Evaluare Națională 2024, matematică: examen oficial (sesiunea iunie)

Rezolvare completă și barem de evaluare

---

Subiectul I

1)

• Calculăm respectând ordinea operațiilor: împărțirea se efectuează înaintea adunării:
  $$8+14:2=8+7=15$$
• Răspuns corect: b) (5p)

2)

• Calculăm reducerea de preț:
  $$20\%\text{ din }200=\frac{20}{100}\cdot 200=40\text{ lei}$$
• Noul preț al albumului este:
  $$200-40=160\text{ lei}$$
• Răspuns corect: c) (5p)

3)

• Intersecția intervalelor reprezintă mulțimea elementelor comune ambelor intervale:
  $$I\cap J=(-\infty ,6]\cap (4,+\infty )=(4,6]$$
• Răspuns corect: d) (5p)

4)

• Scriem numerele zecimale sub formă desfășurată pentru a le compara zecimalele:
  • $5,(024)=5,024024\dots$
  • $5,(24)=5,242424\dots$
  • $5,2(4)=5,244444\dots$
  • $5,24=5,240000\dots$
• Comparând a treia zecimală (zecimile și sutimile fiind $2$ și $4$ la ultimele trei numere), observăm că la $5,2(4)$ a treia zecimală este $4$, mai mare decât $2$ sau $0$.
• Deci, cel mai mare număr este $5,2(4)$.
• Răspuns corect: c) (5p)

5)

• Modulul oricărui număr real este nenegativ: $|a+3|\ge 0$ și $|b-4|\ge 0$.
• Suma a doi termeni nenegativi este egală cu $0$ dacă și numai dacă fiecare termen este $0$:
  $$|a+3|=0⟹a+3=0⟹a=-3$$
  $$|b-4|=0⟹b-4=0⟹b=4$$
• Suma numerelor este:
  $$a+b=-3+4=1$$
• Dana a obținut rezultatul corect $1$.
• Răspuns corect: c) (5p)

6)

• Înlocuim $x=1$ în ecuație:
  • Membrul stâng: $2\cdot 1+3=2+3=5$
  • Membrul drept: $4\cdot 1+1=4+1=5$
• Cum $5=5$, egalitatea este adevărată, deci numărul $1$ este soluție a ecuației.
• Răspuns corect: a) (5p)

---

Subiectul al II-lea

1)

• Lungimea segmentului $AD$ este:
  $$AD=4\cdot BC=4\cdot 4=16\text{ cm}$$
• Deoarece punctele sunt coliniare în ordinea $A,B,C,D$:
  $$AD=AB+BC+CD$$
• Știind că $AB=CD$ și $BC=4\text{ cm}$:
  $$16=2\cdot AB+4⟹2\cdot AB=12⟹AB=6\text{ cm}$$
• Răspuns corect: b) (5p)

2)

• Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $AB=AC$, deci unghiurile de la bază sunt congruente:
  $$\sphericalangle B=\sphericalangle C=40^{\circ }$$
• Măsura unghiului exterior $\sphericalangle CAD$ este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare neadiacente:
  $$\sphericalangle CAD=\sphericalangle B+\sphericalangle C=40^{\circ }+40^{\circ }=80^{\circ }$$
• Răspuns corect: c) (5p)

3)

• În triunghiul $ABC$, suma măsurilor unghiurilor este $180^{\circ }$:
  $$\sphericalangle B=180^{\circ }-(\sphericalangle A+\sphericalangle C)=180^{\circ }-(43^{\circ }+51^{\circ })=180^{\circ }-94^{\circ }=86^{\circ }$$
• În patrulaterul $BNMP$ avem $MN\parallel BP$ (deoarece $MN\parallel BC$) și $MP\parallel BN$ (deoarece $MP\parallel AB$), deci patrulaterul $BNMP$ este paralelogram.
• Într-un paralelogram, unghiurile opuse sunt congruente, deci:
  $$\sphericalangle NMP=\sphericalangle B=86^{\circ }$$
• Răspuns corect: c) (5p)

4)

• Diagonala $AC$ împarte paralelogramul $ABCD$ în două triunghiuri de arii egale: ${\mathcal{A}}_{ABCD}=2\cdot {\mathcal{A}}_{ABC}$.
• În triunghiul $ABC$, $CM$ este mediană ($M$ este mijlocul laturii $AB$), deci împarte triunghiul în două triunghiuri de arii egale:
  $${\mathcal{A}}_{ABC}=2\cdot {\mathcal{A}}_{ACM}=2\cdot 10=20{\text{ cm}}^2$$
• Aria paralelogramului este:
  $${\mathcal{A}}_{ABCD}=2\cdot {\mathcal{A}}_{ABC}=2\cdot 20=40{\text{ cm}}^2$$
• Răspuns corect: d) (5p)

5)

• $AC$ este diametru, deci lungimea sa este $AC=2\cdot R=2\cdot 6=12\text{ cm}$.
• Unghiul $\sphericalangle ABC$ este înscris într-un semicerc, deci $\sphericalangle ABC=90^{\circ }$.
• În triunghiul dreptunghic $ABC$, cateta $BC$ se opune unghiului de $30^{\circ }$ ($\sphericalangle BAC=30^{\circ }$), deci conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$:
  $$BC=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ cm}$$
• Răspuns corect: a) (5p)

6)

• Segmentul $AC$ este diagonala pătratului $ABCD$, iar $A{D}^{\prime }$ este diagonala pătratului $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$.
• Unim $C$ cu $D^{\prime }$. Segmentul $C{D}^{\prime }$ este diagonala pătratului $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$.
• Cum fețele cubului sunt pătrate congruente, diagonalele lor sunt de lungimi egale:
  $$AC=A{D}^{\prime }=C{D}^{\prime }$$
• Triunghiul $AC{D}^{\prime }$ este echilateral, de unde rezultă că măsura unghiului dintre $AC$ și $A{D}^{\prime }$ este:
  $$\sphericalangle CA{D}^{\prime }=60^{\circ }$$
• Răspuns corect: b) (5p)

---

Subiectul al III-lea

1)

• a) Dacă ar fi $30$ de elevi în clasă, scădem cei $3$ elevi care rămân în picioare:
  $$30-3=27\text{ de elevi ar trebui sa˘ stea așezați caˆte doi ıˆn banca˘}$$ (1p)
  Deoarece numărul $27$ este impar, el nu se divide la $2$, așadar nu se pot așeza exact câte doi elevi în fiecare bancă ocupată. Prin urmare, în clasă nu pot fi 30 de elevi. (1p)

• b) Notăm cu $a$ numărul elevilor și cu $b$ numărul băncilor din laborator.
  Din prima condiție:
  $$a=2b+3$$ (1p)
  Din a doua condiție, dacă rămân $5$ bănci libere și o bancă cu un singur elev, rezultă că sunt $b-5-1=b-6$ bănci ocupate complet cu câte $4$ elevi:
  $$a=4(b-6)+1$$ (1p)
  Egalăm cele două expresii ale lui $a$:
  $$2b+3=4b-24+1⟹2b+3=4b-23⟹2b=26⟹b=13$$
  Așadar, în laboratorul de fizică sunt 13 bănci. (1p)

---

2)

• a) Descompunem expresia:
  $$x^2-3x+2=x^2-2x-x+2=x(x-2)-(x-2)$$ (1p)
  $$=(x-2)(x-1)=(x-1)(x-2),\text{pentru orice numa˘r real }x$$ (1p)

• b) Înlocuim descompunerea în expresia $E(x)$ și aducem la numitor comun în paranteză:
  $$E(x)=\left(\frac{1}{(x-1)(x-2)}+\frac{x-2}{(x-1)(x-2)}\right)\cdot (x^2-4)=\frac{1+x-2}{(x-1)(x-2)}\cdot (x^2-4)=\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}\cdot (x^2-4)$$ (1p)
  Folosind formula $x^2-4=(x-2)(x+2)$ și simplificând:
  $$E(x)=\frac{x-1}{(x-1)(x-2)}\cdot (x-2)(x+2)=x+2,\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}\setminus \{1,2\}$$ (1p)
  Avem $N=\frac{5}{E(n)}=\frac{5}{n+2}$.
  Pentru ca $N$ să fie număr natural, $n+2$ trebuie să fie un divizor natural al lui $5$:
  $$n+2\in {\mathcal{D}}_5\cap {\mathbb{N}}^{\ast }⟹n+2\in \{1,5\}$$

  • Dacă $n+2=1⟹n=-1$
  • Dacă $n+2=5⟹n=3$
    Verificăm condițiile: $n\in \mathbb{Z}$, $n\ne 1$ și $n\ne 2$, ambele valori fiind acceptabile.
    Așadar, numerele căutate sunt $n=-1$ și $n=3$. (1p)

---

3)

• a) Calculăm valorile funcției:
  $$f(0)=2\cdot 0-1=-1$$ (1p)
  $$f(1)=2\cdot 1-1=1$$
  Obținem:
  $$f(0)+f(1)=-1+1=0$$ (1p)

• b) Determinăm coordonatele punctelor de intersecție cu axele de coordonate:

  • Intersecția cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹2x-1=0⟹x=\frac{1}{2}$, deci $A\left(\frac{1}{2},0\right)$.
  • Intersecția cu axa $Oy$: $x=0⟹y=f(0)=-1$, deci $B(0,-1)$. (1p)
    În triunghiul dreptunghic $AOB$ (dreptunghic în $O$):
    $$OA=\frac{1}{2},OB=|-1|=1$$
    Lungimea ipotenuzei $AB$ este:
    $$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1^2}=\sqrt{\frac{1}{4}+1}=\sqrt{\frac{5}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$$ (1p)
    Fie $D$ piciorul perpendicularei din $C$ pe dreapta $AB$, deci distanța căutată este $CD$.
    Punctele $C\left(-\frac{1}{2},0\right)$, $O(0,0)$ și $A\left(\frac{1}{2},0\right)$ sunt coliniare pe axa $Ox$, deci:
    $$AC=CO+OA=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$
    Triunghiurile dreptunghice $CDA$ și $BOA$ sunt asemenea (au unghiul $\sphericalangle CAD$ comun):
    $$\Delta CDA\sim \Delta BOA⟹\frac{CD}{OB}=\frac{AC}{AB}⟹CD=\frac{AC\cdot OB}{AB}=\frac{1\cdot 1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$$ (1p)

---

4)

• a) În triunghiul dreptunghic $ADC$ (cu $AD\perp BC$, deci $\sphericalangle ADC=90^{\circ }$):
  $$\sphericalangle DAC+\sphericalangle ACB=90^{\circ }$$ (1p)
  În triunghiul dreptunghic $BEC$ (cu $BE\perp AC$, deci $\sphericalangle BEC=90^{\circ }$):
  $$\sphericalangle EBC+\sphericalangle ACB=90^{\circ }$$
  Cum ambele unghiuri au ca și complement unghiul $\sphericalangle ACB$, rezultă că:
  $$\sphericalangle DAC=\sphericalangle EBC$$ (1p)

• b) Triunghiul $ABC$ fiind isoscel cu $AB=AC$, înălțimea $AD$ este și mediană, deci $D$ este mijlocul laturii $BC$:
  $$BD=DC=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}$$ (1p)
  Triunghiurile dreptunghice $BHD$ și $ACD$ sunt asemenea (deoarece $\sphericalangle BDH=\sphericalangle ADC=90^{\circ }$ și $\sphericalangle HBD=\sphericalangle DAC$ conform punctului a)):
  $$\Delta BHD\sim \Delta ACD⟹\frac{HD}{DC}=\frac{BD}{AD}$$ (1p)
  Înlocuind $BD=DC=\frac{AD}{2}$, obținem:
  $$\frac{HD}{\frac{AD}{2}}=\frac{\frac{AD}{2}}{AD}⟹HD=\frac{{\left(\frac{AD}{2}\right)}^2}{AD}=\frac{\frac{A{D}^2}{4}}{AD}=\frac{AD}{4}$$
  Atunci segmentul $AH$ este:
  $$AH=AD-HD=AD-\frac{AD}{4}=\frac{3\cdot AD}{4}$$
  Cum $HD=\frac{AD}{4}$, rezultă:
  $$AH=3\cdot HD$$ (1p)

---

5)

• a) Segmentul $CD$ este diametru al cercului, deci arcul $\text{overparen}CD$ are măsura de $180^{\circ }$. (1p)
  Unghiul $\sphericalangle CMD$ este un unghi înscris în cerc care subîntinde semicercul $\text{overparen}CD$, deci:
  $$\sphericalangle CMD=\frac{\text{m}(\text{overparen}CD)}{2}=\frac{180^{\circ }}{2}=90^{\circ }$$ (1p)

• b) Din enunț avem $MN=4\text{ cm}$ și $DN=2\cdot MN=2\cdot 4=8\text{ cm}$, de unde:
  $$MD=MN+DN=4+8=12\text{ cm}$$
  În triunghiul dreptunghic $DON$ (cu $BO\perp CD$, deci $\sphericalangle NOD=90^{\circ }$):
  $$\cos (\sphericalangle NDO)=\frac{OD}{ND}$$
  În triunghiul dreptunghic $CMD$ (dreptunghic în $M$):
  $$\cos (\sphericalangle MDC)=\frac{MD}{CD}$$
  Unghiul $\sphericalangle NDO$ este același cu unghiul $\sphericalangle MDC$, deci:
  $$\frac{OD}{ND}=\frac{MD}{CD}$$ (1p)
  Știind că $CD=2\cdot OD$ (diametrul este dublul razei), $ND=8\text{ cm}$ și $MD=12\text{ cm}$, avem:
  $$\frac{OD}{8}=\frac{12}{2\cdot OD}⟹2\cdot O{D}^2=96⟹O{D}^2=48⟹OD=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)
  Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $DON$:
  $$ON=\sqrt{D{N}^2-O{D}^2}=\sqrt{8^2-48}=\sqrt{64-48}=\sqrt{16}=4\text{ cm}$$
  Aria triunghiului $DON$ este:
  $${\mathcal{A}}_{\Delta DON}=\frac{ON\cdot OD}{2}=\frac{4\cdot 4\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$ (1p)

---

6)

• a) Prisma dreaptă are 3 fețe laterale dreptunghiulare egale, fiecare având dimensiunile $AB$ și $A{A}^{\prime }$.
  Aria unei fețe laterale este:
  $${\mathcal{A}}_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=AB\cdot A{A}^{\prime }=12\cdot 3\sqrt{3}=36\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$ (1p)
  Aria laterală a prismei este:
  $${\mathcal{A}}_{\text{laterala˘}}=3\cdot {\mathcal{A}}_{AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }}=3\cdot 36\sqrt{3}=108\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$ (1p)

• b) Fie $N$ mijlocul muchiei $A^{\prime }{B}^{\prime }$.
  În prisma regulată, $A^{\prime }{C}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$, iar triunghiul $A^{\prime }{B}^{\prime }C$ este isoscel ($A^{\prime }C=B^{\prime }C$), deci mediana $CN$ este și înălțime:
  $$CN\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$$
  Deoarece $M$ este mijlocul lui $AB$ și $N$ este mijlocul lui $A^{\prime }{B}^{\prime }$, avem $MN\parallel A{A}^{\prime }$. Deoarece $A{A}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, rezultă:
  $$MN\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$$
  Din $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp CN$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp MN$, cum $CN,MN\subset (CMN)$ și $CN\cap MN=\{N\}$, rezultă că:
  $$A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (CMN)$$ (1p)
  Construim perpendiculara din $M$ pe dreapta $CN$, fie $MP\perp CN$, cu $P\in CN$.
  Cum $MP\subset (CMN)$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp (CMN)$, deducem că $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp MP$, adică $MP\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$.
  Deoarece $MP\perp CN$ și $MP\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$, cu $CN,A^{\prime }{B}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }C)$ și $CN\cap A^{\prime }{B}^{\prime }=\{N\}$, rezultă că:
  $$MP\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }C)⟹d(M,(A^{\prime }{B}^{\prime }C))=MP$$ (1p)
  Triunghiul $MNC$ este dreptunghic în $M$ (deoarece $MN\perp (ABC)$ și $MC\subset (ABC)$):

  • $MN=A{A}^{\prime }=3\sqrt{3}\text{ cm}$
  • În triunghiul echilateral $ABC$, $MC$ este înălțime:
    $$MC=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}$$
  • Ipotenuza $CN$ se calculează cu teorema lui Pitagora în $\Delta MNC$:
    $$CN=\sqrt{M{N}^2+M{C}^2}=\sqrt{(3\sqrt{3}{)}^2+(6\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{27+108}=\sqrt{135}=3\sqrt{15}\text{ cm}$$
    Segmentul $MP$ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei în $\Delta MNC$ dreptunghic:
    $$MP=\frac{MN\cdot MC}{CN}=\frac{3\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}}{3\sqrt{15}}=\frac{54}{3\sqrt{15}}=\frac{18}{\sqrt{15}}=\frac{18\sqrt{15}}{15}=\frac{6\sqrt{15}}{5}\text{ cm}$$
    Așadar, distanța de la punctul $M$ la planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }C)$ este egală cu $\frac{6\sqrt{15}}{5}\text{ cm}$. (1p)

Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a

Anul școlar 2023 – 2024
Matematică
Varianta 7

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $8+14:2$ este egal cu:
a) $22$
b) $15$
c) $11$
d) $6$

5p 2. Un album costă $200$ de lei. După o reducere cu $20\%$, prețul albumului este egal cu:
a) $20$ de lei
b) $40$ de lei
c) $160$ de lei
d) $180$ de lei

5p 3. Se consideră intervalele de numere reale $I=(-\infty ,6]$ și $J=(4,+\infty )$. Intersecția intervalelor $I$ și $J$ este intervalul:
a) $(-\infty ,4]$
b) $[4,6)$
c) $(6,+\infty )$
d) $(4,6]$

5p 4. Cel mai mare număr din mulțimea $A=\{5,(024);5,(24);5,2(4);5,24\}$ este:
a) $5,(024)$
b) $5,(24)$
c) $5,2(4)$
d) $5,24$

5p 5. Patru elevi, Alin, Ioana, Dana și Vlad, calculează suma numerelor reale $a$ și $b$ pentru care $|a+3|+|b-4|=0$. Răspunsurile date de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Alin	Ioana	Dana	Vlad
$-7$	$-1$	$1$	$7$

Rezultatul corect a fost obținut de către:
a) Alin
b) Ioana
c) Dana
d) Vlad

5p 6. Afirmația: „Numărul $1$ este soluția ecuației $2x+3=4x+1$.” este:
a) adevărată
b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $BC=4\text{ cm}$, $AD=4\cdot BC$ și $AB=CD$. Lungimea segmentului $AB$ este egală cu:
a) $4\text{ cm}$
b) $6\text{ cm}$
c) $8\text{ cm}$
d) $12\text{ cm}$

[Figura: Punctele $A,B,C,D$ coliniare în această ordine]

5p 2. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$, cu $AB=AC$ și măsura unghiului $C$ egală cu $40^{\circ }$. Punctele $B$, $A$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine. Măsura unghiului $CAD$ este egală cu:
a) $40^{\circ }$
b) $60^{\circ }$
c) $80^{\circ }$
d) $100^{\circ }$

[Figura: Triunghiul isoscel $ABC$ cu semidreapta $(AD$ în prelungirea laturii $BA$]

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu măsura unghiului $A$ egală cu $43^{\circ }$ și măsura unghiului $C$ egală cu $51^{\circ }$. Punctele $M$, $N$ și $P$ aparțin laturilor $AC$, $AB$ respectiv $BC$, astfel încât dreapta $MN$ este paralelă cu dreapta $BC$ și dreapta $MP$ este paralelă cu dreapta $AB$. Măsura unghiului $NMP$ este egală cu:
a) $43^{\circ }$
b) $51^{\circ }$
c) $86^{\circ }$
d) $94^{\circ }$

[Figura: Triunghiul $ABC$ cu $M\in AC$, $N\in AB$, $P\in BC$, $MN\parallel BC$ și $MP\parallel AB$]

5p 4. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și aria triunghiului $ACM$ este egală cu $10{\text{ cm}}^2$. Aria paralelogramului $ABCD$ este egală cu:
a) $10{\text{ cm}}^2$
b) $20{\text{ cm}}^2$
c) $30{\text{ cm}}^2$
d) $40{\text{ cm}}^2$

[Figura: Paralelogramul $ABCD$ cu $M$ mijlocul segmentului $AB$ și triunghiul $ACM$ desenat]

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ și raza egală cu $6\text{ cm}$. Punctele $A$, $B$ și $C$ aparțin cercului, $AC$ este diametru și măsura unghiului $BAC$ este egală cu $30^{\circ }$. Lungimea coardei $BC$ este egală cu:
a) $6\text{ cm}$
b) $6\sqrt{3}\text{ cm}$
c) $12\text{ cm}$
d) $8\sqrt{3}\text{ cm}$

[Figura: Cercul de centru $O$ și diametru $AC$, cu triunghiul $ABC$ înscris în cerc]

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Unghiul dreptelor $AC$ și $A{D}^{\prime }$ are măsura egală cu:
a) $45^{\circ }$
b) $60^{\circ }$
c) $90^{\circ }$
d) $120^{\circ }$

[Figura: Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu diagonalele de fețe $AC$ și $A{D}^{\prime }$ marcate]

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Dacă elevii unei clase se așază câte $2$ în fiecare bancă din laboratorul de fizică, atunci rămân $3$ elevi în picioare. Dacă elevii se așază câte $4$ în bancă, atunci rămân $5$ bănci libere și o bancă în care stă un singur elev.
(2p) a) Verifică dacă în acea clasă pot fi $30$ de elevi. Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Determină numărul băncilor din laboratorul de fizică.

5p 2. Se consideră expresia
$$E(x)=\left(\frac{1}{x^2-3x+2}+\frac{1}{x-1}\right)\cdot (x^2-4)$$
unde $x$ este număr real, $x\ne 1$ și $x\ne 2$.
(2p) a) Arată că $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$, pentru orice număr real $x$.
(3p) b) Determină numerele întregi $n$, $n\ne 1$ și $n\ne 2$, pentru care $N=\frac{5}{E(n)}$ este număr natural.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-1$.
(2p) a) Arată că $f(0)+f(1)=0$.
(3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Determină distanța de la punctul $C\left(-\frac{1}{2},0\right)$ la dreapta $AB$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$ cu $AB=AC$. Înălțimea din vârful $A$ intersectează latura $BC$ în punctul $D$ și $AD=BC$. Înălțimea din vârful $B$ intersectează latura $AC$ în punctul $E$. Înălțimile $AD$ și $BE$ se intersectează în punctul $H$.
(2p) a) Arată că unghiurile $DAC$ și $EBC$ au aceeași măsură.
(3p) b) Demonstrează că $AH=3\cdot HD$.

[Figura: Triunghiul isoscel $ABC$ cu înălțimile $AD\perp BC$ și $BE\perp AC$ concurente în ortocentrul $H$]

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$, în care $CD$ este diametru. Punctul $B$ aparține cercului astfel încât dreptele $BO$ și $CD$ sunt perpendiculare. Punctul $M$ aparține arcului mic $BC$, dreptele $DM$ și $BO$ se intersectează în punctul $N$, $DN=2\cdot MN$ și $MN=4\text{ cm}$.
(2p) a) Arată că măsura unghiului $CMD$ este egală cu $90^{\circ }$.
(3p) b) Calculează aria triunghiului $DON$.

[Figura: Cercul de centru $O$, diametrul $CD$, raza $BO\perp CD$, punctul $M$ pe arcul $BC$, dreapta $DM$ intersectează raza $BO$ în $N$]

5p 6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$, $AB=12\text{ cm}$ și $A{A}^{\prime }=3\sqrt{3}\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.
(2p) a) Arată că aria laterală a prismei $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ este egală cu $108\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$.
(3p) b) Determină distanța de la punctul $M$ la planul $(A^{\prime }{B}^{\prime }C)$.

[Figura: Prisma dreaptă $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cu baza triunghi echilateral și $M$ mijlocul lui $AB$]