Evaluare Națională 2021, matematică: examen oficial (sesiunea iunie)

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: d) 30
Explicație:
Un număr natural este divizibil cu $10$ dacă și numai dacă ultima sa cifră este $0$. Dintre numerele date ($15$, $17$, $25$, $30$), doar numărul $30$ se termină cu cifra $0$.
(Conform baremului: 5 puncte)

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: d) 110 lei
Explicație:
Scumpirea reprezintă $10\%$ din prețul inițial:
$$\frac{10}{100}\cdot 100=10\text{ lei}$$
Noul preț al obiectului este:
$$100+10=110\text{ lei}$$
(Conform baremului: 5 puncte)

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: a) 8°C
Explicație:
Diferența dintre temperatura înregistrată la ora 12:00 și temperatura înregistrată la ora 8:00 este:
$$5^{\circ }\text{C}-(-3^{\circ }\text{C})=5^{\circ }\text{C}+3^{\circ }\text{C}=8^{\circ }\text{C}$$
(Conform baremului: 5 puncte)

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: a) $\frac{4}{5}$
Explicație:
O fracție $\frac{a}{b}$ ($a,b>0$) este subunitară dacă numărătorul este strict mai mic decât numitorul ($a<b$).

• $\frac{44}{10}=4,4>1$ (supraunitară)
• $\frac{5}{4}=1,25>1$ (supraunitară)
• $\frac{4}{5}=0,8<1$ (subunitară, deoarece $4<5$)
• $4=\frac{4}{1}>1$ (supraunitară)
  (Conform baremului: 5 puncte)

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: d) $-\sqrt{2}$
Explicație:
Efectuăm calculele dând factor comun pe $\sqrt{2}$:
$$2\sqrt{2}-6\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(2-6+3)\sqrt{2}=-1\sqrt{2}=-\sqrt{2}$$
(Conform baremului: 5 puncte)

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: a) adevărată
Explicație:
Numărul găinilor este $10$. Bunica are de două ori mai multe rațe decât găini, prin urmare are $2\cdot 10=20$ de rațe.
Afirmația lui Andrei: „Bunica are în curte $10$ găini și $20$ de rațe” este adevărată.
(Conform baremului: 5 puncte)

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: a) 3
Explicație:
Fie lungimea segmentului $AB=x$.
Deoarece $B$ este mijlocul segmentului $AC$, avem $BC=AB=x$, deci $AC=AB+BC=2x$.
Deoarece $C$ este mijlocul segmentului $AD$, avem $CD=AC=2x$.
Atunci segmentul $BD=BC+CD=x+2x=3x$.
Raportul căutat este:
$$\frac{BD}{AB}=\frac{3x}{x}=3$$
(Conform baremului: 5 puncte)

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: a) 70°
Explicație:
Unghiurile $AOB$ și $BOC$ fiind adiacente suplementare, suma măsurilor lor este $180^{\circ }$:
$$\sphericalangle AOB=180^{\circ }-\sphericalangle BOC=180^{\circ }-40^{\circ }=140^{\circ }$$
Semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $AOB$, prin urmare:
$$\sphericalangle BOD=\frac{\sphericalangle AOB}{2}=\frac{140^{\circ }}{2}=70^{\circ }$$
(Conform baremului: 5 puncte)

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: c) 5 cm
Explicație:
În triunghiul dreptunghic $ABC$ ($\sphericalangle A=90^{\circ }$), $M$ este mijlocul laturii $AC$, deci:
$$AM=\frac{AC}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$$
În triunghiul dreptunghic $BAM$ (cu $\sphericalangle A=90^{\circ }$), aplicăm teorema lui Pitagora:
$$B{M}^2=A{B}^2+A{M}^2=4^2+3^2=16+9=25$$
$$BM=\sqrt{25}=5\text{ cm}$$
(Conform baremului: 5 puncte)

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: b) 90°
Explicație:
$AP$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle DAB=90^{\circ }$, deci $\sphericalangle DAP=\sphericalangle PAB=45^{\circ }$.
În triunghiul dreptunghic $ADP$ ($\sphericalangle D=90^{\circ }$), $\sphericalangle DAP=45^{\circ }$, prin urmare triunghiul este dreptunghic isoscel, de unde $DP=AD=BC=3\text{ cm}$.
Cum $DC=AB=6\text{ cm}$, obținem $PC=DC-DP=6-3=3\text{ cm}$.
În triunghiul dreptunghic $BCP$ ($\sphericalangle C=90^{\circ }$), avem $PC=BC=3\text{ cm}$, deci triunghiul $BCP$ este dreptunghic isoscel, având $\sphericalangle BPC=45^{\circ }$.
De asemenea, în $△ADP$, $\sphericalangle APD=45^{\circ }$.
Punctele $D$, $P$, $C$ fiind coliniare, unghiul $\sphericalangle DPC$ este alungit ($180^{\circ }$). Rezultă:
$$\sphericalangle APB=180^{\circ }-\sphericalangle APD-\sphericalangle BPC=180^{\circ }-45^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }$$
(Conform baremului: 5 puncte)

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: b) $2\sqrt{2}$ cm
Explicație:
Diametrele perpendiculare $AB\perp CD$ se intersectează în centrul $O$. Raza cercului este $R=OA=OD=OC=2\text{ cm}$.
Triunghiul $AOD$ este dreptunghic isoscel în $O$ cu catetele de lungime $2\text{ cm}$.
Ipotenuza este $AD=\sqrt{O{A}^2+O{D}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}\text{ cm}$.
Triunghiul $ACD$ este înscris într-un semicerc cu ipotenuza $CD=2R=4\text{ cm}$, deci este dreptunghic în $A$ (adică $\sphericalangle CAD=90^{\circ }$).
Deoarece $CA\perp AD$, distanța de la punctul $C$ la dreapta $AD$ este chiar lungimea segmentului $CA$.
În triunghiul dreptunghic isoscel $AOC$, avem $CA=2\sqrt{2}\text{ cm}$.
Așadar, distanța de la $C$ la dreapta $AD$ este egală cu $2\sqrt{2}\text{ cm}$.
(Conform baremului: 5 puncte)

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: c) $16\sqrt{3}$ cm${}^2$
Explicație:
Piramida patrulateră regulată $VABCD$ are muchiile laterale egale cu muchiile bazei: $VA=VB=VC=VD=AB=4\text{ cm}$.
Prin urmare, cele $4$ fețe laterale sunt triunghiuri echilaterale congruente cu latura de lungime $4\text{ cm}$.
Aria unei fețe laterale este:
$$A_{△VAB}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}=\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$
Aria laterală este suma ariilor celor $4$ fețe laterale:
$$A_{lat}=4\cdot A_{△VAB}=4\cdot 4\sqrt{3}=16\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$
(Conform baremului: 5 puncte)

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)
Fie $L$ lungimea întregului traseu.
Dacă distanța parcursă în primele două zile ar reprezenta $50\%$ din lungimea întregului traseu, atunci în a treia zi turistul ar parcurge:
$$50\%\cdot (50\%\cdot L)=\frac{50}{100}\cdot \frac{50}{100}\cdot L=\frac{1}{4}\cdot L=25\%\text{ din }L$$ (1p)
Atunci distanța totală parcursă în cele trei zile ar fi:
$$50\%\cdot L+25\%\cdot L=75\%\cdot L<100\%\cdot L$$
Ceea ce ar însemna că turistul nu parcurge întregul traseu în cele trei zile (sau $75\%\ne 100\%$).
Deci nu este posibil ca distanța parcursă în primele două zile să reprezinte $50\%$ din lungimea întregului traseu. (1p)

b)
Fie $d_{1,2}$ distanța parcursă în primele două zile.
Conform enunțului, în a treia zi turistul parcurge $50\%$ din această distanță, adică $\frac{1}{2}\cdot d_{1,2}=9\text{ km}$, de unde obținem:
$$d_{1,2}=2\cdot 9=18\text{ km}$$ (1p)
Fie $x$ lungimea traseului parcurs în prima zi (în km).
În a doua zi, turistul a parcurs cu $6\text{ km}$ mai puțin, adică $x-6$ km.
Suma distanțelor din primele două zile este:
$$x+(x-6)=18$$ (1p)
Rezolvăm ecuația:
$$2x-6=18⟹2x=24⟹x=12\text{ km}$$
Lungimea traseului parcurs în prima zi este de $12\text{ km}$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)
Dezvoltăm termenii expresiei:
$$(2x-1{)}^2=4x^2-4x+1$$
$$(2x-4)(x+2)=2x^2+4x-4x-8=2x^2-8$$
$$(x+3{)}^2=x^2+6x+9$$
Înlocuim în expresie:
$$E(x)=(4x^2-4x+1)-(2x^2-8)+(x^2+6x+9)$$ (1p)
Efectuăm reducerea termenilor asemenea:
$$E(x)=4x^2-4x+1-2x^2+8+x^2+6x+9=(4-2+1)x^2+(-4+6)x+(1+8+9)$$
$$E(x)=3x^2+2x+18,\text{pentru orice numa˘r real }x$$ (1p)

b)
Calculăm $A=E(n)+n$:
$$A=(3n^2+2n+18)+n=3n^2+3n+18$$ (1p)
Dăm factor comun pe $3$:
$$A=3(n^2+n+6)$$ (1p)
Observăm că $n^2+n+6=n(n+1)+6$.
Produsul $n(n+1)$ este produsul a două numere naturale consecutive, deci este întotdeauna un număr par (divizibil cu $2$).
Deoarece $6$ este par, suma $n(n+1)+6$ este o sumă de numere pare, deci este un număr par.
Rezultă că $n^2+n+6$ este divizibil cu $2$.
Cum $A=3\cdot (\text{numa˘r par})$, rezultă că $A$ este divizibil atât cu $3$, cât și cu $2$.
Cum $\mathrm{cmmdc}(2,3)=1$, rezultă că $A$ este multiplu de $6$, pentru orice număr natural $n$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)
Calculăm valorile funcției:
$$f(3)=3-2=1$$ (1p)
$$f(-3)=-3-2=-5$$
Atunci:
$$f(3)-f(-3)=1-(-5)=1+5=6$$ (1p)

b)
Determinăm intersecțiile graficului funcției $f$ cu axele de coordonate:

• Cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹x-2=0⟹x=2$, deci obținem punctul $A(2,0)$.
• Cu axa $Oy$: $f(0)=-2$, deci obținem punctul $B(0,-2)$. (1p)
  Punctul dat este $C(-2,0)$, care se află pe axa $Ox$.
  Lungimea segmentului $AC$ pe axa $Ox$ este:
  $$AC=|x_A-x_C|=|2-(-2)|=4$$
  În triunghiul $ABC$, distanța de la originea $O$ la axa $Oy$ dă $OB=|-2|=2$, iar $OB\perp AC$ (deoarece axele sunt perpendiculare).
  Aria triunghiului $ABC$ poate fi calculată în două moduri:
  $${\mathcal{A}}_{△ABC}=\frac{AC\cdot OB}{2}=\frac{d(C,AB)\cdot AB}{2}$$ (1p)
  Calculăm lungimea segmentului $AB$ în triunghiul dreptunghic $OAB$:
  $$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$
  Egalând cele două formule ale ariei:
  $$AC\cdot OB=d(C,AB)\cdot AB⟹4\cdot 2=d(C,AB)\cdot 2\sqrt{2}$$
  $$d(C,AB)=\frac{8}{2\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$$
  Distanța de la punctul $C(-2,0)$ la graficul funcției $f$ este egală cu $2\sqrt{2}$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)
În triunghiul echilateral $ABC$, avem $\sphericalangle B=60^{\circ }$ și $\sphericalangle A=\sphericalangle C=60^{\circ }$.
Deoarece $MP\parallel AC$, unghiurile corespondente sunt egale:
$$\sphericalangle BMP=\sphericalangle A=60^{\circ }\text{și}\sphericalangle BPM=\sphericalangle C=60^{\circ }$$
Cum toate unghiurile au $60^{\circ }$, triunghiul $BMP$ este echilateral. (1p)
Latura sa este $BM=AB-AM=3-1=2\text{ cm}$.
Perimetrul triunghiului $BMP$ este:
$${\mathcal{P}}_{△BMP}=3\cdot BM=3\cdot 2=6\text{ cm}$$ (1p)

b)
În triunghiul echilateral $ABC$, înălțimea $AD$ este și mediană, deci:
$$BD=\frac{BC}{2}=\frac{3}{2}=1,5\text{ cm}$$ (1p)
Triunghiul $BMP$ fiind echilateral cu latura de $2\text{ cm}$, avem $BP=2\text{ cm}$.
Deoarece $D$ se află pe segmentul $BP$, avem:
$$DP=BP-BD=2-1,5=0,5\text{ cm}$$
În triunghiul $ABD$, $AD\perp BC$, deci triunghiul $QDP$ este dreptunghic în $D$ ($\sphericalangle QDP=90^{\circ }$).
În triunghiul echilateral $ABC$, înălțimea $AD$ este și bisectoare, deci $\sphericalangle BAD=30^{\circ }$.
Deoarece $MP\parallel AC$, unghiul $\sphericalangle AQM$ este egal cu unghiul format de înălțime cu latura opusă, sau calculând în triunghiul dreptunghic $QDP$:
$\sphericalangle DQP=\sphericalangle DAC=30^{\circ }$ (unghiuri corespondente sau alterne interne cu bisectoarea).
În triunghiul dreptunghic $QDP$, cateta $DP$ se opune unghiului de $30^{\circ }$, prin urmare:
$$DP=\frac{PQ}{2}⟹PQ=2\cdot DP$$ (1p)
$$PQ=2\cdot 0,5=1\text{ cm}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)
În trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, unghiurile alăturate bazei mici au măsura de $120^{\circ }$, deci:
$$\sphericalangle DAB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$$
Construim înălțimile $DE\perp AB$, $E\in AB$ și $CF\perp AB$, $F\in AB$.
Patrulaterul $DEFC$ este dreptunghi, deci $EF=DC=6\text{ cm}$. (1p)
În triunghiul dreptunghic $ADE$ (cu $\sphericalangle AED=90^{\circ }$ și $\sphericalangle DAE=60^{\circ }$), unghiul $\sphericalangle ADE=30^{\circ }$.
Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$:
$$AE=\frac{AD}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$$
Trapezul fiind isoscel, $△ADE\equiv △BCF$, deci $BF=AE=3\text{ cm}$.
Lungimea bazei mari $AB$ este:
$$AB=AE+EF+FB=3+6+3=12\text{ cm}$$ (1p)

b)
Fie $M$ pe $AB$. În triunghiul isoscel trapezoidal, observăm că dacă luăm $M$ mijlocul lui $AB$, atunci $AM=MB=\frac{12}{2}=6\text{ cm}$.
Deoarece $DC=6\text{ cm}$ și $AM=6\text{ cm}$, iar $AM\parallel DC$, patrulaterul $AMCD$ este paralelogram.
Cum $AD=6\text{ cm}$, paralelogramul $AMCD$ este chiar romb, deci $MC=6\text{ cm}$ și $MD=AD=6\text{ cm}$, ceea ce arată că $△AMD$ este echilateral, cu toate laturile de $6\text{ cm}$.
Rezultă $\sphericalangle AMD=60^{\circ }$. (1p)
De asemenea, în triunghiul $MBC$, avem $MB=6\text{ cm}$ și $BC=AD=6\text{ cm}$, iar $\sphericalangle B=60^{\circ }$.
Deci triunghiul $MBC$ este echilateral.
Deoarece $MP$ este mediatoarea segmentului $BC$ în triunghiul echilateral $MBC$, dreapta $MP$ este și înălțime, și bisectoare a unghiului $\sphericalangle BMC$.
Prin urmare:
$$\sphericalangle BMP=\frac{\sphericalangle BMC}{2}=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$$ (1p)
Punctele $A$, $M$, $B$ fiind coliniare pe dreapta $AB$, unghiul $\sphericalangle AMB$ este de $180^{\circ }$.
Calculăm măsura unghiului $\sphericalangle DMP$:
$$\sphericalangle DMP=180^{\circ }-(\sphericalangle AMD+\sphericalangle BMP)=180^{\circ }-(60^{\circ }+30^{\circ })=180^{\circ }-90^{\circ }=90^{\circ }$$
Deoarece $\sphericalangle DMP=90^{\circ }$, rezultă că dreptele $DM$ și $MP$ sunt perpendiculare ($DM\perp MP$). (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)
Volumul unui cub de latură $l$ este dat de formula $V=l^3$.
Avem $l=AB=6\sqrt{2}\text{ cm}$. (1p)
Calculăm volumul:
$$V=(6\sqrt{2}{)}^3=6^3\cdot (\sqrt{2}{)}^3=216\cdot 2\sqrt{2}=432\sqrt{2}{\text{ cm}}^3$$ (1p)

b)
Fie $Q$ punctul de intersecție a diagonalelor bazei $ABCD$, $\{Q\}=AC\cap BD$.
În fața pătrată $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$, $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor $A{D}^{\prime }$ și $A^{\prime }D$, deci $O$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }D$ (și al lui $A{D}^{\prime }$).
$Q$ este mijlocul segmentului $BD$.
În triunghiul $A^{\prime }BD$, segmentul $OQ$ unește mijloacele laturilor $A^{\prime }D$ și $BD$, deci $OQ$ este linie mijlocie.
Rezultă că $OQ\parallel A^{\prime }B$.
Deoarece $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$, avem de asemenea că proiecția sau paralela dintr-un punct pe o dreaptă se poate raporta mai simplu la $AQ$:
Observăm că în triunghiul $AC{D}^{\prime }$, $Q$ este mijlocul lui $AC$, iar $O$ este mijlocul lui $A{D}^{\prime }$, deci $OQ$ este linie mijlocie și în $△AC{D}^{\prime }$, adică $OQ\parallel C{D}^{\prime }$.
De altfel, dacă privim planul $(BD{D}^{\prime })$:
Diagonala bazei $AC\perp BD$ (diagonale de pătrat).
Muchia verticală $D{D}^{\prime }\perp (ABCD)⟹D{D}^{\prime }\perp AC$, deci $AQ\perp D{D}^{\prime }$.
Cum $AQ\perp BD$ și $AQ\perp D{D}^{\prime }$, iar $BD,D{D}^{\prime }\subset (BD{D}^{\prime })$ se intersectează în $D$, rezultă că:
$$AQ\perp (BD{D}^{\prime })$$ (1p)
În planul $(A{D}^{\prime }C)$, dacă ducem din $O$ o paralelă la $AQ$, fie aceasta $OM\parallel AQ$, unde $M$ este mijlocul segmentului $D^{\prime }Q$.
Deoarece $OM\parallel AQ$ și $AQ\perp (BD{D}^{\prime })$, rezultă că:
$$OM\perp (BD{D}^{\prime }),\text{unde }M\in (BD{D}^{\prime })$$
Prin urmare, distanța de la $O$ la planul $(BD{D}^{\prime })$ este lungimea segmentului $OM$:
$$d(O,(BD{D}^{\prime }))=OM$$ (1p)
Deoarece $O$ este mijlocul lui $A{D}^{\prime }$ și $OM\parallel AQ$ în $△A{D}^{\prime }Q$, $OM$ este linie mijlocie, deci:
$$OM=\frac{AQ}{2}$$
Diagonala pătratului $ABCD$ este $AC=l\sqrt{2}=6\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=12\text{ cm}$.
Cum $Q$ este mijlocul lui $AC$, avem:
$$AQ=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6\text{ cm}$$
Prin urmare:
$$OM=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$$
Distanța de la punctul $O$ la planul $(BD{D}^{\prime })$ este egală cu $3\text{ cm}$. (1p)

Evaluarea Națională pentru Absolvenții Clasei a VIII-a

Anul școlar 2020 – 2021
Matematică
Varianta 3

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Dintre numerele $15$, $17$, $25$ și $30$, numărul divizibil cu $10$ este:
a) $15$
b) $17$
c) $25$
d) $30$

5p 2. Un obiect costă $100$ de lei. După o scumpire cu $10\%$, noul preț al obiectului este egal cu:
a) $10$ lei
b) $90$ de lei
c) $100$ de lei
d) $110$ lei

5p 3. Temperaturile aerului măsurate de Maria, într-o zi, la ora 8:00 și la ora 12:00, sunt înregistrate în tabelul de mai jos:

Ora	8:00	12:00
Temperatura	$-3^{\circ }\text{C}$	$5^{\circ }\text{C}$

Conform informațiilor din tabel, temperatura măsurată la ora 12:00 este mai mare decât temperatura măsurată la ora 8:00 cu:
a) $8^{\circ }\text{C}$
b) $2^{\circ }\text{C}$
c) $-2^{\circ }\text{C}$
d) $-8^{\circ }\text{C}$

5p 4. Fracția subunitară din mulțimea $A=\left\{\frac{44}{10},\frac{5}{4},\frac{4}{5},4\right\}$ este:
a) $\frac{4}{5}$
b) $\frac{5}{4}$
c) $4$
d) $\frac{44}{10}$

5p 5. Rezultatul calculului $2\sqrt{2}-6\sqrt{2}+3\sqrt{2}$ este egal cu:
a) $11\sqrt{2}$
b) $-4\sqrt{2}$
c) $-\sqrt{6}$
d) $-\sqrt{2}$

5p 6. Bunica lui Andrei are în curte $10$ găini și de două ori mai multe rațe. Andrei afirmă că: „Bunica are în curte $10$ găini și $20$ de rațe.”. Afirmația lui Andrei este:
a) adevărată
b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte $A$, $B$, $C$ și $D$. Punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$ și punctul $C$ este mijlocul segmentului $AD$. Valoarea raportului $\frac{BD}{AB}$ este egală cu:
[Figura: Punctele coliniare $A,B,C,D$ așezate în această ordine pe o dreaptă]
a) $3$
b) $2$
c) $0,75$
d) $0,50$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile $AOB$ și $BOC$, adiacente suplementare, semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $AOB$ și măsura unghiului $BOC$ este de $40^{\circ }$. Măsura unghiului $BOD$ este egală cu:
[Figura: Unghiurile adiacente suplementare $AOB$ și $BOC$ pe dreapta $AC$, cu bisectoarea $OD$ a unghiului $AOB$]
a) $70^{\circ }$
b) $60^{\circ }$
c) $40^{\circ }$
d) $30^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=4\text{ cm}$ și $AC=6\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AC$. Lungimea segmentului $BM$ este egală cu:
[Figura: Triunghiul dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în $A$ și $M$ mijlocul catetei $AC$]
a) $3\text{ cm}$
b) $4\text{ cm}$
c) $5\text{ cm}$
d) $6\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=6\text{ cm}$ și $BC=3\text{ cm}$. Bisectoarea unghiului $BAD$ intersectează latura $DC$ în punctul $P$. Măsura unghiului $APB$ este egală cu:
[Figura: Dreptunghiul $ABCD$ cu bisectoarea $AP$ a unghiului $A$, $P\in CD$, și segmentul $PB$]
a) $135^{\circ }$
b) $90^{\circ }$
c) $60^{\circ }$
d) $45^{\circ }$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$ și raza de $2\text{ cm}$, unde $AB$ și $CD$ sunt diametre perpendiculare. Distanța de la punctul $C$ la dreapta $AD$ este egală cu:
[Figura: Cercul de centru $O$ cu diametrele perpendiculare $AB$ și $CD$, și coarda $AD$]
a) $2\text{ cm}$
b) $2\sqrt{2}\text{ cm}$
c) $2\sqrt{3}\text{ cm}$
d) $4\text{ cm}$

5p 6. În figura alăturată este reprezentată o piramidă patrulateră regulată $VABCD$, cu baza $ABCD$ și $VA=AB=4\text{ cm}$. Aria laterală a piramidei $VABCD$ este egală cu:
[Figura: Piramida patrulateră regulată $VABCD$]
a) $16{\text{ cm}}^2$
b) $16\sqrt{2}{\text{ cm}}^2$
c) $16\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
d) $32{\text{ cm}}^2$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Un turist a parcurs un traseu în trei zile. În a doua zi a parcurs cu $6\text{ km}$ mai puțin decât în prima zi, iar în a treia zi $50\%$ din distanța parcursă în primele două zile.

(2p) a) Este posibil ca distanța parcursă de turist în primele două zile să reprezinte $50\%$ din lungimea întregului traseu? Justifică răspunsul dat.

(3p) b) Știind că turistul a parcurs în a treia zi $9\text{ km}$, determină lungimea traseului parcurs în prima zi.

2. Se consideră expresia $E(x)=(2x-1{)}^2-(2x-4)(x+2)+(x+3{)}^2$, unde $x$ este număr real.

(2p) a) Arată că $E(x)=3x^2+2x+18$, pentru orice număr real $x$.

(3p) b) Demonstrează că numărul natural $A=E(n)+n$ este multiplu de $6$, pentru orice număr natural $n$.

3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$.

(2p) a) Arată că $f(3)-f(-3)=6$.

(3p) b) În sistemul de axe ortogonale $xOy$, determină distanța de la punctul $C(-2,0)$ la reprezentarea grafică a funcției $f$.

4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu $AB=3\text{ cm}$ și înălțimea $AD$, unde punctul $D$ se află pe latura $BC$. Punctul $M$ aparține laturii $AB$, astfel încât $AM=1\text{ cm}$. Paralela prin punctul $M$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $AD$ în punctul $Q$ și dreapta $BC$ în punctul $P$.

[Figura: Triunghiul echilateral $ABC$ cu înălțimea $AD$, punctul $M\in AB$, segmentul $MP\parallel AC$ intersectează $AD$ în $Q$ și $BC$ în $P$]

(2p) a) Arată că perimetrul triunghiului $BMP$ este egal cu $6\text{ cm}$.

(3p) b) Determină lungimea segmentului $PQ$.

5. Se consideră trapezul isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, măsura unghiului $ADC$ este egală cu $120^{\circ }$ și $AD=DC=6\text{ cm}$. Dreapta $MP$ este mediatoarea segmentului $BC$, unde punctul $M$ aparține dreptei $AB$ și punctul $P$ aparține dreptei $BC$.

[Figura: Trapezul isoscel $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, iar dreapta $MP$ perpendiculară pe $BC$ în mijlocul $P$, intersectează $AB$ în $M$]

(2p) a) Arată că $AB=12\text{ cm}$.

(3p) b) Demonstrează că dreptele $DM$ și $MP$ sunt perpendiculare.

6. Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=6\sqrt{2}\text{ cm}$.

[Figura: Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu diagonalele feței laterale $A{D}^{\prime }$ și $A^{\prime }D$ intersectate în punctul $O$]

(2p) a) Arată că volumul cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu $432\sqrt{2}{\text{ cm}}^3$.

(3p) b) Determină distanța de la punctul $O$ la planul $(BD{D}^{\prime })$, unde $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $A{D}^{\prime }$ și $A^{\prime }D$.