3p) b) Silvia a scris pe foaie cel mai mic număr natural care îndeplinește condițiile din enunț. Determină acest număr.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x-4}{x-2}-\frac{2-x}{x-4}-2\right):\frac{1}{x-2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 2$ și $x\ne 4$.

• (2p) a) Arată că $x^2-6x+8=(x-2)(x-4)$, pentru orice număr real $x$.
• (3p) b) Determină suma soluțiilor ecuației $E(x)=\frac{x+4}{12}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 2$ și $x\ne 4$.

5p 3. În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$ și $B(6,3)$.

• (2p) a) Arată că $AB=5$.
• (3p) b) Calculează aria triunghiului $AOB$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$, în care $AB$ și $CD$ sunt diametre perpendiculare. Punctul $M$ aparține arcului mic $BC$, dreptele $DM$ și $AB$ se intersectează în punctul $N$, $DN=6\text{ cm}$ și $MN=3\text{ cm}$.

[Figura: Cercul de centru O cu diametrele perpendiculare AB și CD, M pe arcul BC, DM intersectează AB în N]

• (2p) a) Arată că măsura unghiului $BMN$ este egală cu $45^{\circ }$.
• (3p) b) Calculează aria discului cu centrul în $O$ și rază $OD$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=6\text{ cm}$ și $AC=8\text{ cm}$. Punctul $Q$ se află pe latura $AB$, astfel încât $BQ=2\text{ cm}$. Paralela prin $Q$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $P$, punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și $AG\cap BC=\{M\}$.

[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu mediana AM, centrul de greutate G și segmentul QP paralel cu AC]

• (2p) a) Calculează lungimea segmentului $BC$.
• (3p) b) Determină perimetrul patrulaterului $BQGP$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=12\text{ cm}$ și $A{A}^{\prime }=3\sqrt{3}\text{ cm}$.

[Figura: Prisma dreaptă ABCA'B'C' cu baza triunghi echilateral și M mijlocul lui AB]

• (2p) a) Calculează perimetrul triunghiului $ABC$.
• (3p) b) Determină tangenta unghiului dintre dreapta $M{C}^{\prime }$ și planul $(B^{\prime }BC)$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.