Evaluare Națională 2026, matematică: model oficial

Subiectul I

1)

• Calculăm respectând ordinea operațiilor:
  $$36:4-4\cdot 2=9-8=1$$
• Răspuns corect: c) (5p)

2)

• Căutăm cel mai mare număr natural din intervalul $[3,20)$ care se divide cu $5$.
• Numerele naturale divizibile cu $5$ din interval sunt $5,10,15$ (numărul $20$ nu aparține intervalului, intervalul fiind deschis la dreapta).
• Cel mai mare dintre acestea este $15$.
• Răspuns corect: b) (5p)

3)

• Din egalitatea $\frac{a}{4}=\frac{5}{2}$ obținem produsul mezilor egal cu produsul extremilor: $2a=4\cdot 5=20$.
• Calculăm valoarea cerută:
  $$2a+10=20+10=30$$
• Răspuns corect: a) (5p)

4)

• Numărul băieților reprezintă $40\%$ din numărul total de participanți:
  $$\frac{40}{100}\cdot 250=\frac{2}{5}\cdot 250=2\cdot 50=100$$
• Răspuns corect: c) (5p)

5)

• Scriem $a=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$.
• Calculăm media aritmetică a numerelor $a$ și $b$:
  $$m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{2\sqrt{3}+(10-2\sqrt{3})}{2}=\frac{10}{2}=5$$
• Rezultatul $5$ a fost obținut de Gabriela.
• Răspuns corect: c) (5p)

6)

• Din datele diagramei, vânzările de mașini au fost:
  • Ianuarie: $1000$
  • Februarie: $2000$
  • Martie: $500$
  • Aprilie: $2500$
• Cele mai multe mașini au fost vândute în luna aprilie ($2500>2000$), deci afirmația că în februarie s-au vândut cele mai multe mașini este falsă.
• Răspuns corect: b) (5p)

---

Subiectul al II-lea

1)

• Deoarece $CD=3\text{ cm}$, avem $BD=3\cdot CD=3\cdot 3=9\text{ cm}$.
• Lungimea segmentului $AD=3\cdot BD=3\cdot 9=27\text{ cm}$.
• Punctele fiind în ordinea $A,B,C,D$, lungimea segmentului $AC$ este:
  $$AC=AD-CD=27-3=24\text{ cm}$$
• Răspuns corect: b) (5p)

2)

• Unghiurile $AOC$ și $COB$ sunt suplementare, deci $\sphericalangle AOC+\sphericalangle COB=180^{\circ }$.
• Deoarece semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOC$, avem $\sphericalangle AOC=2\cdot \sphericalangle MOC=2\cdot 35^{\circ }=70^{\circ }$.
• Prin urmare, $\sphericalangle BOC=180^{\circ }-\sphericalangle AOC=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$.
• Răspuns corect: c) (5p)

3)

• În $△ABC$ dreptunghic în $C$, cu $\sphericalangle B=30^{\circ }$, avem $\sphericalangle A=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.
• Lungimea catetei opuse unghiului de $30^{\circ }$ este $AC=\frac{AB}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ cm}$.
• În triunghiul dreptunghic $ADC$ (unde $CD\perp AB$, $\sphericalangle ADC=90^{\circ }$ și $\sphericalangle A=60^{\circ }$):
  $$CD=AC\cdot \sin 60^{\circ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\text{ cm}$$
• Răspuns corect: c) (5p)

4)

• Aria paralelogramului $ABCD$ este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot \sin (\sphericalangle A)=96{\text{ cm}}^2$.
• Aria triunghiului $AEF$ este:
  $${\mathcal{A}}_{AEF}=\frac{AE\cdot AF\cdot \sin (\sphericalangle A)}{2}=\frac{\frac{AB}{2}\cdot \frac{AD}{2}\cdot \sin (\sphericalangle A)}{2}=\frac{1}{8}\cdot (AB\cdot AD\cdot \sin (\sphericalangle A))=\frac{1}{8}\cdot 96=12{\text{ cm}}^2$$
• Răspuns corect: a) (5p)

5)

• Segmentele $AB$ și $CD$ sunt diametre, deci se intersectează în centrul $O$ al cercului și sunt congruente.
• Unghiurile la centru opuse la vârf sunt egale: $\sphericalangle AOC=\sphericalangle BOD$, $\sphericalangle AOD=\sphericalangle BOC=52^{\circ }$.
• Triunghiul $BOD$ este isoscel cu $OB=OD=R$, deci $\sphericalangle BDC=\sphericalangle OBD$.
• Măsura unghiului la centru $\sphericalangle BOC=180^{\circ }-52^{\circ }=128^{\circ }$ sau unghiul înscris $\sphericalangle BDC$ subîntinde arcul $BC$. Deoarece măsura arcului $AD$ este $52^{\circ }$ și $\sphericalangle AOD=52^{\circ }$, arcul opus la vârf $BC$ are măsura $52^{\circ }$.
• Măsura unghiului înscris în cerc este jumătate din măsura arcului subîntins:
  $$\sphericalangle BDC=\frac{\overgroup{BC}}{2}=\frac{52^{\circ }}{2}=26^{\circ }$$
• Răspuns corect: a) (5p)

6)

• Baza este un triunghi echilateral cu latura $AB=4\text{ cm}$.
• Aria bazei este:
  $${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$
• Volumul prismei drepte este:
  $$\mathcal{V}={\mathcal{A}}_{ABC}\cdot A{A}^{\prime }=4\sqrt{3}\cdot 2\sqrt{3}=4\cdot 2\cdot 3=24{\text{ cm}}^3$$
• Răspuns corect: d) (5p)

---

Subiectul al III-lea

1)

• a) Dacă Tudor ar avea în prezent $4$ ani, vârsta lui Bogdan în prezent ar fi:
  $$3\cdot 4+8=12+8=20\text{ ani}$$ (1p)
  Peste un an, Tudor ar avea $4+1=5$ ani, iar Bogdan ar avea $20+1=21$ de ani. Cum $5\cdot 5=25$ și $25\ne 21$, obținem că vârsta lui Bogdan nu ar fi de 5 ori mai mare decât cea a lui Tudor, deci Tudor nu poate avea în prezent $4$ ani. (1p)

• b) Fie $a$ vârsta actuală a lui Tudor și $b$ vârsta actuală a lui Bogdan.
  Din enunț avem:
  $$b=3a+8$$ (1p)
  Peste un an:
  $$b+1=5(a+1)$$ (1p)
  Înlocuim expresia lui $b$ în a doua relație:
  $$3a+8+1=5a+5⟹3a+9=5a+5⟹2a=4⟹a=2$$
  Vârsta lui Bogdan în prezent este:
  $$b=3\cdot 2+8=14\text{ ani}$$ (1p)

---

2)

• a) Descompunem numitorul $x^2-9=(x-3)(x+3)$ și aducem fracțiile la același numitor comun $(x-3)(x+3)$:
  $$\frac{1}{x+3}+\frac{3}{x^2-9}=\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}+\frac{3}{(x-3)(x+3)}$$ (1p)
  $$=\frac{x-3+3}{(x-3)(x+3)}=\frac{x}{(x-3)(x+3)}$$, pentru orice număr real $x\ne -3$ și $x\ne 3$. (1p)

• b) Rescriem expresia $E(x)$, știind că $x^2+6x+9=(x+3{)}^2$:
  $$E(x)=\frac{3}{(x+3{)}^2}\cdot \frac{x}{x-3}:\frac{x}{(x-3)(x+3)}=\frac{3x}{(x+3{)}^2(x-3)}\cdot \frac{(x-3)(x+3)}{x}=\frac{3}{x+3}$$ (1p)
  Calculăm inversa expresiei: $\frac{1}{E(x)}=\frac{x+3}{3}$.
  Pentru un număr natural $n>3$, numărul $N$ devine:
  $$N=\frac{n+3}{3}+\frac{(n+1)+3}{3}+\frac{(n+2)+3}{3}=\frac{n+3+n+4+n+5}{3}=\frac{3n+12}{3}$$ (1p)
  $$N=\frac{3(n+4)}{3}=n+4$$
  Deoarece $n\in \mathbb{N}$, rezultă că $n+4\in \mathbb{N}$, deci $N$ este număr natural pentru orice $n\in \mathbb{N},n>3$. (1p)

---

3)

• a) Calculăm valorile funcției:
  $$f(2)=2\cdot 2+4=8$$ (1p)
  $$f(-2)=2\cdot (-2)+4=0$$
  Rezultă $f(2)+f(-2)=8+0=8$. (1p)

• b) Aflăm coordonatele punctelor de intersecție cu axele de coordonate:

  • Intersecția cu $Ox$: $f(x)=0⟹2x+4=0⟹x=-2$, deci $A(-2,0)$.
  • Intersecția cu $Oy$: $x=0⟹f(0)=4$, deci $B(0,4)$. (1p)
    Punctul $M$ are coordonatele $M(3,0)$.
    În triunghiul dreptunghic $BOM$, cu $BO=4$ și $OM=3$, aplicăm teorema lui Pitagora:
    $$BM=\sqrt{O{B}^2+O{M}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$$ (1p)
    Punctele $A(-2,0)$ și $M(3,0)$ sunt situate pe axa $Ox$, deci lungimea segmentului $AM$ este:
    $$AM=|3-(-2)|=5$$
    Deoarece $AM=BM=5$, triunghiul $AMB$ este isoscel cu baza $AB$, ceea ce implică $\sphericalangle BAM\equiv \sphericalangle MBA$. (1p)

---

4)

• a) Deoarece $AC$ este bisectoarea unghiului $\widehat{BAD}$, avem $\sphericalangle DAC=\sphericalangle CAB$. (1p)
  Cum $CD\parallel AB$ și $AC$ este secantă, unghiurile alterne interne sunt congruente: $\sphericalangle CAB=\sphericalangle DCA$.
  Astfel, obținem $\sphericalangle DAC=\sphericalangle DCA$, deci triunghiul $ADC$ este isoscel cu $AD=CD=16\text{ cm}$. (1p)

• b) Deoarece $CD=AD=16\text{ cm}$, arcele subîntinse sunt congruente: $\overgroup{CD}=\overgroup{AD}⟹\sphericalangle AOD=\sphericalangle DOC$. (1p)
  Cum $CD\parallel AB$ și trapezul înscris în cerc $ABCD$ este isoscel, avem $BC=AD=16\text{ cm}$, deci arcul $BC$ este de asemenea egal cu arcul $AD$, ceea ce conduce la $\sphericalangle BOC=\sphericalangle AOD$.
  Cum $AB$ este diametru, punctele $A,O,B$ sunt coliniare, deci:
  $$\sphericalangle AOD+\sphericalangle DOC+\sphericalangle BOC=180^{\circ }⟹3\cdot \sphericalangle AOD=180^{\circ }⟹\sphericalangle AOD=\sphericalangle DOC=\sphericalangle BOC=60^{\circ }$$
  Triunghiurile $△AOD$, $△DOC$ și $△BOC$ sunt isoscele cu un unghi de $60^{\circ }$, deci sunt echilaterale și congruente, având latura egală cu raza $R=16\text{ cm}$. (1p)
  Aria patrulaterului $ABCD$ este suma ariilor celor trei triunghiuri echilaterale congruente:
  $${\mathcal{A}}_{ABCD}=3\cdot {\mathcal{A}}_{AOD}=3\cdot \frac{16^2\sqrt{3}}{4}=3\cdot \frac{256\sqrt{3}}{4}=3\cdot 64\sqrt{3}=192\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$ (1p)

---

5)

• a) Avem $AB=15\text{ cm}$ și $AD=AM=\frac{2}{3}AB=\frac{2}{3}\cdot 15=10\text{ cm}$. (1p)
  Perimetrul paralelogramului $ABCD$ este:
  $${\mathcal{P}}_{ABCD}=2(AB+AD)=2(15+10)=2\cdot 25=50\text{ cm}$$ (1p)

• b) Aria triunghiului $ADM$ este:
  $${\mathcal{A}}_{ADM}=\frac{AM\cdot d(D,AB)}{2}=\frac{10\cdot 8}{2}=40{\text{ cm}}^2$$ (1p)
  Dreapta $AD$ este paralelă cu $BC$ (deci și cu $CN$), iar $DM$ și $DC$ sunt secante, de unde rezultă că:
  $$\sphericalangle ADM\equiv \sphericalangle DNC\text{ (alterne interne)}\text{și}\sphericalangle DAM\equiv \sphericalangle DCN\text{ (unghiuri opuse ıˆn paralelogram, respectiv suplementare)}$$
  Rezultă că $△ADM\sim △CND$. (1p)
  Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este pătratul raportului de asemănare:
  $$\frac{{\mathcal{A}}_{ADM}}{{\mathcal{A}}_{NCD}}={\left(\frac{AM}{CD}\right)}^2={\left(\frac{10}{15}\right)}^2={\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$$
  De aici obținem:
  $${\mathcal{A}}_{NCD}=\frac{9}{4}\cdot {\mathcal{A}}_{ADM}=\frac{9}{4}\cdot 40=90{\text{ cm}}^2$$ (1p)

---

6)

• a) În triunghiul $DAC$, punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AD$, respectiv $DC$, deci $MN$ este linie mijlocie.
  Diagonala pătratului de bază este $AC=AB\sqrt{2}=8\sqrt{2}\text{ cm}$, așadar:
  $$MN=\frac{AC}{2}=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\text{ cm}$$ (1p)
  În mod analog, $NP$ este linie mijlocie în triunghiul $CD{D}^{\prime }$ și $MP$ este linie mijlocie în triunghiul $AD{D}^{\prime }$. Diagonalele fețelor cubului fiind egale, avem:
  $$NP=MP=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}\text{ cm}$$
  Triunghiul $MNP$ este echilateral cu latura $l=4\sqrt{2}\text{ cm}$, deci aria sa este:
  $${\mathcal{A}}_{MNP}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(4\sqrt{2}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{32\sqrt{3}}{4}=8\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$ (1p)

• b) Deoarece $P$ este mijlocul muchiei $D{D}^{\prime }$, dreapta $D{D}^{\prime }$ intersectează planul $(MNP)$ chiar în punctul $P$. Punctul $P$ fiind mijlocul segmentului $D{D}^{\prime }$, distanțele de la capetele segmentului la plan sunt egale:
  $$d(D^{\prime },(MNP))=d(D,(MNP))$$ (1p)
  În tetraedrul $DMNP$, muchiile $DM$, $DN$, $DP$ sunt reciproc perpendiculare două câte două și au lungimile:
  $$DM=DN=DP=\frac{8}{2}=4\text{ cm}$$
  Tetraedrul $DMNP$ este o piramidă triunghiulară regulată cu baza triunghiul echilateral $MNP$.
  Înălțimea din vârful $D$ cade în centrul cercului circumscris bazei, notat $T$, deci $d(D,(MNP))=DT$. (1p)
  Fie $Q$ mijlocul laturii $MN$. Deoarece $DN=DM=4$, $△DNM$ este dreptunghic isoscel, deci $DQ=\frac{MN}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\text{ cm}$ (sau $DQ=\frac{1}{4}BD=2\sqrt{2}\text{ cm}$).
  În triunghiul dreptunghic $PDQ$ ($PD\perp DQ$ deoarece $D{D}^{\prime }\perp (ABCD)$):
  $$PQ=\sqrt{P{D}^2+D{Q}^2}=\sqrt{4^2+(2\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{16+8}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\text{ cm}$$
  Înălțimea $DT$ corespunzătoare ipotenuzei în $△PDQ$ este:
  $$DT=\frac{DP\cdot DQ}{PQ}=\frac{4\cdot 2\sqrt{2}}{2\sqrt{6}}=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$$
  Prin urmare, $d(D^{\prime },(MNP))=DT=\frac{4\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$. (1p)

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $36:4-4\cdot 2$ este egal cu:

• a) $17$
• b) $10$
• c) $1$
• d) $0$

5p 2. Cel mai mare număr natural divizibil cu $5$ din intervalul $[3,20)$ este:

• a) $20$
• b) $15$
• c) $5$
• d) $3$

5p 3. Dacă $\frac{a}{4}=\frac{5}{2}$, atunci rezultatul calculului $2a+10$ este egal cu:

• a) $30$
• b) $20$
• c) $15$
• d) $10$

5p 4. Dintre cei $250$ de elevi participanți la un concurs, $40\%$ sunt băieți. Numărul băieților care participă la concurs este egal cu:

• a) $160$
• b) $150$
• c) $100$
• d) $90$

5p 5. Patru elevi, Ioan, Mihai, Gabriela și Maria, au calculat media aritmetică a numerelor $a=\sqrt{12}$ și $b=10-2\sqrt{3}$. Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Ioan	Mihai	Gabriela	Maria
$10$	$5+2\sqrt{3}$	$5$	$5-2\sqrt{3}$

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:

• a) Ioan
• b) Mihai
• c) Gabriela
• d) Maria

5p 6. În diagrama de mai jos sunt prezentate informații despre numărul de mașini vândute de un comerciant în primele patru luni ale anului 2025.

[Figura: Diagramă cu bare verticale reprezentând numărul de mașini vândute: Ianuarie – 1000, Februarie – 2000, Martie – 500, Aprilie – 2500]

Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, cele mai multe mașini au fost vândute în luna februarie.” este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $CD=3\text{ cm}$, $BD=3\cdot CD$ și $AD=3\cdot BD$. Lungimea segmentului $AC$ este egală cu:

[Figura: Punctele coliniare $A$, $B$, $C$ și $D$ așezate în această ordine pe o dreaptă]

• a) $27\text{ cm}$
• b) $24\text{ cm}$
• c) $21\text{ cm}$
• d) $18\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente suplementare $AOC$ și $COB$. Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOC$, iar măsura unghiului $MOC$ este egală cu $35^{\circ }$. Măsura unghiului $BOC$ este egală cu:

[Figura: Unghiurile adiacente suplementare $\widehat{AOC}$ și $\widehat{COB}$, iar semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $\widehat{AOC}$]

• a) $35^{\circ }$
• b) $70^{\circ }$
• c) $110^{\circ }$
• d) $145^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $C$, cu $AB=12\text{ cm}$ și măsura unghiului $B$ egală cu $30^{\circ }$. Proiecția punctului $C$ pe dreapta $AB$ este punctul $D$. Lungimea segmentului $CD$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $\sphericalangle C=90^{\circ }$ și înălțimea $CD\perp AB$, unde $D\in AB$]

• a) $3\text{ cm}$
• b) $2\sqrt{3}\text{ cm}$
• c) $3\sqrt{3}\text{ cm}$
• d) $6\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$, cu aria egală cu $96{\text{ cm}}^2$. Punctele $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AD$. Aria triunghiului $AEF$ este egală cu:

[Figura: Paralelogramul $ABCD$, $E$ este mijlocul laturii $AB$, $F$ este mijlocul laturii $AD$, și triunghiul $AEF$ format]

• a) $12{\text{ cm}}^2$
• b) $24{\text{ cm}}^2$
• c) $48{\text{ cm}}^2$
• d) $72{\text{ cm}}^2$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$, iar $AB$ și $CD$ sunt diametre. Arcul $AD$ are măsura egală cu $52^{\circ }$. Măsura unghiului $BDC$ este egală cu:

[Figura: Cercul cu centrul $O$, diametrele $AB$ și $CD$, coarda $BD$ și segmentul/coarda $BC$]

• a) $26^{\circ }$
• b) $30^{\circ }$
• c) $52^{\circ }$
• d) $60^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $A{A}^{\prime }=2\sqrt{3}\text{ cm}$ și $AB=4\text{ cm}$. Volumul prismei $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este egal cu:

[Figura: Prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$]

• a) $4\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$
• b) $8{\text{ cm}}^3$
• c) $8\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$
• d) $24{\text{ cm}}^3$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. În prezent, vârsta lui Bogdan este cu 8 ani mai mare decât triplul vârstei lui Tudor. Peste un an vârsta lui Bogdan va fi de 5 ori mai mare decât vârsta lui Tudor.

(2p) a) Verifică dacă Tudor poate avea în prezent 4 ani. Justifică răspunsul dat.

(3p) b) Determină vârsta lui Bogdan în prezent.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=\frac{3}{x^2+6x+9}\cdot \frac{x}{x-3}:\left(\frac{1}{x+3}+\frac{3}{x^2-9}\right)$, unde $x$ este număr real, $x\ne -3$, $x\ne 0$ și $x\ne 3$.

(2p) a) Arată că $\frac{1}{x+3}+\frac{3}{x^2-9}=\frac{x}{(x-3)(x+3)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -3$ și $x\ne 3$.

(3p) b) Arată că numărul $N=\frac{1}{E(n)}+\frac{1}{E(n+1)}+\frac{1}{E(n+2)}$ este natural, pentru orice număr natural $n$, $n>3$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+4$.

(2p) a) Arată că $f(2)+f(-2)=8$.

(3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Arată că unghiurile $BAM$ și $MBA$ sunt congruente, știind că $M(3,0)$.

[Figura: Graficul funcției liniare $f$ intersectând axele sistemului ortogonal de coordonate $xOy$]

5p 4. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$. Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ aparțin cercului, astfel încât $AB$ este diametru. Dreptele $CD$ și $AB$ sunt paralele, semidreapta $AC$ este bisectoarea unghiului $BAD$ și $CD=16\text{ cm}$.

[Figura: Cerc de centru $O$, diametrul $AB$, coarda $CD\parallel AB$, coarda $AC$ este bisectoarea unghiului $\widehat{BAD}$]

(2p) a) Arată că $AD=16\text{ cm}$.

(3p) b) Calculează aria patrulaterului $ABCD$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB=15\text{ cm}$. Punctul $M$ aparține segmentului $AB$, astfel încât $AM=AD=\frac{2}{3}AB$.

[Figura: Paralelogramul $ABCD$, punctul $M\in AB$, dreapta $DM$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $N$]

(2p) a) Arată că perimetrul paralelogramului $ABCD$ este egal cu $50\text{ cm}$.

(3p) b) Știind că distanța de la punctul $D$ la dreapta $AB$ este egală cu $8\text{ cm}$ și că dreapta $DM$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $N$, calculează aria triunghiului $NCD$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=8\text{ cm}$. Punctele $M$, $N$ și $P$ sunt mijloacele muchiilor $AD$, $DC$, respectiv $D{D}^{\prime }$.

[Figura: Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $M\in AD$, $N\in DC$ și $P\in D{D}^{\prime }$ mijloacele acestor segmente]

(2p) a) Arată că aria triunghiului $MNP$ este egală cu $8\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$.

(3p) b) Arată că distanța de la punctul $D^{\prime }$ la planul $(MNP)$ este egală cu $\frac{4\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$.