Evaluare Națională 2025, matematică: examen oficial (sesiunea iunie)

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: c)

Efectuăm mai întâi operația de împărțire, conform ordinii operațiilor:
$$12:2=6$$
Apoi efectuăm adunarea:
$$4+6=10$$

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: a)

Din proporția $\frac{a}{2}=\frac{2}{3}$, obținem:
$$a=\frac{2\cdot 2}{3}=\frac{4}{3}$$
Atunci:
$$\frac{a}{4}=\frac{\frac{4}{3}}{4}=\frac{4}{3}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{3}$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: a)

Produsul numerelor este:
$$(-2)\cdot 5=-10$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: d)

Rezolvăm ecuația:
$$6x-2=1⟺6x=1+2⟺6x=3⟺x=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: a)

Calculăm numerele $a$ și $b$:
$$a=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$
$$b=\sqrt{3^2\cdot 4^2}=\sqrt{9\cdot 16}=\sqrt{144}=12(\text{sau }3\cdot 4=12)$$
Suma numerelor este:
$$a+b=5+12=17$$
Rezultatul corect ($17$) a fost obținut de Ana.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: b)

Privind coloana corespunzătoare punctajului de $80$ de puncte, înălțimea barei indică faptul că exact $4$ elevi au obținut acest punctaj, nu $5$.
Prin urmare, afirmația este falsă.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: d)

Fie $AB=BC=x$ (deoarece $B$ este mijlocul segmentului $AC$).
Punctul $D$ este simetricul lui $B$ față de $C$, ceea ce înseamnă că $C$ este mijlocul segmentului $BD$, deci $CD=BC=x$.
Astfel, punctele sunt $A,B,C,D$ coliniare în această ordine, cu segmentele congruente $AB=BC=CD=x$.
Lungimea segmentului $AD$ este:
$$AD=AB+BC+CD=x+x+x=3x=12\text{ cm}⟹x=4\text{ cm}$$
Lungimea segmentului $AC$ este:
$$AC=2x=2\cdot 4=8\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: d)

Unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt adiacente, deci:
$$\sphericalangle AOB+\sphericalangle BOC=\sphericalangle AOC=120^{\circ }$$
Cum $\sphericalangle BOC=2\cdot \sphericalangle AOB$, avem:
$$\sphericalangle AOB+2\cdot \sphericalangle AOB=120^{\circ }⟺3\cdot \sphericalangle AOB=120^{\circ }⟺\sphericalangle AOB=40^{\circ }$$
Rezultă că:
$$\sphericalangle BOC=2\cdot 40^{\circ }=80^{\circ }$$
Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $BOC$, prin urmare:
$$\sphericalangle BOM=\frac{\sphericalangle BOC}{2}=\frac{80^{\circ }}{2}=40^{\circ }$$
Măsura unghiului $AOM$ este:
$$\sphericalangle AOM=\sphericalangle AOB+\sphericalangle BOM=40^{\circ }+40^{\circ }=80^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: b)

În triunghiul isoscel $ABC$ cu $\sphericalangle BAC=120^{\circ }$ și $AB=AC$, unghiurile de la bază sunt congruente:
$$\sphericalangle ABC=\sphericalangle ACB=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$$
Deoarece $AE\perp AB$, avem $\sphericalangle BAE=90^{\circ }$.
În triunghiul dreptunghic $ABE$ (cu $\sphericalangle BAE=90^{\circ }$ și $\sphericalangle ABE=30^{\circ }$), cateta $AE$ se opune unghiului de $30^{\circ }$, deci:
$$BE=2\cdot AE$$
Pe de altă parte, unghiul $\sphericalangle EAC$ este:
$$\sphericalangle EAC=\sphericalangle BAC-\sphericalangle BAE=120^{\circ }-90^{\circ }=30^{\circ }$$
În triunghiul $AEC$, observăm că $\sphericalangle EAC=30^{\circ }$ și $\sphericalangle ECA=30^{\circ }$, deci $△AEC$ este isoscel cu $AE=CE$.
Cum $CE=4\text{ cm}$, rezultă că $AE=4\text{ cm}$.
Atunci $BE=2\cdot AE=2\cdot 4=8\text{ cm}$.
Lungimea segmentului $BC$ este:
$$BC=BE+CE=8+4=12\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: c)

Fie $BC=x$, atunci $AB=3x$.
Perimetrul dreptunghiului este:
$${\mathcal{P}}_{ABCD}=2(AB+BC)=2(3x+x)=2\cdot 4x=8x$$
Egalând cu perimetrul dat:
$$8x=32\text{ cm}⟹x=4\text{ cm}$$
Deci dimensiunile dreptunghiului sunt $BC=4\text{ cm}$ și $AB=3\cdot 4=12\text{ cm}$.
Aria dreptunghiului $ABCD$ este:
$${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BC=12\cdot 4=48{\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: c)

Triunghiul echilateral $ABC$ are toate unghiurile egale cu $60^{\circ }$, deci $\sphericalangle BAC=60^{\circ }$.
Patrulaterul $ABDC$ este înscris în cerc, deci este patrulater inscriptibil.
Într-un patrulater inscriptibil, unghiurile opuse sunt suplementare:
$$\sphericalangle BDC+\sphericalangle BAC=180^{\circ }⟹\sphericalangle BDC=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: a)

Secțiunea axială a conului este triunghiul echilateral $VAB$ cu latura de $6\text{ cm}$.
Rezultă că:

• Generatoarea conului este $G=VA=VB=6\text{ cm}$;
• Diametrul bazei este $2R=AB=6\text{ cm}⟹R=3\text{ cm}$.
  Aria laterală a conului circular drept este dată de formula:
  $${\mathcal{A}}_l=\pi RG=\pi \cdot 3\cdot 6=18\pi {\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a) Fie $x$ prețul unui caiet.
Prețul unui pix este:
$$p=75\%\cdot x=\frac{75}{100}\cdot x=\frac{3}{4}x$$
Prețul a opt pixuri este:
$$8\cdot p=8\cdot \frac{3}{4}x=6x$$
Prețul a cinci caiete este $5x$.
Deoarece prețul unui caiet este strict pozitiv ($x>0$), avem $6x\ne 5x$.
Deci nu este posibil ca prețul a opt pixuri să fie egal cu prețul a cinci caiete.

Punctaj conform baremului:

• Relația pentru prețul unui pix: $p=\frac{3}{4}x$ (1p)
• Calculul prețului pentru $8$ pixuri ($6x$) și concluzia că $6x\ne 5x$ (1p)

b) Prețul unui creion este $40\%$ din prețul unui pix:
$$c=\frac{40}{100}\cdot p=\frac{2}{5}\cdot \frac{3}{4}x=\frac{3}{10}x$$
Ana a plătit pentru trei caiete, patru pixuri și cinci creioane suma de $45$ de lei:
$$3x+4\cdot \left(\frac{3}{4}x\right)+5\cdot \left(\frac{3}{10}x\right)=45$$
Simplificăm termenii:
$$3x+3x+\frac{3}{2}x=45$$
$$6x+\frac{3}{2}x=45⟺\frac{15x}{2}=45$$
$$15x=90⟹x=6$$
Prețul unui caiet este de $6$ lei.

Punctaj conform baremului:

• Exprimarea prețului unui creion: $c=\frac{3}{10}x$ (1p)
• Scrierea ecuației: $3x+4\cdot \frac{3}{4}x+5\cdot \frac{3}{10}x=45$ (1p)
• Rezolvarea ecuației $15x=90$ și aflarea prețului caietului $x=6$ lei (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a) Aducem fracțiile la același numitor comun, care este $x(x-3)(x+3)$:
$$\frac{2}{x-3}-\frac{3}{x}+\frac{2}{x+3}=\frac{2x(x+3)-3(x-3)(x+3)+2x(x-3)}{x(x-3)(x+3)}$$
Dezvoltăm numărătorul:
$$2x^2+6x-3(x^2-9)+2x^2-6x=4x^2-3x^2+27=x^2+27$$
Prin urmare:
$$\frac{2}{x-3}-\frac{3}{x}+\frac{2}{x+3}=\frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)}$$
pentru orice număr real $x$, cu $x\ne -3$, $x\ne 0$, $x\ne 3$.

Punctaj conform baremului:

• Aducerea la numitor comun (1p)
• Calculul numărătorului și obținerea formei cerute (1p)

b) Rescriem expresia $E(x)$:
$$x^2-3x=x(x-3)$$
$$E(x)=\frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)}:\frac{1}{x(x-3)}=\frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)}\cdot x(x-3)=\frac{x^2+27}{x+3}$$
Pentru $n$ număr natural ($n\ne 0,n\ne 3$), calculăm diferența $E(n)-6$:
$$E(n)-6=\frac{n^2+27}{n+3}-6=\frac{n^2+27-6(n+3)}{n+3}=\frac{n^2-6n+9}{n+3}=\frac{(n-3{)}^2}{n+3}$$
Deoarece $n$ este număr natural și $n\ne 3$, avem $(n-3{)}^2>0$.
Deoarece $n$ este număr natural nenul, avem $n+3>0$.
Fiind un raport de numere strict pozitive, obținem:
$$\frac{(n-3{)}^2}{n+3}>0⟹E(n)-6>0⟹E(n)>6$$
pentru orice număr natural $n$, $n\ne 0,n\ne 3$.

Punctaj conform baremului:

• Simplificarea și scrierea $E(x)=\frac{x^2+27}{x+3}$ (1p)
• Calculul diferenței $E(n)-6=\frac{(n-3{)}^2}{n+3}$ (1p)
• Argumentarea faptului că $(n-3{)}^2>0$ și $n+3>0$, de unde $E(n)>6$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a) Calculăm valorile funcției:
$$f(2)=2\cdot 2-4=4-4=0$$
$$f(0)=2\cdot 0-4=-4$$
Atunci:
$$f(2)-f(0)=0-(-4)=4$$

Punctaj conform baremului:

• Calculul $f(2)=0$ (1p)
• Calculul $f(0)=-4$ și finalizarea $f(2)-f(0)=4$ (1p)

b) Punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate sunt:

• Cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹2x-4=0⟹x=2$, deci $A(2,0)$.
• Cu axa $Oy$: $x=0⟹f(0)=-4$, deci $B(0,-4)$.

Punctul $C$ este simetricul punctului $A(2,0)$ față de axa $Oy$, deci coordonatele lui $C$ sunt $(-2,0)$.
Lungimile laturilor triunghiului $ABC$ sunt:

• $AC$: punctele $A(2,0)$ și $C(-2,0)$ sunt pe axa $Ox$, deci $AC=|2-(-2)|=4$.
• $AB$: în triunghiul dreptunghic $AOB$ (unde $O$ este originea sistemului):
  $$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{2^2+(-4{)}^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$
• $BC$: în triunghiul dreptunghic $COB$:
  $$BC=\sqrt{O{C}^2+O{B}^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$$
  Perimetrul triunghiului $ABC$ este:
  $${\mathcal{P}}_{△ABC}=AB+BC+AC=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+4=4\sqrt{5}+4=4(\sqrt{5}+1)$$

Punctaj conform baremului:

• Determinarea coordonatelor punctelor $A(2,0)$ și $B(0,-4)$ (1p)
• Coordonatele lui $C$ și lungimea $AC=4$ (1p)
• Calculul $AB=BC=2\sqrt{5}$ și deducerea ${\mathcal{P}}_{△ABC}=4(\sqrt{5}+1)$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a) Perimetrul pătratului $ABCD$ este:
$${\mathcal{P}}_{ABCD}=4\cdot AB=48\text{ cm}⟹AB=12\text{ cm}$$
Diagonala pătratului $ABCD$ este:
$$AC=AB\sqrt{2}=12\sqrt{2}\text{ cm}$$
Triunghiul $ACE$ fiind echilateral, latura sa este $AC=12\sqrt{2}\text{ cm}$.
Perimetrul triunghiului $ACE$ este:
$${\mathcal{P}}_{△ACE}=3\cdot AC=3\cdot 12\sqrt{2}=36\sqrt{2}\text{ cm}$$

Punctaj conform baremului:

• Aflarea laturii pătratului $AB=12\text{ cm}$ și a diagonalei $AC=12\sqrt{2}\text{ cm}$ (1p)
• Calculul ${\mathcal{P}}_{△ACE}=36\sqrt{2}\text{ cm}$ (1p)

b) Triunghiurile $ADE$ și $CDE$ sunt congruente (cazul L.L.L.):
$AD=CD$ (laturile pătratului),
$AE=CE$ (laturile triunghiului echilateral),
$DE$ este latură comună.
Deci $△ADE\equiv △CDE$, de unde rezultă că ariile lor sunt egale:
$${\mathcal{A}}_{△ADE}={\mathcal{A}}_{△CDE}$$
Observăm că patrulaterul $ADCE$ este compus fie din $△ACD$ și $△ACE$, fie din $△ADE$ și $△CDE$:
$${\mathcal{A}}_{ADCE}={\mathcal{A}}_{△ACE}-{\mathcal{A}}_{△ACD}$$
(Deoarece $D$ se află în interiorul sau între dreptele $AC$ și $E$, aria figurii $ADCE$ cu vârf concav în $D$ este diferența dintre aria triunghiului echilateral $ACE$ și aria triunghiului dreptunghic isoscel $ACD$).
Calculăm ariile:
$${\mathcal{A}}_{△ACE}=\frac{A{C}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{(12\sqrt{2}{)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{288\sqrt{3}}{4}=72\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$
$${\mathcal{A}}_{△ACD}=\frac{AD\cdot CD}{2}=\frac{12\cdot 12}{2}=72{\text{ cm}}^2$$
Prin urmare:
$${\mathcal{A}}_{△ADE}=\frac{{\mathcal{A}}_{△ACE}-{\mathcal{A}}_{△ACD}}{2}=\frac{72\sqrt{3}-72}{2}=36(\sqrt{3}-1){\text{ cm}}^2$$
Fie $DM\perp AE$ cu $M\in AE$. Distanța căutată este $d(D,AE)=DM$.
Aria triunghiului $ADE$ se poate scrie și ca:
$${\mathcal{A}}_{△ADE}=\frac{AE\cdot DM}{2}$$
Atunci:
$$DM=\frac{2\cdot {\mathcal{A}}_{△ADE}}{AE}=\frac{2\cdot 36(\sqrt{3}-1)}{12\sqrt{2}}=\frac{72(\sqrt{3}-1)}{12\sqrt{2}}=\frac{6(\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)\text{ cm}$$

Punctaj conform baremului:

• $△ADE\equiv △CDE$ și ${\mathcal{A}}_{△ADE}=\frac{{\mathcal{A}}_{△ACE}-{\mathcal{A}}_{△ACD}}{2}=36(\sqrt{3}-1){\text{ cm}}^2$ (1p)
• Relația $DM\perp AE⟹d(D,AE)=DM$ și ${\mathcal{A}}_{△ADE}=\frac{AE\cdot DM}{2}$ (1p)
• Finalizarea $DM=3\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)\text{ cm}$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a) Construim înălțimea $CN\perp AB$, unde $N\in AB$.
Patrulaterul $ADCN$ are trei unghiuri drepte (în $A$, $D$ și $N$), deci este dreptunghi.
Cum $AD=4\text{ cm}$ și $DC=4\text{ cm}$, rezultă că $ADCN$ este pătrat, având $AN=DC=4\text{ cm}$ și $CN=AD=4\text{ cm}$.
Segmentul $NB$ are lungimea:
$$NB=AB-AN=8-4=4\text{ cm}$$
În triunghiul dreptunghic $CNB$, aplicăm teorema lui Pitagora:
$$BC=\sqrt{C{N}^2+N{B}^2}=\sqrt{4^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{ cm}$$

Punctaj conform baremului:

• Construirea $CN\perp AB$ și determinarea $CN=4\text{ cm}$, $NB=4\text{ cm}$ (1p)
• Calculul $BC=4\sqrt{2}\text{ cm}$ prin teorema lui Pitagora (1p)

b) $M$ este mijlocul segmentului $DC$, deci:
$$DM=\frac{DC}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$$
Deoarece $DC\parallel AB$, avem $DM\parallel AB$. Aplicând teorema fundamentală a asemănării în triunghiul determinat de secante:
$$△DPM\sim △BPA⟹\frac{PM}{PA}=\frac{DM}{BA}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$$
Fie înălțimea din $P$ pe $DC$, respectiv $AB$. Construim dreapta perpendiculară pe $AB$ și $DC$ care trece prin $P$, intersectând $DC$ în $E$ și $AB$ în $F$ ($EF\perp AB$, $EF=AD=4\text{ cm}$).
Triunghiurile dreptunghice $PME$ și $PAF$ sunt asemenea:
$$△PME\sim △PAF⟹\frac{PE}{PF}=\frac{PM}{PA}=\frac{1}{4}$$
Cum $PE+PF=EF=4\text{ cm}$, obținem:
$$\frac{1}{4}PF+PF=4⟺\frac{5}{4}PF=4⟹PF=\frac{16}{5}\text{ cm}$$
Aria triunghiului $APB$ este:
$${\mathcal{A}}_{△APB}=\frac{AB\cdot PF}{2}=\frac{8\cdot \frac{16}{5}}{2}=\frac{64}{5}{\text{ cm}}^2$$
Aria patrulaterului $ABCM$ (trapez dreptunghic cu bazele $AB$ și $MC$):
$$MC=4-2=2\text{ cm}$$
$${\mathcal{A}}_{ABCM}=\frac{(AB+MC)\cdot AD}{2}=\frac{(8+2)\cdot 4}{2}=20{\text{ cm}}^2$$
Aria patrulaterului $MPBC$ este diferența dintre aria trapezului $ABCM$ și aria triunghiului $APB$:
$${\mathcal{A}}_{MPBC}={\mathcal{A}}_{ABCM}-{\mathcal{A}}_{△APB}=20-\frac{64}{5}=\frac{100-64}{5}=\frac{36}{5}=7,2{\text{ cm}}^2$$

Punctaj conform baremului:

• Stabilirea asemănării $△DPM\sim △BPA$ și a raportului $\frac{PM}{PA}=\frac{1}{4}$ (1p)
• Deducerea înălțimii $PF=\frac{16}{5}\text{ cm}$ și calculul ${\mathcal{A}}_{△APB}=\frac{64}{5}{\text{ cm}}^2$ (1p)
• Calculul ${\mathcal{A}}_{ABCM}=20{\text{ cm}}^2$ și finalizarea ${\mathcal{A}}_{MPBC}=\frac{36}{5}=7,2{\text{ cm}}^2$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a) Muchia cubului este $AB=8\text{ cm}$.
Volumul cubului este:
$${\mathcal{V}}_{ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }}=A{B}^3=8^3=512{\text{ cm}}^3$$

Punctaj conform baremului:

• Formula volumului $\mathcal{V}=A{B}^3$ (1p)
• Calculul $8^3=512{\text{ cm}}^3$ (1p)

b) În triunghiul $AC{C}^{\prime }$:

• $O$ este mijlocul diagonalei $AC$ (diagonalele pătratului se înjumătățesc);
• $F$ este mijlocul muchiei $C{C}^{\prime }$.
  Deci segmentul $FO$ este linie mijlocie în triunghiul $AC{C}^{\prime }$, ceea ce înseamnă că:
  $$FO\parallel A{C}^{\prime }$$
  Prin urmare, unghiul dintre dreptele $FO$ și $DE$ este egal cu unghiul dintre $A{C}^{\prime }$ și $DE$:
  $$\sphericalangle (FO,DE)=\sphericalangle (A{C}^{\prime },DE)$$
  Considerăm triunghiul determinat de dreptele $A{C}^{\prime }$ și $DE$. Fie $Q$ punctul de intersecție al dreptelor $DE$ și $A{C}^{\prime }$.
  Deoarece $A^{\prime }B\cap A{B}^{\prime }=\{E\}$, $E$ este mijlocul ambelor diagonale ale feței $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ (deci $E\in A{B}^{\prime }$). Segmentul $A{B}^{\prime }$ este paralel cu $D{C}^{\prime }$ (fețe opuse în cub: $AB\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$ și $A{A}^{\prime }\parallel D{D}^{\prime }$, deci $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$ și $A{B}^{\prime }=D{C}^{\prime }$).
  În planul $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }D)$, patrulaterul $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }D$ este dreptunghi, deoarece $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$ și $A{B}^{\prime }=D{C}^{\prime }=8\sqrt{2}\text{ cm}$.
  Deoarece $E$ este mijlocul lui $A{B}^{\prime }$, avem $AE=\frac{1}{2}A{B}^{\prime }=4\sqrt{2}\text{ cm}$.
  În dreptunghiul $A{B}^{\prime }{C}^{\prime }D$, dreptele $DE$ și $A{C}^{\prime }$ se intersectează în punctul $Q$.
  Deoarece $AE\parallel C^{\prime }D$, conform teoremei fundamentale a asemănării:
  $$△AQE\sim △C^{\prime }QD⟹\frac{AQ}{C^{\prime }Q}=\frac{QE}{QD}=\frac{AE}{C^{\prime }D}=\frac{4\sqrt{2}}{8\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$$
  Rezultă că:
  $$QD=\frac{2}{3}DE\text{și}{C}^{\prime }Q=\frac{2}{3}A{C}^{\prime }$$
  Calculăm lungimile segmentelor:
• În triunghiul dreptunghic $DAE$ (cu $\sphericalangle DAE=90^{\circ }$ deoarece $DA\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$):
  $$DE=\sqrt{A{D}^2+A{E}^2}=\sqrt{8^2+(4\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{64+32}=\sqrt{96}=4\sqrt{6}\text{ cm}$$
  Deci $QD=\frac{2}{3}\cdot 4\sqrt{6}=\frac{8\sqrt{6}}{3}\text{ cm}$.
• Diagonala cubului este $A{C}^{\prime }=8\sqrt{3}\text{ cm}$, deci:
  $$C^{\prime }Q=\frac{2}{3}\cdot 8\sqrt{3}=\frac{16\sqrt{3}}{3}\text{ cm}$$
• În triunghiul $C^{\prime }QD$, latura $C^{\prime }D$ este diagonala pătratului feței $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$, deci $C^{\prime }D=8\sqrt{2}\text{ cm}$.

Verificăm reciproca teoremei lui Pitagora în $△DQ{C}^{\prime }$:
$$Q{D}^2+C^{\prime }{Q}^2={\left(\frac{8\sqrt{6}}{3}\right)}^2+{\left(\frac{16\sqrt{3}}{3}\right)}^2=\frac{384}{9}+\frac{768}{9}=\frac{1152}{9}=128$$
$$C^{\prime }{D}^2=(8\sqrt{2}{)}^2=128$$
Cum $Q{D}^2+C^{\prime }{Q}^2=C^{\prime }{D}^2$, rezultă că triunghiul $DQ{C}^{\prime }$ este dreptunghic în $Q$, deci:
$$m(\sphericalangle DQ{C}^{\prime })=90^{\circ }⟹DE\perp A{C}^{\prime }$$
Cum $FO\parallel A{C}^{\prime }$, rezultă că:
$$FO\perp DE$$

Punctaj conform baremului:

• $FO$ linie mijlocie în $△AC{C}^{\prime }⟹FO\parallel A{C}^{\prime }⟹\sphericalangle (FO,DE)=\sphericalangle (A{C}^{\prime },DE)$ (1p)
• $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }⟹△AQE\sim △C^{\prime }QD$ cu raportul $\frac{1}{2}$, de unde $QD=\frac{2}{3}DE$ și $C^{\prime }Q=\frac{2}{3}A{C}^{\prime }$ (1p)
• Calculul segmentelor $QD$, $C^{\prime }Q$, $C^{\prime }D$ și aplicarea reciprocei teoremei lui Pitagora pentru a arăta că $m(\sphericalangle DQ{C}^{\prime })=90^{\circ }⟹FO\perp DE$ (1p)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $4+12:2$ este egal cu:

• a) $6$
• b) $8$
• c) $10$
• d) $12$

5p 2. Știind că $\frac{a}{2}=\frac{2}{3}$, atunci $\frac{a}{4}$ este egal cu:

• a) $\frac{1}{3}$
• b) $\frac{4}{3}$
• c) $2$
• d) $3$

5p 3. Produsul numerelor $-2$ și $5$ este egal cu:

• a) $-10$
• b) $-3$
• c) $3$
• d) $10$

5p 4. Soluția ecuației $6x-2=1$ este numărul:

• a) $-\frac{1}{3}$
• b) $-\frac{1}{2}$
• c) $\frac{1}{3}$
• d) $\frac{1}{2}$

5p 5. Patru elevi, Ana, Maria, Dan și Vlad, calculează suma numerelor $a=\sqrt{3^2+4^2}$ și $b=\sqrt{3^2\cdot 4^2}$. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Ana	Maria	Dan	Vlad
$17$	$19$	$37$	$43$

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:

• a) Ana
• b) Maria
• c) Dan
• d) Vlad

5p 6. În diagrama de mai jos, sunt prezentate rezultatele obținute de elevii participanți la un concurs.

[Figura: O diagramă cu bare verticale indicând punctajele și numărul de elevi: la 40 de puncte – 2 elevi; la 50 de puncte – 3 elevi; la 60 de puncte – 6 elevi; la 70 de puncte – 5 elevi; la 80 de puncte – 4 elevi; la 90 de puncte – 6 elevi; la 100 de puncte – 4 elevi]

Afirmația „Conform informațiilor din diagramă, $5$ dintre elevii participanți au obținut exact $80$ de puncte.” este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată, punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$ și punctul $D$ este simetricul punctului $B$ față de $C$. Știind că $AD=12\text{ cm}$, lungimea segmentului $AC$ este egală cu:

[Figura: Punctele coliniare A, B, C, D în această ordine pe o dreaptă]

• a) $3\text{ cm}$
• b) $4\text{ cm}$
• c) $6\text{ cm}$
• d) $8\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente $AOB$ și $BOC$, $\sphericalangle BOC=2\cdot \sphericalangle AOB$. Măsura unghiului $AOC$ este egală cu $120^{\circ }$ și semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Măsura unghiului $AOM$ este egală cu:

[Figura: Unghiurile adiacente AOB și BOC, semidreapta OM situată în interiorul unghiului BOC]

• a) $30^{\circ }$
• b) $40^{\circ }$
• c) $60^{\circ }$
• d) $80^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $\sphericalangle BAC=120^{\circ }$. Punctul $E$ aparține segmentului $BC$, astfel încât $CE=4\text{ cm}$, iar dreptele $AB$ și $AE$ sunt perpendiculare. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul isoscel ABC cu unghiul obtuz BAC de 120°, punctul E pe BC cu AE perpendicular pe AB]

• a) $16\text{ cm}$
• b) $12\text{ cm}$
• c) $8\text{ cm}$
• d) $6\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=3\cdot BC$. Perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este egal cu $32\text{ cm}$. Aria dreptunghiului $ABCD$ este egală cu:

[Figura: Dreptunghiul ABCD]

• a) $16{\text{ cm}}^2$
• b) $32{\text{ cm}}^2$
• c) $48{\text{ cm}}^2$
• d) $64{\text{ cm}}^2$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, înscris în cercul de centru $O$. Punctul $D$ aparține arcului mic $BC$. Măsura unghiului $BDC$ este egală cu:

[Figura: Cercul de centru O circumscris triunghiului echilateral ABC, cu punctul D situat pe arcul mic BC]

• a) $60^{\circ }$
• b) $90^{\circ }$
• c) $120^{\circ }$
• d) $150^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat conul circular drept cu secțiunea axială triunghiul echilateral $VAB$, cu $AB=6\text{ cm}$. Aria laterală a conului este egală cu:

[Figura: Con circular drept cu vârful V și baza având diametrul AB]

• a) $18\pi {\text{ cm}}^2$
• b) $27\pi {\text{ cm}}^2$
• c) $36\pi {\text{ cm}}^2$
• d) $54\pi {\text{ cm}}^2$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Ana a cumpărat de la o librărie caiete, pixuri și creioane. Prețul unui pix este egal cu $75\%$ din prețul unui caiet, iar prețul unui creion este egal cu $40\%$ din prețul unui pix.

(2p) a) Este posibil ca prețul a opt pixuri să fie egal cu prețul a cinci caiete? Justifică răspunsul dat.

(3p) b) Dacă Ana a plătit pentru trei caiete, patru pixuri și cinci creioane suma de $45$ de lei, determină prețul unui caiet.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{2}{x-3}-\frac{3}{x}+\frac{2}{x+3}\right):\frac{1}{x^2-3x}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -3$, $x\ne 0$ și $x\ne 3$.

(2p) a) Arată că $\frac{2}{x-3}-\frac{3}{x}+\frac{2}{x+3}=\frac{x^2+27}{x(x-3)(x+3)}$, pentru orice număr real $x$, $x\ne -3$, $x\ne 0$ și $x\ne 3$.

(3p) b) Demonstrează că $E(n)>6$, pentru orice număr natural $n$, $n\ne 0$, $n\ne 3$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-4$.

(2p) a) Arată că $f(2)-f(0)=4$.

(3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Punctul $C$ este simetricul punctului $A$ față de axa $Oy$. Arată că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $4(\sqrt{5}+1)$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ și triunghiul echilateral $ACE$, astfel încât punctele $D$ și $E$ sunt situate de aceeași parte a dreptei $AC$. Perimetrul pătratului $ABCD$ este egal cu $48\text{ cm}$.

[Figura: Pătratul ABCD și triunghiul echilateral ACE construit pe diagonala AC, ambele în același semiplan determinat de AC]

(2p) a) Arată că perimetrul triunghiului $ACE$ este egal cu $36\sqrt{2}\text{ cm}$.

(3p) b) Arată că distanța de la punctul $D$ la dreapta $AE$ este egală cu $3\sqrt{2}(\sqrt{3}-1)\text{ cm}$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$, cu $AB\parallel DC$, $\sphericalangle DAB=90^{\circ }$, $AB=8\text{ cm}$ și $AD=DC=4\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $DC$ și $P$ este punctul de intersecție a dreptelor $AM$ și $BD$.

[Figura: Trapezul dreptunghic ABCD cu unghiurile drepte în A și D, M pe CD și P intersecția diagonalelor/segmentelor BD și AM]

(2p) a) Arată că $BC=4\sqrt{2}\text{ cm}$.

(3p) b) Calculează aria patrulaterului $MPBC$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=8\text{ cm}$. Dreptele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$, iar dreptele $A^{\prime }B$ și $A{B}^{\prime }$ se intersectează în punctul $E$. Punctul $F$ este mijlocul segmentului $C{C}^{\prime }$.

[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D', centrul bazei O, centrul feței ABB'A' notat cu E, mijlocul muchiei CC' notat cu F]

(2p) a) Arată că volumul cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu $512{\text{ cm}}^3$.

(3p) b) Demonstrează că dreptele $FO$ și $DE$ sunt perpendiculare.