Evaluare Națională 2022, matematică: examen oficial (sesiunea iunie)

Subiectul I

1)

• Calculăm respectând ordinea operațiilor (împărțirea înaintea adunării):
  $$10+10:10=10+1=11$$
• Răspuns corect: d)

2)

• Din proporția $\frac{a}{2}=\frac{10}{b}$, aplicând produsul mezilor egal cu produsul extremilor, obținem:
  $$a\cdot b=2\cdot 10=20$$
• Răspuns corect: d)

3)

• Opusul unui număr $x$ este numărul $-x$. Prin urmare, opusul numărului $5$ este $-5$.
• Răspuns corect: a)

4)

• Numărul zecimal $1,3$ se scrie ca fracție ordinară astfel:
  $$1,3=\frac{13}{10}$$
• Răspuns corect: b)

5)

• Calculăm produsul numerelor $x$ și $y$:
  $$x\cdot y=2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}=1$$
• Din tabel, Radu a obținut rezultatul $1$.
• Răspuns corect: c)

6)

• În prezent: Andrei are $28$ de ani, iar Cătălina are $13$ ani.
• Peste $2$ ani:
  Andrei va avea $28+2=30$ de ani.
  Cătălina va avea $13+2=15$ ani.
• Verificăm dublul vârstei Cătălinei: $2\cdot 15=30$ de ani, ceea ce corespunde cu vârsta lui Andrei.
• Deci afirmația lui Andrei este adevărată.
• Răspuns corect: a)

---

Subiectul al II-lea

1)

• Punctul $A$ este mijlocul segmentului $CB$, deci $CA=AB=10\text{ cm}$, de unde rezultă $CB=CA+AB=10+10=20\text{ cm}$.
• Punctul $B$ este mijlocul segmentului $CD$, ceea ce înseamnă că $CD=2\cdot CB=2\cdot 20\text{ cm}=40\text{ cm}$.
• Răspuns corect: d)

2)

• Unghiurile opuse la vârf sunt congruente: $\sphericalangle BOD=\sphericalangle AOC=60^{\circ }$.
• Răspuns corect: b)

3)

• În rombul $ABCD$, toate laturile sunt egale: $AB=BC=CD=DA=12\text{ cm}$.
• Deoarece $AB=BD=12\text{ cm}$, triunghiul $ABD$ este echilateral, iar triunghiul $BCD$ este de asemenea echilateral.
• Diagonalele rombului se înjumătățesc și sunt perpendiculare. Fie $O=AC\cap BD$. $O$ este mijlocul lui $BD$, deci $BO$ este mediană și înălțime în triunghiul echilateral $BCD$.
  $$BO=\frac{12}{2}=6\text{ cm},CO=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}$$
  Lungimea diagonalei $AC=2\cdot CO=12\sqrt{3}\text{ cm}$.
• În triunghiul $BCD$, $CO$ este mediană ($O$ mijlocul lui $BD$), iar $BM$ este mediană ($M$ mijlocul lui $CD$). Punctul lor de intersecție $G$ este centrul de greutate al triunghiului $BCD$.
• Centrul de greutate se află la două treimi de vârf și o treime de bază:
  $$CG=\frac{2}{3}CO=\frac{2}{3}\cdot 6\sqrt{3}=4\sqrt{3}\text{ cm}$$
• Segmentul $AG=AC-CG=12\sqrt{3}-4\sqrt{3}=8\sqrt{3}\text{ cm}$.
• Răspuns corect: d)

4)

• Construim înălțimea $CE\perp AB$, cu $E\in AB$.
• Deoarece $AD\perp AB$, patrulaterul $AECD$ este dreptunghi, deci $AE=CD=5\text{ cm}$ și $CE=AD=5\text{ cm}$.
• Segmentul $EB=AB-AE=10-5=5\text{ cm}$.
• În triunghiul dreptunghic $CEB$, catetele sunt egale: $CE=EB=5\text{ cm}$, deci triunghiul este dreptunghic isoscel.
• Măsura unghiului $\sphericalangle ABC$ este de $45^{\circ }$.
• Răspuns corect: b)

5)

• Diametrul $BC=10\text{ cm}$ împarte cercul în două semicercuri de $180^{\circ }$, deci măsura arcului $BAC$ este $180^{\circ }$.
• Măsura arcului mic $AB$ este:
  $$\widehat{AB}=180^{\circ }-\widehat{AC}=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$$
• Raza cercului este $R=\frac{BC}{2}=5\text{ cm}$.
• Triunghiul $AOB$ format de razele $OA=OB=5\text{ cm}$ și unghiul la centru $\sphericalangle AOB=\widehat{AB}=60^{\circ }$ este un triunghi echilateral.
• Prin urmare, $AB=OA=5\text{ cm}$.
• Răspuns corect: a)

6)

• Diagonala paralelipipedului dreptunghic cu dimensiunile $L=4\text{ cm}$, $l=3\text{ cm}$, $h=12\text{ cm}$ este:
  $$AG=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+A{E}^2}=\sqrt{4^2+3^2+12^2}=\sqrt{16+9+144}=\sqrt{169}=13\text{ cm}$$
• Răspuns corect: b)

---

Subiectul al III-lea

1.

a) Presupunem că Ana ar avea $132$ de timbre:

• Maria ar avea: $132-25=107$ timbre.
• Vlad ar avea: $132+16=148$ timbre. (1p)
• Calculăm numărul total de timbre:
  $$132+107+148=387$$
• Deoarece $387\ne 396$, deducem că nu este posibil ca Ana să aibă $132$ de timbre. (1p)

b) Fie $x$ numărul de timbre pe care le are Vlad:

• Numărul de timbre ale Anei este $x-16$.
• Numărul de timbre ale Mariei este $(x-16)-25=x-41$. (1p)
• Scriem ecuația sumei timbrelor:
  $$(x-16)+(x-41)+x=396$$
  $$3x-57=396$$ (1p)
  $$3x=396+57=453$$
  $$x=151$$
• Vlad are $151$ de timbre. (1p)

---

2.

a) Dezvoltăm expresia utilizând formulele de calcul prescurtat:

• $(x+1{)}^2=x^2+2x+1$
• $2(x-1{)}^2=2(x^2-2x+1)=2x^2-4x+2$
• $-3(x^2-1)=-3x^2+3$ (1p)
• Reducem termenii asemenea:
  $$E(x)=x^2+2x+1+2x^2-4x+2-3x^2+3$$
  $$E(x)=(1+2-3)x^2+(2-4)x+(1+2+3)=-2x+6=6-2x$$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$. (1p)

b) Inecuația devine:

• $E(x)<x⟺6-2x<x$ (1p)
• Trecem termenii cu $x$ în același membru:
  $$6<3x⟺3x>6$$ (1p)
• Împărțind la $3$, obținem $x>2$, deci $x\in (2,+\infty )$. (1p)

---

3.

a) Calculăm valorile funcției:

• $f(0)=0-1=-1$
• $f(1)=1-1=0$ (1p)
• Obținem:
  $$f(0)+f(1)=-1+0=-1$$ (1p)

b)

• Intersecția cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹x-1=0⟹x=1$, deci $A(1,0)$.
  Intersecția cu axa $Oy$: $f(0)=-1$, deci $B(0,-1)$. (1p)
• Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$, cu catetele $OA=|1|=1$ și $OB=|-1|=1$.
  Aria triunghiului $AOB$ este:
  $${\mathcal{A}}_{\Delta AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{1\cdot 1}{2}=\frac{1}{2}$$ (1p)
• Punctul $C$ este mijlocul ipotenuzei $AB$, deci $OC$ este mediană în triunghiul $AOB$. Mediana împarte un triunghi în două triunghiuri de arii egale:
  $${\mathcal{A}}_{\Delta OBC}=\frac{{\mathcal{A}}_{\Delta AOB}}{2}=\frac{\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{4}$$ (1p)

---

4.

a) În triunghiul $CAD$, distanța de la $C$ la dreapta $AD$ este înălțimea corespunzătoare laturii $AD$, notată $h_C$.
În triunghiul dreptunghic format de înălțime, ipotenuza este $AC=8\text{ cm}$ și unghiul opus este $\sphericalangle CAD=30^{\circ }$.
$$d(C,AD)=AC\cdot \sin 30^{\circ }=8\cdot \frac{1}{2}=4\text{ cm}$$ (1p)
Aria triunghiului $CAD$ este:
$${\mathcal{A}}_{\Delta CAD}=\frac{AD\cdot d(C,AD)}{2}=\frac{10\cdot 4}{2}=20{\text{ cm}}^2$$ (1p)

b)

• Observăm că:
  $$\sphericalangle BAD=\sphericalangle BAC+\sphericalangle CAD$$
  $$\sphericalangle CAE=\sphericalangle CAD+\sphericalangle DAE$$
  Cum $\sphericalangle BAC=\sphericalangle DAE$, rezultă că $\sphericalangle BAD=\sphericalangle CAE$. (1p)
• Comparăm laturile care formează aceste unghiuri:
  $$\frac{AB}{AC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\frac{AD}{AE}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}⟹\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$$
  Deoarece au un unghi congruent cuprins între laturi proporționale (cazul L.U.L. de asemănare), deducem că:
  $$\Delta ABD\sim \Delta ACE$$ (1p)
• Din raportul de asemănare al laturilor obținem:
  $$\frac{BD}{CE}=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}⟹CE=2\cdot BD$$ (1p)

---

5.

a) În trapezul $ABCD$, $CD\parallel AB$ și din ipoteză $DR\parallel BC$, deci patrulaterul $BCDR$ are laturile opuse paralele două câte două, așadar este paralelogram. Rezultă:
$$BR=CD=10\text{ cm}$$ (1p)
Deoarece $DR\parallel BC$, unghiul $\sphericalangle ARD=\sphericalangle ABC=45^{\circ }$ (unghiuri corespondente).
În triunghiul $ADR$, $\sphericalangle DAR=90^{\circ }$ și $\sphericalangle ARD=45^{\circ }$, prin urmare este dreptunghic isoscel, deci:
$$AR=AD=10\text{ cm}$$
Cum $AR=BR=10\text{ cm}$, rezultă că punctul $R$ este mijlocul segmentului $AB$. (1p)

b)

• Deoarece $AB=AR+RB=10+10=20\text{ cm}$ și $CD=10\text{ cm}$, avem $CD\parallel AB$ și $CD=\frac{AB}{2}$.
  Prin urmare, în triunghiul $TAB$, segmentul $CD$ este linie mijlocie, ceea ce înseamnă că $D$ este mijlocul laturii $TA$ și $C$ este mijlocul laturii $TB$. (1p)
  Deoarece $D$ este mijlocul lui $TA$, avem $TA=2\cdot AD=2\cdot 10=20\text{ cm}$.
• În triunghiul dreptunghic $TAR$ (cu $\sphericalangle TAR=90^{\circ }$):
  $$TR=\sqrt{T{A}^2+A{R}^2}=\sqrt{20^2+10^2}=\sqrt{400+100}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}\text{ cm}$$ (1p)
• În triunghiul $TAB$:
  • $R$ este mijlocul lui $AB$, deci $TR$ este mediană.
  • $C$ este mijlocul lui $TB$, deci $AC$ este mediană.
    Punctul $O$, fiind intersecția dreptelor $TR$ și $AC$, este centrul de greutate al triunghiului $TAB$.
    Centrul de greutate se află la două treimi de vârf:
    $$TO=\frac{2}{3}TR=\frac{2}{3}\cdot 10\sqrt{5}=\frac{20\sqrt{5}}{3}\text{ cm}$$ (1p)

---

6.

a) Baza $ABC$ este un triunghi echilateral cu latura $AB=10\text{ cm}$.
Aria bazei este:
$${\mathcal{A}}_{\Delta ABC}=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{10^2\sqrt{3}}{4}=\frac{100\sqrt{3}}{4}=25\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$ (1p)
Volumul prismei drepte este:
$${\mathcal{V}}_{ABCDEF}={\mathcal{A}}_{\Delta ABC}\cdot AD=25\sqrt{3}\cdot 10=250\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$$ (1p)

b)

• În triunghiul echilateral $ABC$, $M$ este mijlocul lui $AB$, deci $CM\perp AB$.
  Prisma fiind dreaptă, muchia laterală $AD\perp (ABC)$, deci $AD\perp CM$.
  Cum $CM\perp AB$, $CM\perp AD$ și $AB\cap AD=\{A\}$, rezultă că $CM\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, adică $CM\perp (ABD)$.
  În planul $(ABD)$ (care este fața laterală $ABED$), construim $BP\perp EM$, cu $P\in EM$. (1p)
• Deoarece $CM\perp (ABD)$ și $BP\subset (ABD)$, avem $BP\perp CM$.
  Cum $BP\perp EM$ și $BP\perp CM$, cu $EM\cap CM=\{M\}$ în planul $(EMC)$, rezultă că:
  $$BP\perp (EMC)⟹d(B,(EMC))=BP$$ (1p)
• Fața $ABED$ este pătrat cu latura de $10\text{ cm}$ (deoarece $AB=BE=10\text{ cm}$).
  În triunghiul dreptunghic $MBE$ (dreptunghic în $B$):
  $$MB=\frac{AB}{2}=5\text{ cm},BE=10\text{ cm}$$
  $$EM=\sqrt{M{B}^2+B{E}^2}=\sqrt{5^2+10^2}=\sqrt{25+100}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\text{ cm}$$
  Segmentul $BP$ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei $EM$:
  $$BP=\frac{MB\cdot BE}{EM}=\frac{5\cdot 10}{5\sqrt{5}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=\frac{10\sqrt{5}}{5}=2\sqrt{5}\text{ cm}$$
  Așadar, $d(B,(EMC))=2\sqrt{5}\text{ cm}$. (1p)

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI a VIII-a

Anul școlar 2021 – 2022
Matematică
Varianta 2

— Toate subiectele sunt obligatorii.
— Se acordă zece puncte din oficiu.
— Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $10+10:10$ este egal cu:

• a) $2$
• b) $9$
• c) $10$
• d) $11$

5p 2. Dacă $b\ne 0$ și $\frac{a}{2}=\frac{10}{b}$, atunci $a\cdot b$ este egal cu:

• a) $2$
• b) $5$
• c) $10$
• d) $20$

5p 3. Opusul numărului $5$ este:

• a) $-5$
• b) $-\frac{1}{5}$
• c) $\frac{1}{5}$
• d) $5$

5p 4. Transformând numărul $1,3$ în fracție ordinară se obține:

• a) $\frac{1}{3}$
• b) $\frac{13}{10}$
• c) $\frac{4}{3}$
• d) $\frac{13}{9}$

5p 5. Patru elevi, Ana, George, Radu și Elena, au calculat produsul numerelor $x=2\sqrt{2}$ și $y=\frac{1}{2\sqrt{2}}$, iar rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Ana	George	Radu	Elena
$4\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$	$1$	$8$

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:

• a) Ana
• b) George
• c) Radu
• d) Elena

5p 6. Andrei are $28$ de ani, iar Cătălina are $13$ ani. Andrei afirmă: „Peste doi ani voi avea dublul vârstei pe care o va avea Cătălina.”. Afirmația lui Andrei este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată este reprezentat segmentul $AB$ cu lungimea de $10\text{ cm}$. Punctul $A$ este mijlocul segmentului $CB$, iar punctul $B$ este mijlocul segmentului $CD$. Lungimea segmentului $CD$ este egală cu:

• a) $10\text{ cm}$
• b) $20\text{ cm}$
• c) $30\text{ cm}$
• d) $40\text{ cm}$

[Figura: Segmentul de dreaptă cu punctele coliniare C, A, B, D, în această ordine, egal distanțate pe o grilă]

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile opuse la vârf $AOC$ și $BOD$. Măsura unghiului $AOC$ este egală cu $60^{\circ }$. Măsura unghiului $BOD$ este egală cu:

• a) $30^{\circ }$
• b) $60^{\circ }$
• c) $90^{\circ }$
• d) $120^{\circ }$

[Figura: Două drepte concurente în O, determinând unghiurile opuse la vârf AOC și BOD]

5p 3. În figura alăturată este reprezentat rombul $ABCD$ cu $AB=BD=12\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $CD$ și dreapta $BM$ intersectează dreapta $AC$ în punctul $G$. Lungimea segmentului $AG$ este egală cu:

• a) $12\sqrt{3}\text{ cm}$
• b) $10\sqrt{3}\text{ cm}$
• c) $9\sqrt{3}\text{ cm}$
• d) $8\sqrt{3}\text{ cm}$

[Figura: Rombul ABCD cu diagonalele AC și BD intersectate, M mijlocul lui CD, BM intersectează AC în G]

5p 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ cu bazele $AB$ și $CD$, în care măsura unghiului $BAD$ este egală cu $90^{\circ }$, $AD=DC=5\text{ cm}$ și $AB=10\text{ cm}$. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

• a) $30^{\circ }$
• b) $45^{\circ }$
• c) $60^{\circ }$
• d) $90^{\circ }$

[Figura: Trapez dreptunghic ABCD cu unghiul A drept, AD = DC = 5 cm, AB = 10 cm]

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și diametru $BC=10\text{ cm}$. Punctul $A$ aparține cercului astfel încât măsura arcului mic $AC$ este de $120^{\circ }$. Lungimea segmentului $AB$ este egală cu:

• a) $5\text{ cm}$
• b) $5\sqrt{2}\text{ cm}$
• c) $5\sqrt{3}\text{ cm}$
• d) $10\text{ cm}$

[Figura: Cerc de centru O și diametru BC; punctul A situat pe cerc astfel încât arcul AC are 120 de grade, coarda AB este trasată]

5p 6. În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCDEFGH$ cu $AB=4\text{ cm}$, $BC=3\text{ cm}$ și $AE=12\text{ cm}$. Lungimea diagonalei $AG$ a paralelipipedului este egală cu:

• a) $5\text{ cm}$
• b) $13\text{ cm}$
• c) $14\text{ cm}$
• d) $19\text{ cm}$

[Figura: Paralelipiped dreptunghic ABCDEFGH cu diagonala AG trasată]

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Ana, Maria și Vlad au în total $396$ de timbre. Ana are cu $25$ de timbre mai multe decât Maria și cu $16$ timbre mai puține decât Vlad.

• (2p) a) Poate avea Ana $132$ de timbre? Justifică răspunsul dat.
• (3p) b) Determină numărul de timbre pe care le are Vlad.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=(x+1{)}^2+2(x-1{)}^2-3(x^2-1)$, unde $x$ este număr real.

• (2p) a) Arată că $E(x)=6-2x$, pentru orice număr real $x$.
• (3p) b) Determină mulțimea numerelor reale $x$, pentru care $E(x)<x$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-1$.

• (2p) a) Arată că $f(0)+f(1)=-1$.
• (3p) b) Știind că $A$ și $B$ sunt punctele de intersecție a reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele $Ox$, respectiv $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$, iar punctul $C$ este mijlocul segmentului $AB$, calculează aria triunghiului $OBC$.

5p 4. În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A,B,C,D$ și $E$ astfel încât $AB=4\text{ cm}$, $AC=8\text{ cm}$, $AD=10\text{ cm}$ și $AE=20\text{ cm}$. Măsura unghiului $BAC$ este egală cu măsura unghiului $DAE$ și $\sphericalangle CAD=30^{\circ }$.

[Figura: Punctele A, B, C, D, E cu semidreptele AB, AC, AD, AE în ordine în jurul lui A, formând triunghiurile ABD și ACE]

• (2p) a) Arată că aria triunghiului $CAD$ este egală cu $20{\text{ cm}}^2$.
• (3p) b) Demonstrează că $CE=2\cdot BD$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $\sphericalangle ABC=45^{\circ }$ și $AD=CD=10\text{ cm}$. Paralela prin $D$ la dreapta $BC$ intersectează dreapta $AB$ în punctul $R$. Dreptele $AD$ și $BC$ se intersectează în punctul $T$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $TR$ și $AC$.

[Figura: Trapez dreptunghic ABCD prelungit în sus până la intersecția T a laturilor neparalele AD și BC; R pe AB astfel încât DR || BC; O este intersecția lui TR cu AC]

• (2p) a) Arată că punctul $R$ este mijlocul segmentului $AB$.
• (3p) b) Calculează lungimea segmentului $TO$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă $ABCDEF$ cu baza triunghiul echilateral $ABC$ și $AB=AD=10\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

[Figura: Prismă triunghiulară dreaptă regulată ABCDEF, cu baza de jos ABC și baza de sus DEF; M mijlocul lui AB, segmentul EM trasat, triunghiul EMC figurat]

• (2p) a) Arată că volumul prismei $ABCDEF$ este egal cu $250\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$.
• (3p) b) Demonstrează că distanța de la punctul $B$ la planul $(EMC)$ este egală cu $2\sqrt{5}\text{ cm}$.