Evaluare Națională 2022, matematică: subiect de rezervă

Subiectul I

1)

• Răspuns corect: c)
• Explicație: Se efectuează mai întâi înmulțirea, apoi adunarea:
  $$4+2\cdot 5=4+10=14$$

2)

• Răspuns corect: a)
• Explicație: Dacă $a=3\cdot b$, împărțind ambele părți la $b$ ($b\ne 0$), obținem:
  $$\frac{a}{b}=3$$

3)

• Răspuns corect: d)
• Explicație: Din ecuația $-2+a=2$ rezultă:
  $$a=2-(-2)=2+2=4$$

4)

• Răspuns corect: d)
• Explicație: Triplul unui număr înseamnă înmulțirea lui cu $3$:
  $$3\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{5}$$

5)

• Răspuns corect: a)
• Explicație: Media aritmetică a numerelor este semisuma lor:
  $$m_a=\frac{7\sqrt{3}+21\sqrt{3}}{2}=\frac{28\sqrt{3}}{2}=14\sqrt{3}$$

6)

• Răspuns corect: b)
• Explicație: Dacă $3$ caiete și $2$ pixuri costă $8$ lei, atunci dublând cantitățile, $6$ caiete și $4$ pixuri vor costa:
  $$2\cdot 8=16\text{ lei}$$
  Afirmația că acestea ar costa $12$ lei este falsă.

---

Subiectul al II-lea

1)

• Răspuns corect: c)
• Explicație:
  • $E$ este mijlocul segmentului $AD$, deci $AD=2\cdot ED=2\cdot 2=4\text{ cm}$, iar $AE=ED=2\text{ cm}$.
  • $D$ este mijlocul segmentului $AC$, deci $DC=AD=4\text{ cm}$, iar $AC=2\cdot AD=8\text{ cm}$.
  • $C$ este mijlocul segmentului $AB$, deci $CB=AC=8\text{ cm}$.
  • Lungimea segmentului $DB=DC+CB=4+8=12\text{ cm}$.

2)

• Răspuns corect: d)
• Explicație:
  • $OD$ este bisectoarea $\sphericalangle BOC$ și $\sphericalangle COD=13^{\circ }$, deci $\sphericalangle BOC=2\cdot \sphericalangle COD=2\cdot 13^{\circ }=26^{\circ }$.
  • $OC$ este bisectoarea $\sphericalangle AOB$, deci $\sphericalangle AOB=2\cdot \sphericalangle BOC=2\cdot 26^{\circ }=52^{\circ }$.

3)

• Răspuns corect: c)
• Explicație:
  • În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\sphericalangle A=90^{\circ }$), $AD$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei $BC$, deci $AD=\frac{BC}{2}=CD=BD$.
  • Din ipoteză avem $AC=CD$, prin urmare $AC=CD=AD$, ceea ce înseamnă că triunghiul $ACD$ este echilateral, deci $\sphericalangle C=60^{\circ }$.
  • În $△ABC$, unghiul $\sphericalangle B=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$. Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$, cateta $AC$ este jumătate din ipotenuza $BC$: $AC=\frac{BC}{2}$.
  • Prin teorema lui Pitagora sau folosind $\sin 60^{\circ }$:
    $$AB=BC\cdot \sin 60^{\circ }⟹2\sqrt{3}=BC\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}⟹BC=4\text{ cm}$$

4)

• Răspuns corect: c)
• Explicație: Lungimea liniei mijlocii într-un trapez este media aritmetică a lungimilor bazelor:
  $$L_m=\frac{AB+CD}{2}=\frac{12+8}{2}=\frac{20}{2}=10\text{ cm}$$

5)

• Răspuns corect: b)
• Explicație:
  • Diagonala pătratului înscris în cerc este diametrul cercului: $d=2R$.
  • Formula diagonalei pătratului de latură $l=4\sqrt{2}\text{ cm}$ este:
    $$d=l\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4\cdot 2=8\text{ cm}$$
  • Deci diametrul este $2R=8\text{ cm}$, iar raza $R=4\text{ cm}$.
  • Lungimea cercului este:
    $$L=2\pi R=\pi \cdot d=8\pi \text{ cm}$$

6)

• Răspuns corect: c)
• Explicație: Volumul cubului cu muchia $l=4\text{ cm}$ este:
  $$V=l^3=4^3=64{\text{ cm}}^3$$

---

Subiectul al III-lea

Subiectul al III-lea, 1)

a) Fie $x$ lungimea totală a traseului (în km).

• În prima zi, excursionistul parcurge $60\%\cdot x=\frac{60}{100}x=\frac{3}{5}x$.
• În a doua zi, excursionistul parcurge o treime din distanța primei zile:
  $$\frac{1}{3}\cdot \left(\frac{60}{100}x\right)=\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{5}x=\frac{1}{5}x$$
• O pătrime din lungimea întregului traseu reprezintă $\frac{1}{4}x$.
• Deoarece $\frac{1}{5}x\ne \frac{1}{4}x$ (pentru $x>0$, $\frac{1}{5}=0,20\ne 0,25=\frac{1}{4}$), nu este posibil ca distanța parcursă în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea întregului traseu.
  (1p pentru aflarea distanței parcurse în a doua zi; 1p pentru deducerea că nu este posibil)

b) Suma distanțelor parcurse în cele trei zile este egală cu lungimea întregului traseu:
$$\frac{3}{5}x+\frac{1}{5}x+64=x$$ (1p)
$$\frac{4}{5}x+64=x$$
$$x-\frac{4}{5}x=64$$
$$\frac{1}{5}x=64⟺4x+320=5x$$ (1p)
$$x=64\cdot 5=320\text{ km}$$ (1p)
Lungimea traseului parcurs de excursionist în cele trei zile este egală cu $320\text{ km}$.

---

Subiectul al III-lea, 2)

a) Dezvoltăm expresia pas cu pas:
$$E(x)=3(x^2+4x+4)-2(4x-3-x^2)+21x+14-2$$ (1p)
$$E(x)=3x^2+12x+12-8x+6+2x^2+21x+12$$
Reducem termenii asemenea:

• Coeficientul lui $x^2$: $3+2=5$
• Coeficientul lui $x$: $12-8+21=25$
• Termenul liber: $12+6+12=30$

Obținem:
$$E(x)=5x^2+25x+30\text{, pentru orice numa˘r real }x$$ (1p)

b) Pentru orice număr natural $n$:
$$E(n)=5n^2+25n+30=5(n^2+5n+6)$$ (1p)
Scriem paranteza ca produs de factori sau analizăm paritatea:
$$n^2+5n+6=n(n+5)+6$$

• Deoarece $n$ și $n+5$ au parități diferite (dacă $n$ este par, $n+5$ este impar; dacă $n$ este impar, $n+5$ este par), produsul lor $n(n+5)$ este întotdeauna un număr par.
• Suma dintre un număr par și $6$ (care este par) este un număr par: $n(n+5)+6=2k$, cu $k\in \mathbb{N}$. (1p)

Atunci:
$$E(n)=5\cdot 2k=10k$$
Prin urmare, ultima cifră a numărului $E(n)$ este $0$, ceea ce arată că $E(n)$ este divizibil cu $10$, pentru orice număr natural $n$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a) Calculăm valorile funcției $f(x)=x-2$ în punctele $2$ și $3$:
$$f(2)=2-2=0$$ (1p)
$$f(3)=3-2=1$$
Atunci:
$$f(2)+f(3)=0+1=1$$ (1p)

b) Determinăm coordonatele punctelor de intersecție cu axele de coordonate:

• Intersecția cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹x-2=0⟹x=2$, deci $A(2,0)$.
• Intersecția cu axa $Oy$: $x=0⟹f(0)=-2$, deci $B(0,-2)$. (1p)

Fie $M(1,1)$. Considerăm proiecția punctului $M$ pe axa $Ox$, punctul $C(1,0)\in Ox$.

• În $△MCA$ dreptunghic în $C$:
  $$MC=1\text{, }CA=x_A-x_C=2-1=1$$
  Deoarece $MC=CA$, triunghiul $MCA$ este dreptunghic isoscel, de unde măsura unghiului $\sphericalangle MAC=45^{\circ }$.
• În $△AOB$ dreptunghic în $O$:
  $$OA=2\text{, }OB=2$$
  Deoarece $OA=OB$, triunghiul $AOB$ este dreptunghic isoscel, de unde măsura unghiului $\sphericalangle OAB=45^{\circ }$. (1p)

Punctele $O,C,A$ sunt coliniare (pe axa $Ox$, în ordinea $O,C,A$). Unghiul $\sphericalangle MAB$ este format din unghiurile adiacente suplementare interiorului sau raportat la axa $Ox$:
$$\sphericalangle MAB=\sphericalangle MAC+\sphericalangle OAB=45^{\circ }+45^{\circ }=90^{\circ }$$
Prin urmare, triunghiul $AMB$ este dreptunghic în $A$. (1p)

(Alternativ, se pot calcula pătratele distanțelor: $A{M}^2=(1-2{)}^2+(1-0{)}^2=2$, $A{B}^2=(0-2{)}^2+(-2-0{)}^2=8$, $M{B}^2=(0-1{)}^2+(-2-1{)}^2=10$. Cum $A{M}^2+A{B}^2=2+8=10=M{B}^2$, din reciproca teoremei lui Pitagora rezultă că triunghiul $AMB$ este dreptunghic în $A$.)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a) În trapezul $ABCD$, unghiul $\sphericalangle BAD=90^{\circ }$, deci triunghiul $DAB$ este dreptunghic în $A$.
Aplicăm teorema lui Pitagora în $△DAB$:
$$A{B}^2+A{D}^2=B{D}^2⟹AB=\sqrt{B{D}^2-A{D}^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8\text{ cm}$$ (1p)

Perimetrul triunghiului $DAB$ este:
$$P_{△DAB}=AB+BD+DA=8+10+6=24\text{ cm}$$ (1p)

b) Fie $O$ punctul de intersecție a diagonalelor $AC$ și $BD$. Dreptele $AC$ și $BD$ sunt perpendiculare, deci $AC\perp BD$.
În triunghiul $DAB$ dreptunghic în $A$, $AO$ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei $BD$.
Aplicăm teorema catetei pentru cateta $AB$:
$$A{B}^2=BO\cdot BD⟹8^2=BO\cdot 10⟹BO=\frac{64}{10}=6,4\text{ cm}$$ (1p)
Rezultă:
$$DO=BD-BO=10-6,4=3,6\text{ cm}$$

Deoarece $AB\parallel CD$, din teorema fundamentală a asemănării (sau cazul de asemănare UU):
$$△DOC\sim △BOA$$ (1p)
Raportul de asemănare este:
$$\frac{DC}{BA}=\frac{DO}{BO}⟹\frac{DC}{8}=\frac{3,6}{6,4}=\frac{36}{64}=\frac{9}{16}$$
$$DC=\frac{8\cdot 9}{16}=\frac{9}{2}=4,5\text{ cm}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a) În pătratul $ABCD$ cu latura $AB=6\text{ cm}$, triunghiul $ADC$ este dreptunghic isoscel.
Aplicând teorema lui Pitagora:
$$AC=\sqrt{A{D}^2+D{C}^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\text{ cm}$$ (2p: 1p pentru formulă/calcul, 1p pentru rezultat)

b) Deoarece $ABCD$ este pătrat, $BC\perp CD$, adică $BC\perp PQ$.
Cum $△BPQ$ este echilateral, înălțimea sa din vârful $B$ cade perpendicular pe latura $PQ$. Deoarece $BC\perp PQ$ și $C\in PQ$, rezultă că $BC$ este chiar înălțimea triunghiului echilateral $BPQ$. (1p)

Înălțimea unui triunghi echilateral de latură $l=PQ$ este dată de formula:
$$h=\frac{l\sqrt{3}}{2}⟹BC=\frac{PQ\sqrt{3}}{2}$$
$$6=\frac{PQ\sqrt{3}}{2}⟹PQ=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)

Deoarece $AB\parallel CD$ și punctele $P,Q$ se află pe dreapta $CD$, rezultă că $AB\parallel PQ$, deci patrulaterul $ABQP$ este un trapez cu bazele $AB$ și $PQ$.
Înălțimea trapezului este distanța dintre dreptele paralele $AB$ și $CD$, care este egală cu $BC=6\text{ cm}$.
Aria trapezului $ABQP$ este:
$${\mathcal{A}}_{ABQP}=\frac{(AB+PQ)\cdot BC}{2}=\frac{(6+4\sqrt{3})\cdot 6}{2}=(6+4\sqrt{3})\cdot 3=6(3+2\sqrt{3}){\text{ cm}}^2$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a) În dreptunghiul de la bază $ABCD$, lungimea diagonalei $BD$ este:
$$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(3\sqrt{2}{)}^2+3^2}=\sqrt{18+9}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)

În triunghiul dreptunghic $D^{\prime }DB$ (cu $\sphericalangle D^{\prime }DB=90^{\circ }$ deoarece $D^{\prime }D\perp (ABCD)$):
$$B{D}^{\prime }=\sqrt{B{D}^2+D{D}^{\prime 2}}=\sqrt{(3\sqrt{3}{)}^2+3^2}=\sqrt{27+9}=\sqrt{36}=6\text{ cm}$$ (1p)

b) Determinăm unghiul dintre planele $(D^{\prime }AB)$ și $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$:

• Observăm că planul $(D^{\prime }AB)$ conține dreptele paralele $AB$ și $D^{\prime }{C}^{\prime }$, deci este planul $(AB{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.
• Planul $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$ conține dreptele paralele $A^{\prime }D$ și $B{C}^{\prime }$, deci este planul $(A^{\prime }BCD)$.
• Intersecția celor două plane este dreapta comună:
  $$(D^{\prime }AB)\cap (A^{\prime }B{C}^{\prime })=(AB{C}^{\prime }{D}^{\prime })\cap (A^{\prime }BCD)=B{C}^{\prime }$$
• Fețele $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ și $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ sunt dreptunghiuri identice de dimensiuni $3\times 3$, adică sunt pătrate cu latura de $3\text{ cm}$ ($BC=B{B}^{\prime }=3\text{ cm}$).
• Deoarece $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ este pătrat, diagonalele sale sunt perpendiculare: $B^{\prime }C\perp B{C}^{\prime }$. Fie $O$ mijlocul lui $B{C}^{\prime }$ (intersecția diagonalelor feței $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$).
• Similar, pe fața opusă $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ (tot pătrat de latură $3$), diagonalele sunt perpendiculare: $A^{\prime }D\perp A{D}^{\prime }$. Fie $O^{\prime }$ mijlocul segmentului $A{D}^{\prime }$.
• Segmentul $O^{\prime }O$ unește centrele celor două fețe opuse, deci $O{O}^{\prime }\parallel AB\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$ și $O{O}^{\prime }=AB=3\sqrt{2}\text{ cm}$.
• Deoarece $AB\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, avem $O{O}^{\prime }\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, deci $O{O}^{\prime }\perp B{C}^{\prime }$.
• În planul $(A^{\prime }BCD)$, dreapta $A^{\prime }O\perp B{C}^{\prime }$ (diagonalele pătratului). Dar mai simplu, raportat la dreapta comună $B{C}^{\prime }$:
  • În planul $(D^{\prime }AB)$, segmentul $O^{\prime }O\perp B{C}^{\prime }$ în $O$.
  • În planul $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$, $A^{\prime }{O}^{\prime }=\frac{1}{2}{A}^{\prime }D=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ și triunghiul $A^{\prime }{O}^{\prime }O$ este dreptunghic în $O^{\prime }$, sau direct:
    $B{C}^{\prime }\perp B^{\prime }C$ (deci $B{C}^{\prime }\perp O{C}^{\prime }$), și $B{C}^{\prime }\perp O{O}^{\prime }$, de unde $B{C}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }CD)$ etc.
    Conform baremului:
  • Fie $O$ mijlocul lui $B{C}^{\prime }$ și $O^{\prime }$ mijlocul lui $A{D}^{\prime }$.
  • Avem $(D^{\prime }AB)\cap (A^{\prime }B{C}^{\prime })=B{C}^{\prime }$, $A^{\prime }O\perp B{C}^{\prime }$ cu $A^{\prime }O\subset (A^{\prime }B{C}^{\prime })$ și $O^{\prime }O\perp B{C}^{\prime }$ cu $O^{\prime }O\subset (D^{\prime }AB)$, sau conform unghiului $\sphericalangle (A^{\prime }O,O{O}^{\prime })$:
  • Baremul indică utilizarea proiecției / triunghiului dreptunghic: $\sphericalangle ((D^{\prime }AB),(A^{\prime }B{C}^{\prime }))=\sphericalangle (A^{\prime }O,O{O}^{\prime })=\sphericalangle A^{\prime }O{O}^{\prime }$, unde $O$ și $O^{\prime }$ sunt mijloacele segmentelor $B{C}^{\prime }$, respectiv $A{D}^{\prime }$. (1p)
• Calculăm lungimile segmentelor din $△A^{\prime }{O}^{\prime }O$:
  • $A^{\prime }{D}^{\prime }$ este latură a pătratului de sus sau $A{D}^{\prime }=3\sqrt{2}\text{ cm}$ fiind diagonala pătratului $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$, deci $A^{\prime }{O}^{\prime }=\frac{A^{\prime }D}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\text{ cm}$.
  • $O^{\prime }O=AB=3\sqrt{2}\text{ cm}$. (1p)
• Triunghiul $A^{\prime }{O}^{\prime }O$ este dreptunghic în $O^{\prime }$, deoarece $A^{\prime }{O}^{\prime }\subset (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ și $O^{\prime }O\perp (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$.
• Tangenta unghiului $\sphericalangle A^{\prime }O{O}^{\prime }$ este:
  $$\mathrm{tg}(\sphericalangle A^{\prime }O{O}^{\prime })=\frac{A^{\prime }{O}^{\prime }}{O^{\prime }O}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$$ (1p)

Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a

Anul școlar 2021 – 2022
Matematică
Varianta 1 (Subiect de rezervă)

---

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $4+2\cdot 5$ este egal cu:

a) $6$
b) $10$
c) $14$
d) $30$

5p 2. Dacă $a=3\cdot b$ și $b\ne 0$, atunci raportul $\frac{a}{b}$ este egal cu:

a) $3$
b) $1$
c) $\frac{1}{3}$
d) $\frac{1}{9}$

5p 3. Știind că $-2+a=2$, atunci numărul $a$ este egal cu:

a) $-4$
b) $-1$
c) $0$
d) $4$

5p 4. Triplul numărului $\frac{2}{5}$ este egal cu:

a) $\frac{2}{15}$
b) $\frac{6}{15}$
c) $1$
d) $\frac{6}{5}$

5p 5. Media aritmetică a numerelor $7\sqrt{3}$ și $21\sqrt{3}$ este egală cu:

a) $14\sqrt{3}$
b) $14\sqrt{6}$
c) $28\sqrt{3}$
d) $28\sqrt{6}$

5p 6. Trei caiete și două pixuri costă împreună $8$ lei. Afirmația: „Șase caiete și patru pixuri, de același fel, costă împreună $12$ lei.”, este:

a) adevărată
b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată, punctul $C$ este mijlocul segmentului $AB$, punctul $D$ este mijlocul segmentului $AC$, punctul $E$ este mijlocul segmentului $AD$ și $ED=2\text{ cm}$. Lungimea segmentului $DB$ este egală cu:
[Figura: Segmentul AB cu punctele coliniare A, E, D, C, B, în această ordine]

a) $4\text{ cm}$
b) $8\text{ cm}$
c) $12\text{ cm}$
d) $14\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată, semidreapta $OC$ este bisectoarea unghiului $AOB$ și semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $BOC$. Unghiul $COD$ are măsura de $13^{\circ }$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:
[Figura: Unghiul AOB cu semidreptele interioare OC și OD]

a) $13^{\circ }$
b) $26^{\circ }$
c) $39^{\circ }$
d) $52^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$ și $AC=CD$. Știind că $AB=2\sqrt{3}\text{ cm}$, atunci lungimea segmentului $BC$ este egală cu:
[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu ipotenuza BC și mediana AD]

a) $2\text{ cm}$
b) $2\sqrt{3}\text{ cm}$
c) $4\text{ cm}$
d) $4\sqrt{3}\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $AB=12\text{ cm}$ și $CD=8\text{ cm}$. Lungimea liniei mijlocii a trapezului $ABCD$ este egală cu:
[Figura: Trapezul ABCD cu baza mare AB și baza mică CD]

a) $2\text{ cm}$
b) $4\text{ cm}$
c) $10\text{ cm}$
d) $20\text{ cm}$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$, cu $AB=4\sqrt{2}\text{ cm}$, înscris într-un cerc de centru $O$. Lungimea cercului este egală cu:
[Figura: Pătratul ABCD înscris în cercul de centru O]

a) $8\sqrt{2}\pi \text{ cm}$
b) $8\pi \text{ cm}$
c) $4\sqrt{2}\pi \text{ cm}$
d) $4\pi \text{ cm}$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=4\text{ cm}$. Volumul cubului este egal cu:
[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D']

a) $4\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$
b) $16\sqrt{2}{\text{ cm}}^3$
c) $64{\text{ cm}}^3$
d) $96{\text{ cm}}^3$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Un excursionist a parcurs un traseu în trei zile. În prima zi a parcurs $60\%$ din lungimea traseului, în a doua zi o treime din distanța parcursă în prima zi, iar în a treia zi a parcurs restul de $64\text{ km}$.

(2p) a) Este posibil ca distanța parcursă de excursionist în a doua zi să reprezinte o pătrime din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Determină lungimea traseului parcurs de excursionist în cele trei zile.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=3(x+2{)}^2-2(4x-3-x^2)+7(3x+2)-2$, unde $x$ este număr real.

(2p) a) Arată că $E(x)=5x^2+25x+30$, pentru orice număr real $x$.
(3p) b) Demonstrează că numărul natural $E(n)$ este divizibil cu $10$, pentru orice număr natural $n$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$.

(2p) a) Arată că $f(2)+f(3)=1$.
(3p) b) În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctul $M(1,1)$. Arată că triunghiul $AMB$ este dreptunghic în $A$, unde $A$ și $B$ sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$ și $\sphericalangle BAD=90^{\circ }$. Dreptele $AC$ și $BD$ sunt perpendiculare, $BD=10\text{ cm}$ și $AD=6\text{ cm}$.
[Figura: Trapezul dreptunghic ABCD cu diagonalele perpendiculare AC și BD care se intersectează în O]

(2p) a) Arată că perimetrul triunghiului $DAB$ este egal cu $24\text{ cm}$.
(3p) b) Calculează lungimea segmentului $DC$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$ cu $AB=6\text{ cm}$ și triunghiul echilateral $BPQ$, unde punctele $P$ și $Q$ se află pe dreapta $DC$.
[Figura: Pătratul ABCD și triunghiul BPQ cu P pe segmentul DC și Q pe prelungirea lui DC dincolo de C]

(2p) a) Calculează lungimea segmentului $AC$.
(3p) b) Arată că aria trapezului $ABQP$ este egală cu $6(3+2\sqrt{3}){\text{ cm}}^2$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=3\sqrt{2}\text{ cm}$ și $BC=C{C}^{\prime }=3\text{ cm}$.
[Figura: Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu diagonala BD' desenată punctat]

(2p) a) Arată că diagonala $B{D}^{\prime }$ a paralelipipedului este egală cu $6\text{ cm}$.
(3p) b) Calculează tangenta unghiului dintre planele $(D^{\prime }AB)$ și $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$.