Evaluare Națională 2021, matematică: subiect de rezervă

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: d) 32
Rezolvare:
Calculăm puterea: $2^5=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=32$.

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: b) 3
Rezolvare:
Din ecuația $\frac{a}{2}=1,5$, înmulțind ambii membri cu $2$, obținem:
$$a=1,5\cdot 2=3.$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: a) -5
Rezolvare:
Opusul unui număr $x$ este numărul $-x$. Așadar, opusul lui $5$ este $-5$.

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: d) 0,12(3)
Rezolvare:
Scriem numerele zecimale cu mai multe zecimale pentru a le compara:

• $0,123=0,123000\dots$
• $0,1(23)=0,123232\dots$
• $0,12(3)=0,123333\dots$
• $0,(123)=0,123123\dots$

Comparând a patra zecimală:

• la $0,123$ este $0$;
• la $0,(123)$ este $1$;
• la $0,1(23)$ este $2$;
• la $0,12(3)$ este $3$.

Deoarece $3>2>1>0$, cel mai mare număr este $0,12(3)$.

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: d) Sofia
Rezolvare:
Calculăm valoarea numărului:
$$\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8.$$
Conform tabelului, Sofia a obținut rezultatul $8$.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: a) adevărată
Rezolvare:
Numerele naturale din intervalul $I=[-3,5)$ sunt: $0,1,2,3,4$.
În total sunt $5$ numere naturale, prin urmare afirmația lui Andrei este adevărată.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: d) 7 cm
Rezolvare:
Punctele $A,B,C,D$ fiind coliniare în această ordine:
$$AD=AB+BC+CD=2\text{ cm}+4\text{ cm}+1\text{ cm}=7\text{ cm}.$$

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: d) 135°
Rezolvare:
Punctele $A,O,E$ sunt coliniare, deci unghiul format de ele este alungit: $\sphericalangle AOE=180^{\circ }$.
Cele $4$ unghiuri congruente împart unghiul $AOE$ în $4$ părți egale:
$$\sphericalangle AOB=\sphericalangle BOC=\sphericalangle COD=\sphericalangle DOE=\frac{180^{\circ }}{4}=45^{\circ }.$$
$OM$ fiind bisectoarea lui $\sphericalangle AOB$, avem $\sphericalangle MOB=\frac{45^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$.
$ON$ fiind bisectoarea lui $\sphericalangle DOE$, avem $\sphericalangle DON=\frac{45^{\circ }}{2}=22,5^{\circ }$.
Atunci:
$$\sphericalangle MON=\sphericalangle MOB+\sphericalangle BOC+\sphericalangle COD+\sphericalangle DON=22,5^{\circ }+45^{\circ }+45^{\circ }+22,5^{\circ }=135^{\circ }.$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: b) 4 cm
Rezolvare:
Deoarece punctul $O$ se află la distanțe egale de vârfurile triunghiului echilateral, $O$ este centrul cercului circumscris (și centrul de greutate) al triunghiului $ABC$, deci $OA=R=4\text{ cm}$.
Într-un triunghi echilateral, centrul de greutate $O$ împarte mediana $AM$ în raportul $\frac{AO}{OM}=2$, prin urmare $OM=\frac{OA}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$.
Punctul $D$ fiind simetricul lui $O$ față de $M$, avem $MD=OM=2\text{ cm}$.
Astfel, lungimea segmentului $OD$ este:
$$OD=OM+MD=2+2=4\text{ cm}.$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: b) 9 cm
Rezolvare:
În trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, unghiurile alăturate bazei mari sunt congruente, iar unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare:
$$\sphericalangle DAB=\sphericalangle ABC=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }.$$
În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($AC\perp BC$, deci $\sphericalangle ACB=90^{\circ }$):
$$\sphericalangle BAC=90^{\circ }-\sphericalangle ABC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }.$$
Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$, cateta $BC$ opusă acestui unghi este jumătate din ipotenuza $AB$:
$$BC=\frac{AB}{2}=\frac{18}{2}=9\text{ cm}.$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: c) 18√3 cm²
Rezolvare:
$AD$ este diametru, deci măsura arcului $AD$ este $180^{\circ }$.
Arcele $AB$, $BC$ și $CD$ fiind congruente, măsura fiecăruia este:
$$\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{BC}}=\stackrel{⌢}{\mathrm{CD}}=\frac{180^{\circ }}{3}=60^{\circ }.$$
Triunghiul $ABD$ este înscris într-un semicerc, deci este dreptunghic în $B$ ($\sphericalangle ABD=90^{\circ }$).
Unghiul înscris $\sphericalangle ADB$ are măsura egală cu jumătate din arcul opus:
$$\sphericalangle ADB=\frac{\stackrel{⌢}{\mathrm{AB}}}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }.$$
Ipotenuza este diametrul: $AD=2\cdot R=2\cdot 6=12\text{ cm}$.
Cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este:
$$AB=\frac{AD}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ cm}.$$
Cateta $BD$ este:
$$BD=AD\cdot \cos 30^{\circ }=12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}.$$
Aria triunghiului dreptunghic $ABD$ este:
$${\mathcal{A}}_{ABD}=\frac{AB\cdot BD}{2}=\frac{6\cdot 6\sqrt{3}}{2}=18\sqrt{3}{\text{ cm}}^2.$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: c) 48 dm²
Rezolvare:
Suprafața vopsită este aria laterală a piramidei regulate $VABCD$.
Fie $M$ mijlocul laturii bazei $AB$. Atunci $VM$ este apotema piramidei ($a_p$).
În triunghiul dreptunghic $VMA$, cu $VA=5\text{ dm}$ și $AM=\frac{AB}{2}=3\text{ dm}$, aplicăm teorema lui Pitagora:
$$VM=\sqrt{V{A}^2-A{M}^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4\text{ dm}.$$
Perimetrul bazei este $P_b=4\cdot AB=4\cdot 6=24\text{ dm}$.
Aria laterală este:
$${\mathcal{A}}_l=\frac{P_b\cdot a_p}{2}=\frac{24\cdot 4}{2}=48{\text{ dm}}^2.$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)
Adunând cantitățile cumpărate de Ioana și Maria:
$$3\text{ kg mere}+2\text{ kg mere}=5\text{ kg mere}$$
$$2\text{ kg portocale}+3\text{ kg portocale}=5\text{ kg portocale}$$
Prețul total plătit pentru $5\text{ kg}$ de mere și $5\text{ kg}$ de portocale este:
$$19+21=40\text{ de lei}.\text{(1p)}$$
Atunci, pentru $10\text{ kg}$ de mere și $10\text{ kg}$ de portocale (dublul cantității de mai sus), prețul este:
$$40\cdot 2=80\text{ de lei}.$$
Deoarece $71<80$, Mihai nu poate cumpăra $10\text{ kg}$ de mere și $10\text{ kg}$ de portocale cu $71\text{ de lei}$. $\text{(1p)}$

b)
Fie $x$ prețul unui kilogram de mere și $y$ prețul unui kilogram de portocale. Avem sistemul:
$$\{\begin{array}{l}3x+2y=19\\ 2x+3y=21\end{array}\text{(1p)}$$
Înmulțim prima ecuație cu $3$ și a doua ecuație cu $-2$:
$$\{\begin{array}{l}9x+6y=57\\ -4x-6y=-42\end{array}$$
Adunând cele două ecuații, obținem:
$$5x=15\text{(1p)}$$
$$x=3\text{ lei}.\text{(1p)}$$
Așadar, Ioana a plătit $3\text{ lei}$ pe un kilogram de mere.

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)
Dezvoltăm formulele de calcul prescurtat:
$${\left(\frac{2x}{3}+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{4x^2}{9}+2\cdot \frac{2x}{3}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{4x^2}{9}+\frac{2x}{3}+\frac{1}{4}$$
$${\left(\frac{x}{3}+\frac{5}{2}\right)}^2=\frac{x^2}{9}+2\cdot \frac{x}{3}\cdot \frac{5}{2}+\frac{25}{4}=\frac{x^2}{9}+\frac{5x}{3}+\frac{25}{4}$$
$$x\left(\frac{x}{3}+1\right)=\frac{x^2}{3}+x$$
Expresia devine:
$$E(x)=\left(\frac{4x^2}{9}+\frac{2x}{3}+\frac{1}{4}\right)-\left(\frac{x^2}{9}+\frac{5x}{3}+\frac{25}{4}\right)-\left(\frac{x^2}{3}+x\right)\text{(1p)}$$
$$E(x)=\frac{4x^2}{9}+\frac{2x}{3}+\frac{1}{4}-\frac{x^2}{9}-\frac{5x}{3}-\frac{25}{4}-\frac{x^2}{3}-x$$
Reducem termenii asemenea:

• Termenii în $x^2$: $\frac{4x^2}{9}-\frac{x^2}{9}-\frac{x^2}{3}=\frac{3x^2}{9}-\frac{x^2}{3}=\frac{x^2}{3}-\frac{x^2}{3}=0$;
• Termenii în $x$: $\frac{2x}{3}-\frac{5x}{3}-x=-\frac{3x}{3}-x=-x-x=-2x$;
• Termenii liberi: $\frac{1}{4}-\frac{25}{4}=-\frac{24}{4}=-6$.
  Deci $E(x)=-2x-6$, pentru orice număr real $x$. $\text{(1p)}$

b)
Inecuația este $E(a)>-10$, deci:
$$-2a-6>-10\text{(1p)}$$
Adunăm $6$ în ambii membri:
$$-2a>-4$$
Împărțim la $-2$ (și schimbăm sensul inegalității):
$$a<2\text{(1p)}$$
Cum $a$ este număr natural ($a\in \mathbb{N}$), rezultă că:
$$a\in \{0,1\}.\text{(1p)}$$

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)
Calculăm valoarea funcției în punctul $x=1$:
$$f(1)=1-\sqrt{2}\text{(1p)}$$
Atunci:
$$f(1)+\sqrt{2}=1-\sqrt{2}+\sqrt{2}=1.\text{(1p)}$$

b)
Determinăm intersecțiile graficului funcției cu axele de coordonate:

• Intersecția cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹x-\sqrt{2}=0⟹x=\sqrt{2}$, deci punctul de intersecție este $A(\sqrt{2},0)$, de unde lungimea segmentului $OA=\sqrt{2}$. $\text{(1p)}$
• Intersecția cu axa $Oy$: $x=0⟹f(0)=-\sqrt{2}$, deci punctul de intersecție este $B(0,-\sqrt{2})$, de unde lungimea segmentului $OB=|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}$. $\text{(1p)}$
  Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în originea $O(0,0)$, deci aria sa este:
  $${\mathcal{A}}_{△AOB}=\frac{OA\cdot OB}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}=\frac{2}{2}=1.\text{(1p)}$$

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)
Avem $AB=3\text{ cm}$, deci latura pătratului $BCEF$ este:
$$BC=2\cdot AB=2\cdot 3=6\text{ cm}.\text{(1p)}$$
Perimetrul pătratului $BCEF$ este:
$${\mathcal{P}}_{BCEF}=4\cdot BC=4\cdot 6=24\text{ cm}.\text{(1p)}$$

b)
În triunghiul $AFC$, deoarece $BCEF$ este pătrat și $B\in AC$, avem $FB\perp AC$, deci segmentul $FB$ este înălțime în $△AFC$. $\text{(1p)}$
În pătratul $ABMN$, diagonala $AM$ formează $\sphericalangle MAB=45^{\circ }$.
În pătratul $BCEF$, diagonala $BE$ formează $\sphericalangle EBC=45^{\circ }$.
Deoarece unghiurile corespondente $\sphericalangle MAB$ și $\sphericalangle EBC$ sunt congruente (ambele de $45^{\circ }$), rezultă că dreptele $AM$ și $BE$ sunt paralele ($AM\parallel BE$).
Cum diagonalele pătratului $BCEF$ sunt perpendiculare ($BE\perp CF$), din $AM\parallel BE$ și $BE\perp CF$ rezultă că $AM\perp CF$, deci $AM$ este a doua înălțime în $△AFC$. $\text{(1p)}$
Înălțimile $FB$ și $AM$ ale triunghiului $AFC$ se intersectează în punctul $M$ (deoarece $BM=3\text{ cm}$ și $BF=6\text{ cm}$, deci $M\in BF$). Așadar, $M$ este ortocentrul triunghiului $AFC$.
Rezultă că dreapta determinată de al treilea vârf $C$ și ortocentrul $M$ este perpendiculară pe latura opusă, adică $CM\perp AF$. $\text{(1p)}$

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)
În dreptunghiul $ABCD$, triunghiul $ABD$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=6\sqrt{3}\text{ cm}$ și $AD=BC=3\sqrt{6}\text{ cm}$.
Aplicând teorema lui Pitagora:
$$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{(6\sqrt{3}{)}^2+(3\sqrt{6}{)}^2}\text{(1p)}$$
$$BD=\sqrt{36\cdot 3+9\cdot 6}=\sqrt{108+54}=\sqrt{162}=9\sqrt{2}\text{ cm}.\text{(1p)}$$

b)
Fie $\{F\}=CM\cap BD$. Deoarece $ABCD$ este dreptunghi, $AB\parallel CD$, deci $MB\parallel CD$.
Aplicând teorema fundamentală a asemănării în triunghiurile formate, avem $△FBM\sim △FDC$:
$$\frac{FB}{FD}=\frac{MB}{CD}.$$
Deoarece $M$ este mijlocul lui $AB$, $MB=\frac{AB}{2}=\frac{CD}{2}$, deci $\frac{FB}{FD}=\frac{1}{2}$. $\text{(1p)}$
Rezultă că $FD=2\cdot FB$. Cum $FB+FD=BD=9\sqrt{2}\text{ cm}$, avem:
$$3\cdot FB=9\sqrt{2}⟹FB=3\sqrt{2}\text{ cm}.$$
Lungimea segmentului $BE$ este:
$$BE=BD-DE=9\sqrt{2}-3\sqrt{2}=6\sqrt{2}\text{ cm}.$$
Atunci segmentul $EF$ este:
$$EF=BE-FB=6\sqrt{2}-3\sqrt{2}=3\sqrt{2}\text{ cm}.$$
Deoarece $EF=FB=3\sqrt{2}\text{ cm}$, punctul $F$ este mijlocul segmentului $BE$. $\text{(1p)}$
În triunghiul $ABE$, $M$ este mijlocul laturii $AB$ și $F$ este mijlocul laturii $BE$, deci segmentul $FM$ este linie mijlocie.
Rezultă că $FM\parallel AE$, și cum punctul $F$ se află pe dreapta $CM$, deducem că $CM\parallel AE$. $\text{(1p)}$

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)
Segmentele $A{B}^{\prime }$, $B^{\prime }C$ și $AC$ sunt diagonale ale fețelor cubului de latură $6\text{ cm}$, deci:
$$A{B}^{\prime }=B^{\prime }C=AC=6\sqrt{2}\text{ cm},$$
ceea ce înseamnă că triunghiul $A{B}^{\prime }C$ este echilateral. $\text{(1p)}$
Punctul $O$ este intersecția diagonalelor pătratului $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, deci $O$ este mijlocul segmentului $B^{\prime }C$.
În triunghiul echilateral $A{B}^{\prime }C$, mediana $AO$ este și înălțime:
$$AO=\frac{B^{\prime }C\cdot \sqrt{3}}{2}=\frac{6\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}{2}=3\sqrt{6}\text{ cm}.\text{(1p)}$$

b)
În triunghiul echilateral $A{B}^{\prime }C$, avem $AO\perp B^{\prime }C$.
În pătratul $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, diagonalele sunt perpendiculare, deci $B{C}^{\prime }\perp B^{\prime }C$.
Cum $B^{\prime }C\perp AO$, $B^{\prime }C\perp B{C}^{\prime }$ și $AO\cap B{C}^{\prime }=\{O\}$, rezultă că $B^{\prime }C\perp (A,O,B{C}^{\prime })$. Deoarece $B{C}^{\prime }$ și $AB$ sunt coplanare (formează secțiunea dreptunghiulară $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$), planul $(A,O,B{C}^{\prime })$ este chiar planul $(AB{C}^{\prime })$. Deci $B^{\prime }C\perp (AB{C}^{\prime })$. $\text{(1p)}$

În planul dreptunghiului $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ducem $ME\perp AO$, cu $E\in AO$.
Deoarece $ME\subset (AB{C}^{\prime })$ și $B^{\prime }C\perp (AB{C}^{\prime })$, rezultă că $ME\perp B^{\prime }C$.
Având $ME\perp AO$ și $ME\perp B^{\prime }C$, cu $AO,B^{\prime }C\subset (A{B}^{\prime }C)$ și $AO\cap B^{\prime }C=\{O\}$, deducem că:
$$ME\perp (A{B}^{\prime }C).$$
Prin urmare, distanța de la punctul $M$ la planul $(A{B}^{\prime }C)$ este lungimea segmentului $ME$. $\text{(1p)}$

În planul $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, $AB\perp B{C}^{\prime }$ deoarece $AB\perp (BC{C}^{\prime }{B}^{\prime })$, deci triunghiul $ABO$ este dreptunghic în $B$, cu $AB=6\text{ cm}$ și $BO=\frac{B{C}^{\prime }}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{ cm}$.
Triunghiurile dreptunghice $AME$ (dreptunghic în $E$) și $AOB$ (dreptunghic în $B$) sunt asemenea, deoarece au unghiul $\sphericalangle EAM$ comun ($\sphericalangle OAB$):
$$△AME\sim △AOB⟹\frac{ME}{OB}=\frac{AM}{AO}.$$
Cum $M$ este mijlocul lui $AB$, avem $AM=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$. Înlocuind valorile cunoscute:
$$\frac{ME}{3\sqrt{2}}=\frac{3}{3\sqrt{6}}⟹ME=\frac{3\cdot 3\sqrt{2}}{3\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}\text{ cm}.$$
Așadar, distanța de la punctul $M$ la planul $(A{B}^{\prime }C)$ este egală cu $\sqrt{3}\text{ cm}$. $\text{(1p)}$

Evaluarea Națională pentru absolvenții clasei a VIII-a

Anul școlar 2020 – 2021
Matematică
Varianta 4 (Subiect de rezervă)

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $2^5$ este egal cu:
а) $10$
b) $16$
c) $25$
d) $32$

5p 2. Dacă $\frac{a}{2}=1,5$, atunci numărul $a$ este egal cu:
a) $2,10$
b) $3$
c) $3,10$
d) $0,75$

5p 3. Opusul numărului $5$ este egal cu:
a) $-5$
b) $-\frac{1}{5}$
c) $\frac{1}{5}$
d) $5$

5p 4. Dintre numerele $0,123$; $0,1(23)$; $0,12(3)$ și $0,(123)$, cel mai mare este:
a) $0,123$
b) $0,(123)$
c) $0,1(23)$
d) $0,12(3)$

5p 5. Patru elevi, Laura, Petru, Tudor și Sofia, au calculat numărul $\sqrt{10^2-6^2}$ și rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Laura	Petru	Tudor	Sofia
$2\sqrt{2}$	$4$	$3\sqrt{2}$	$8$

Conform informațiilor din tabel, dintre cei patru elevi, rezultatul corect a fost obținut de:
a) Laura
b) Petru
c) Tudor
d) Sofia

5p 6. Se consideră intervalul $I=[-3,5)$. Andrei afirmă că: „Intervalul $I$ conține 5 numere naturale.”. Afirmația lui Andrei este:
a) adevărată
b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată sunt reprezentate, în această ordine, punctele coliniare $A$, $B$, $C$ și $D$. Știind că $AB=2\text{ cm}$, $BC=4\text{ cm}$ și $CD=1\text{ cm}$, lungimea segmentului $AD$ este egală cu:
[Figura: O dreaptă pe care sunt marcate punctele coliniare A, B, C, D în această ordine]
a) $2\text{ cm}$
b) $5\text{ cm}$
c) $6\text{ cm}$
d) $7\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată, punctele $A$, $O$ și $E$ sunt coliniare și unghiurile $AOB$, $BOC$, $COD$ și $DOE$ sunt congruente. Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$ și semidreapta $ON$ este bisectoarea unghiului $DOE$. Măsura unghiului $MON$ este egală cu:
[Figura: Punctele A, O, E coliniare, semidreptele OB, OC, OD formând patru unghiuri congruente în jurul punctului O, și bisectoarele OM și ON]
a) $45^{\circ }$
b) $90^{\circ }$
c) $120^{\circ }$
d) $135^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat un triunghi echilateral $ABC$. Punctul $O$, din interiorul triunghiului, se află la distanțe egale cu $4\text{ cm}$ de fiecare dintre cele trei vârfuri ale triunghiului. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și punctul $D$ este simetricul punctului $O$ față de punctul $M$. Lungimea segmentului $OD$ este egală cu:
[Figura: Triunghiul echilateral ABC cu centrul O, mijlocul M al laturii BC și punctul D pe prelungirea segmentului OM]
a) $2\text{ cm}$
b) $4\text{ cm}$
c) $6\text{ cm}$
d) $8\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel CD$. Diagonala $AC$ este perpendiculară pe latura $BC$, $AB=18\text{ cm}$, iar măsura unghiului $ADC$ este egală cu $120^{\circ }$. Lungimea segmentului $BC$ este egală cu:
[Figura: Trapezul isoscel ABCD cu baza mare AB, diagonala AC perpendiculară pe BC]
a) $6\text{ cm}$
b) $9\text{ cm}$
c) $6\sqrt{3}\text{ cm}$
d) $9\sqrt{3}\text{ cm}$

5p 5. În figura alăturată, punctele distincte $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt situate pe un cerc cu raza de $6\text{ cm}$, astfel încât punctele $A$ și $D$ sunt diametral opuse și arcele $AB$, $BC$ și $CD$ sunt congruente. Aria triunghiului $ABD$ este egală cu:
[Figura: Cercul de diametru AD, punctele B și C împărțind semicercul în trei arce egale, triunghiul ABD înscris]
a) $6\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
b) $12\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
c) $18\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
d) $36\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$

5p 6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$, cu muchia laterală $VA$ de $5\text{ dm}$ și muchia bazei $AB$ de $6\text{ dm}$. Toate fețele laterale ale piramidei se vopsesc. Aria suprafeței vopsite este egală cu:
[Figura: Piramida patrulateră regulată VABCD]
a) $12{\text{ dm}}^2$
b) $36{\text{ dm}}^2$
c) $48{\text{ dm}}^2$
d) $84{\text{ dm}}^2$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Ioana cumpără $3\text{ kg}$ de mere și $2\text{ kg}$ de portocale și plătește $19\text{ lei}$. Maria cumpără $2\text{ kg}$ de mere și $3\text{ kg}$ de portocale, de aceeași calitate, pentru care plătește $21\text{ de lei}$.
(2p) a) Cu $71\text{ de lei}$ poate cumpăra Mihai $10\text{ kg}$ de mere și $10\text{ kg}$ de portocale, de aceeași calitate cu cele cumpărate de Ioana și Maria? Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Determină cât a plătit Ioana pe un kilogram de mere.

5p 2. Se consideră expresia
$$E(x)={\left(\frac{2x}{3}+\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{x}{3}+\frac{5}{2}\right)}^2-x\left(\frac{x}{3}+1\right),$$
unde $x$ este număr real.
(2p) a) Arată că $E(x)=-2x-6$, pentru orice număr real $x$.
(3p) b) Determină numerele naturale $a$ pentru care $E(a)>-10$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\sqrt{2}$.
(2p) a) Arată că $f(1)+\sqrt{2}=1$.
(3p) b) Determină aria triunghiului delimitat de reprezentarea grafică a funcției $f$ și de axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$.

5p 4. În figura alăturată sunt reprezentate pătratele $ABMN$ și $BCEF$, cu $AB=3\text{ cm}$ și $BC=2\cdot AB$. Punctul $B$ aparține segmentului $AC$.
[Figura: Două pătrate alăturate ABMN și BCEF, cu laturile AB și BC pe aceeași dreaptă, M situat pe latura BF]
(2p) a) Arată că perimetrul pătratului $BCEF$ este egal cu $24\text{ cm}$.
(3p) b) Demonstrează că dreptele $AF$ și $CM$ sunt perpendiculare.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=6\sqrt{3}\text{ cm}$ și $BC=3\sqrt{6}\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$, punctul $E$ aparține diagonalei $BD$ și $DE=3\sqrt{2}\text{ cm}$.
[Figura: Dreptunghiul ABCD, diagonala BD cu punctul E, mijlocul M al laturii AB și segmentele AE și CM]
(2p) a) Arată că $BD=9\sqrt{2}\text{ cm}$.
(3p) b) Demonstrează că dreptele $AE$ și $CM$ sunt paralele.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6\text{ cm}$. Intersecția dreptelor $B{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }C$ este punctul $O$ și punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.
[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu centrul feței BCC'B' notat cu O, punctul M pe muchia AB, triunghiul AB'C]
(2p) a) Arată că $AO=3\sqrt{6}\text{ cm}$.
(3p) b) Determină distanța de la punctul $M$ la planul $(A{B}^{\prime }C)$.