Evaluare Națională 2025, matematică: simulare națională

Barem de evaluare și rezolvare detaliată

SUBIECTUL I (30 de puncte)

Subiectul I, 1)

• Răspuns corect: b) 15 (5p)
• Explicație:
  Efectuăm mai întâi operația de înmulțire:
  $$25-2\cdot 5=25-10=15$$

Subiectul I, 2)

• Răspuns corect: c) 5 (5p)
• Explicație:
  $$10\%\text{ din }50=\frac{10}{100}\cdot 50=\frac{500}{100}=5$$

Subiectul I, 3)

• Răspuns corect: d) $3^{\circ }\text{C}$ (5p)
• Explicație:
  Diferența de temperatură dintre prânz și dimineață este:
  $$+2^{\circ }\text{C}-(-1^{\circ }\text{C})=2+1=3^{\circ }\text{C}$$

Subiectul I, 4)

• Răspuns corect: b) $\frac{1}{4}$ (5p)
• Explicație:
  $$x=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$$

Subiectul I, 5)

• Răspuns corect: a) Andreea (5p)
• Explicație:
  Media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este:
  $$m_a=\frac{a+b}{2}=\frac{(4-\sqrt{2})+(4+\sqrt{2})}{2}=\frac{8}{2}=4$$
  Elevul care a obținut rezultatul 4 este Andreea.

Subiectul I, 6)

• Răspuns corect: b) falsă (5p)
• Explicație:
  Din diagramă citim:
  • numărul elevilor care au optat pentru fotbal este $40$;
  • numărul elevilor care au optat pentru șah este $45$.
    Deoarece $40\ne 45$, afirmația este falsă.

---

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al II-lea, 1)

• Răspuns corect: c) 8 cm (5p)
• Explicație:
  Punctele $A,B,C,D$ sunt coliniare în această ordine, iar $AB=BC=CD$.
  Atunci $AD=AB+BC+CD=3\cdot CD$.
  $$3\cdot CD=24\text{ cm}⟹CD=\frac{24}{3}=8\text{ cm}$$

Subiectul al II-lea, 2)

• Răspuns corect: b) $120^{\circ }$ (5p)
• Explicație:
  Semidreapta $OD$ este opusă semidreptei $OB$, ceea ce înseamnă că punctele $B,O,D$ sunt coliniare, iar unghiul $BOD$ este un unghi alungit (măsura sa este de $180^{\circ }$).
  Unghiurile $BOC$ și $DOC$ sunt adiacente suplementare, deci:
  $$\sphericalangle DOC=180^{\circ }-\sphericalangle BOC=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$$

Subiectul al II-lea, 3)

• Răspuns corect: c) $120^{\circ }$ (5p)
• Explicație:
  În triunghiul echilateral $ABC$:
  • $BE$ este bisectoare, deci este și înălțime, $BE\perp AC$, iar $\sphericalangle EBC=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$;
  • $D$ este mijlocul segmentului $BC$, deci $AD$ este mediană și înălțime, $AD\perp BC$, de unde $\sphericalangle PDB=90^{\circ }$.
    În triunghiul dreptunghic $PDB$:
    $$\sphericalangle DPB=90^{\circ }-\sphericalangle PBD=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$$
    Unghiurile $DPE$ și $DPB$ sunt suplementare (deoarece $B,P,E$ sunt coliniare), deci:
    $$\sphericalangle DPE=180^{\circ }-\sphericalangle DPB=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$$

Subiectul al II-lea, 4)

• Răspuns corect: c) 70 cm (5p)
• Explicație:
  Lungimea liniei mijlocii a trapezului este semisuma lungimilor bazelor:
  $$L_m=\frac{AB+CD}{2}=\frac{100+40}{2}=\frac{140}{2}=70\text{ cm}$$

Subiectul al II-lea, 5)

• Răspuns corect: b) $144\pi {\text{ cm}}^2$ (5p)
• Explicație:
  Triunghiul $OAB$ este isoscel cu $OA=OB=R$.
  Deoarece $\sphericalangle AOB=60^{\circ }$, triunghiul $OAB$ este echilateral, deci raza cercului este $R=OA=AB=12\text{ cm}$.
  Aria discului este:
  $$\mathcal{A}=\pi R^2=\pi \cdot 12^2=144\pi {\text{ cm}}^2$$

Subiectul al II-lea, 6)

• Răspuns corect: c) 48 cm (5p)
• Explicație:
  Segmentul $EG$ este diagonala unei fețe a cubului. Dacă notăm cu $l$ lungimea muchiei cubului, atunci:
  $$EG=l\sqrt{2}⟹l\sqrt{2}=4\sqrt{2}⟹l=4\text{ cm}$$
  Cubul are 12 muchii congruente, deci suma lungimilor tuturor muchiilor este:
  $$S=12\cdot l=12\cdot 4=48\text{ cm}$$

---

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea, 1)

a)

• Dacă Ana ar primi $40$ de lei, atunci Bogdan și Costin ar primi împreună de două ori mai mult decât Ana, adică $2\cdot 40=80$ de lei. (1p)
• Suma totală împărțită ar fi:
  $$40+80=120\text{ lei}\ne 126\text{ lei}$$
  Prin urmare, Ana nu poate primi de la bunicul ei $40$ de lei. (1p)

b)

• Fie $a,b,c$ sumele primite de Ana, Bogdan, respectiv Costin.
  Suma primită de Bogdan este cu $10\%$ mai mare decât a lui Costin:
  $$b=c+10\%\cdot c=c+\frac{1}{10}c=\frac{11}{10}c$$ (1p)
• Ana primește jumătate din suma lui Bogdan și Costin: $a=\frac{b+c}{2}$.
  Suma totală este:
  $$a+b+c=126⟺\frac{b+c}{2}+(b+c)=126⟺\frac{3(b+c)}{2}=126⟺b+c=84\text{ lei}$$ (1p)
• Înlocuim pe $b$ în funcție de $c$:
  $$\frac{11}{10}c+c=84⟺\frac{21}{10}c=84⟺c=\frac{84\cdot 10}{21}=40\text{ lei}$$
  Atunci suma primită de Bogdan este:
  $$b=\frac{11}{10}\cdot 40=44\text{ lei}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)

• Desfăcând parantezele prin distribuție:
  $$(x-1)(x+2)=x(x+2)-1(x+2)$$ (1p)
  $$=x^2+2x-x-2=x^2+x-2$$
  pentru orice număr real $x$. (1p)

b)

• Aducem la numitor comun termenii din paranteza expresiei $E(x)$:
  $$\frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}-2=\frac{(x-1{)}^2+(x+1{)}^2-2(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)}$$
  Numărătorul este o formulă de calcul prescurtat:
  $$[(x-1)-(x+1){]}^2=(x-1-x-1{)}^2=(-2{)}^2=4$$ (1p)
• Expresia devine:
  $$E(x)=\frac{4}{(x-1)(x+1)}:\frac{4}{x^2+x-2}=\frac{4}{(x-1)(x+1)}\cdot \frac{(x-1)(x+2)}{4}=\frac{x+2}{x+1}$$ (1p)
• Calculăm produsul:
  $$E(2)\cdot E(3)\cdot \cdots \cdot E(10)=\frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}\cdot \frac{6}{5}\cdot \cdots \cdot \frac{12}{11}$$
  Factorii intermediari se simplifică în cascadă, rămânând:
  $$\frac{12}{3}=4$$
  Numărul $N$ este:
  $$N=\sqrt{4}=2\in \mathbb{N}$$
  deci numărul $N$ este natural. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)

• Fie punctul $C(6,0)$ proiecția lui $B$ pe axa $Ox$. Triunghiul $ACB$ este dreptunghic în $C$.
  Lungimile catetelor sunt:
  $$AC=x_C-x_A=6-2=4$$
  $$BC=y_B-y_C=3-0=3$$ (1p)
• Aplicând teorema lui Pitagora în $△ACB$:
  $$A{B}^2=A{C}^2+B{C}^2=4^2+3^2=16+9=25⟹AB=\sqrt{25}=5$$ (1p)

b)

• Punctul $M(5,0)$ se află pe segmentul $AC$, deci pe axa $Ox$.
  Lungimea segmentului $AM$ este:
  $$AM=x_M-x_A=5-2=3$$ (1p)
• În triunghiul $AMB$, înălțimea corespunzătoare bazei $AM$ este proiecția pe verticală, adică $BC=3$.
  Aria triunghiului $AMB$ este:
  $${\mathcal{A}}_{AMB}=\frac{AM\cdot BC}{2}=\frac{3\cdot 3}{2}=\frac{9}{2}$$ (1p)
• Pe de altă parte, exprimând aria folosind baza $AB$ și înălțimea $d(M,AB)$:
  $${\mathcal{A}}_{AMB}=\frac{AB\cdot d(M,AB)}{2}⟺\frac{9}{2}=\frac{5\cdot d(M,AB)}{2}⟹d(M,AB)=\frac{9}{5}=1,8$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)

• Aria pătratului $ABCD$ este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2=10^2=100{\text{ cm}}^2$. (1p)
• Deoarece $M$ este mijlocul lui $AD$, $AM=MD=5\text{ cm}$.
  Aria triunghiului $CDM$ dreptunghic în $D$ este ${\mathcal{A}}_{CDM}=\frac{CD\cdot DM}{2}=\frac{10\cdot 5}{2}=25{\text{ cm}}^2$.
  Aria triunghiului $ABM$ dreptunghic în $A$ este ${\mathcal{A}}_{ABM}=\frac{AB\cdot AM}{2}=\frac{10\cdot 5}{2}=25{\text{ cm}}^2$.
  Aria triunghiului $MBC$ se obține scăzând ariile celor două triunghiuri din aria pătratului:
  $${\mathcal{A}}_{MBC}={\mathcal{A}}_{ABCD}-{\mathcal{A}}_{CDM}-{\mathcal{A}}_{ABM}=100-(25+25)=50{\text{ cm}}^2$$ (1p)

b)

• Fie $T$ intersecția dreptelor $AB$ și $MC$. În triunghiul $TBC$, segmentul $AM$ este paralel cu $BC$ (deoarece $AD\parallel BC$) și $M$ este mijlocul lui $AD$.
  Cum $△TMA\sim △CMD$ cu raportul $\frac{AM}{DM}=1$, rezultă $TA=CD=10\text{ cm}$, deci $A$ este mijlocul ipotenuzei $TB$ în triunghiul dreptunghic $TNB$ ($BN\perp MC$).
  Astfel, $NA$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei $TB$, de unde:
  $$NA=\frac{TB}{2}=\frac{TA+AB}{2}=\frac{10+10}{2}=10\text{ cm}$$ (1p)
• În triunghiul dreptunghic $TBC$, $TB=20\text{ cm}$, $BC=10\text{ cm}$, deci:
  $$TC=\sqrt{T{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{20^2+10^2}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}\text{ cm}$$
  Aplicând teorema catetei în $△TBC$ dreptunghic în $B$, cu înălțimea $BN$:
  $$B{C}^2=CN\cdot TC⟹100=CN\cdot 10\sqrt{5}⟹CN=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\text{ cm}$$
  În triunghiul dreptunghic $MDC$, $MC=\sqrt{C{D}^2+M{D}^2}=\sqrt{10^2+5^2}=\sqrt{125}=5\sqrt{5}\text{ cm}$.
  Atunci $MN=MC-CN=5\sqrt{5}-2\sqrt{5}=3\sqrt{5}\text{ cm}$. (1p)
• Perimetrul triunghiului $MAN$ este:
  $${\mathcal{P}}_{MAN}=AM+MN+NA=5+3\sqrt{5}+10=15+3\sqrt{5}\text{ cm}$$
  Deoarece $3\sqrt{5}=\sqrt{45}<\sqrt{49}=7$, avem:
  $${\mathcal{P}}_{MAN}<15+7=22\text{ cm}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)

• Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$. Conform teoremei lui Pitagora:
  $$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$$ (1p)
  $$BC=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15\text{ cm}$$ (1p)

b)

• $G$ fiind centrul de greutate al triunghiului $ABC$, iar $AE$ mediană ($E$ este mijlocul lui $BC$), avem $\frac{AG}{AE}=\frac{2}{3}$.
  Cum $BM=3\text{ cm}$ și $AB=9\text{ cm}$, rezultă $AM=AB-BM=6\text{ cm}$, deci $\frac{AM}{AB}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$.
  Deoarece $\frac{AG}{AE}=\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}$, conform reciprocei teoremei lui Thales în $△ABE$, obținem $MG\parallel BE$, adică $MG\parallel BC$. De aici:
  $$△AMG\sim △ABE⟹\frac{MG}{BE}=\frac{AM}{AB}=\frac{2}{3}$$
  Cum $E$ este mijlocul ipotenuzei $BC=15\text{ cm}$, avem $BE=\frac{15}{2}\text{ cm}$.
  $$MG=\frac{2}{3}\cdot BE=\frac{2}{3}\cdot \frac{15}{2}=5\text{ cm}$$ (1p)
• Deoarece $MP\parallel AC$ și $AC\perp AB$, rezultă că $MP\perp AB$, deci $△BMP$ este dreptunghic în $M$ și asemenea cu $△BAC$:
  $$\frac{MP}{AC}=\frac{BM}{AB}=\frac{BP}{BC}⟹\frac{MP}{12}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}⟹MP=4\text{ cm},BP=\frac{1}{3}\cdot 15=5\text{ cm}$$
  Cum $BE=7,5\text{ cm}$, obținem $PE=BE-BP=7,5-5=2,5=\frac{5}{2}\text{ cm}$.
  Fie $MR\perp BC$ înălțimea trapezului $MGEP$. În triunghiul dreptunghic $BMP$, înălțimea corespunzătoare ipotenuzei $BP$ este:
  $$MR=\frac{BM\cdot MP}{BP}=\frac{3\cdot 4}{5}=\frac{12}{5}\text{ cm}$$ (1p)
• Patrulaterul $MGEP$ are $MG\parallel PE$ (deoarece $MG\parallel BC$ și $P,E\in BC$), deci este trapez.
  Aria trapezului $MGEP$ este:
  $${\mathcal{A}}_{MGEP}=\frac{(MG+PE)\cdot MR}{2}=\frac{\left(5+\frac{5}{2}\right)\cdot \frac{12}{5}}{2}=\frac{\frac{15}{2}\cdot \frac{12}{5}}{2}=\frac{18}{2}=9{\text{ cm}}^2$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)

• Fețele $ABC$ și $ABD$ sunt triunghiuri echilaterale congruente cu latura de $20\text{ cm}$.
  $M$ fiind mijlocul lui $AB$, $CM$ și $DM$ sunt înălțimi în aceste triunghiuri:
  $$CM=DM=\frac{20\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)
• Triunghiul $CMD$ este isoscel cu $CM=DM=10\sqrt{3}\text{ cm}$, iar $N$ este mijlocul bazei $CD=20\text{ cm}$, deci $CN=10\text{ cm}$ și $MN\perp CD$.
  Aplicând teorema lui Pitagora în $△MNC$:
  $$MN=\sqrt{C{M}^2-C{N}^2}=\sqrt{(10\sqrt{3}{)}^2-10^2}=\sqrt{300-100}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}\text{ cm}$$ (1p)

b)

• Fie $P$ mijlocul muchiei $BC$. În triunghiul $BCD$, $P$ este mijlocul lui $BC$ și $N$ este mijlocul lui $CD$, deci $PN$ este linie mijlocie:
  $$PN\parallel BD\text{și}PN=\frac{BD}{2}=\frac{20}{2}=10\text{ cm}$$
  Deoarece $PN\parallel BD$, unghiul format de dreptele $MN$ și $BD$ este egal cu măsura unghiului dintre $MN$ și $PN$, adică $\sphericalangle (MN,BD)=\sphericalangle (MN,PN)=\sphericalangle MNP$. (1p)
• În triunghiul $ABC$, $M$ este mijlocul lui $AB$ și $P$ este mijlocul lui $BC$, deci $MP$ este linie mijlocie:
  $$MP=\frac{AC}{2}=\frac{20}{2}=10\text{ cm}$$
  Comparăm pătratele laturilor triunghiului $MPN$:
  $$M{P}^2+P{N}^2=10^2+10^2=100+100=200$$
  $$M{N}^2=(10\sqrt{2}{)}^2=200$$
  Deoarece $M{P}^2+P{N}^2=M{N}^2$, conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul $MPN$ este dreptunghic în $P$, cu $\sphericalangle MPN=90^{\circ }$. (1p)
• Cum $MP=PN=10\text{ cm}$, triunghiul $MPN$ este dreptunghic isoscel, deci:
  $$\sphericalangle MNP=45^{\circ }$$
  Astfel, măsura unghiului dintre dreptele $MN$ și $BD$ este de $45^{\circ }$. (1p)

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI a VIII-a

Anul școlar 2024 – 2025

Matematică

Simulare națională

---

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $25-2\cdot 5$ este egal cu:

• a) $10$
• b) $15$
• c) $35$
• d) $115$

5p 2. Numărul care reprezintă $10\%$ din $50$ este egal cu:

• a) $40$
• b) $10$
• c) $5$
• d) $1$

5p 3. Într-o zi, dimineața, temperatura aerului a fost de $-1^{\circ }\text{C}$, iar la prânz a fost de $+2^{\circ }\text{C}$. În acea zi, temperatura măsurată la prânz a fost mai mare decât temperatura măsurată dimineața cu:

• a) $-3^{\circ }\text{C}$
• b) $-1^{\circ }\text{C}$
• c) $1^{\circ }\text{C}$
• d) $3^{\circ }\text{C}$

5p 4. Soluția ecuației $x+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$ este:

• a) $\frac{1}{6}$
• b) $\frac{1}{4}$
• c) $\frac{1}{2}$
• d) $\frac{3}{4}$

5p 5. Patru elevi, Andreea, Iris, Mihai și Radu, calculează media aritmetică a numerelor $a=4-\sqrt{2}$ și $b=4+\sqrt{2}$. Rezultatele calculelor făcute de cei patru elevi sunt evidențiate în tabelul de mai jos:

Andreea	Iris	Mihai	Radu
$4$	$\sqrt{2}$	$2$	$\sqrt{14}$

Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media aritmetică a numerelor $a$ și $b$ este:

• a) Andreea
• b) Iris
• c) Mihai
• d) Radu

5p 6. În diagrama de mai jos sunt prezentate informații despre numărul de elevi care au făcut opțiuni pentru practicarea sporturilor de tip fotbal, baschet, tenis și șah, în cadrul unui club sportiv școlar.

[Figura: Diagramă cu bare verticale reprezentând numărul de elevi pentru fiecare sport: Fotbal – 40, Baschet – 25, Tenis – 35, Șah – 45]

Afirmația „Conform informațiilor din diagramă, în acest club sportiv școlar, numărul elevilor care au făcut opțiuni pentru practicarea fotbalului este egal cu numărul elevilor care au făcut opțiuni pentru practicarea șahului.” este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte și coliniare $A$, $B$, $C$ și $D$, în această ordine. Segmentele $AB$, $BC$ și $CD$ sunt congruente, iar lungimea segmentului $AD$ este egală cu $24\text{ cm}$. Lungimea segmentului $CD$ este egală cu:

[Figura: Punctele coliniare $A,B,C,D$ pe o dreaptă, cu $AB=BC=CD$]

• a) $4\text{ cm}$
• b) $6\text{ cm}$
• c) $8\text{ cm}$
• d) $12\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente suplementare $AOB$ și $BOC$. Știind că $\sphericalangle BOC=60^{\circ }$ și că semidreapta $OD$ este opusă semidreptei $OB$, măsura unghiului $DOC$ este egală cu:

[Figura: Unghiurile adiacente suplementare $AOB$ și $BOC$, cu dreapta formată de semidreptele opuse $OB$ și $OD$]

• a) $160^{\circ }$
• b) $120^{\circ }$
• c) $60^{\circ }$
• d) $30^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$. Semidreapta $BE$ este bisectoarea unghiului $ABC$ și punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$. Dreptele $AD$ și $BE$ se intersectează în punctul $P$. Măsura unghiului $DPE$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul echilateral $ABC$ cu bisectoarea/înălțimea $BE$, mediana/înălțimea $AD$, intersectate în $P$]

• a) $30^{\circ }$
• b) $60^{\circ }$
• c) $120^{\circ }$
• d) $150^{\circ }$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul isoscel $ABCD$, cu $AB\parallel CD$, $CD=40\text{ cm}$ și $AB=100\text{ cm}$. Lungimea liniei mijlocii a trapezului $ABCD$ este egală cu:

[Figura: Trapezul isoscel $ABCD$ cu baza mică $CD$ și baza mare $AB$]

• a) $20\text{ cm}$
• b) $50\text{ cm}$
• c) $70\text{ cm}$
• d) $140\text{ cm}$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul de centru $O$. Punctele $A$ și $B$ sunt situate pe cerc, astfel încât măsura unghiului $AOB$ este egală cu $60^{\circ }$ și $AB=12\text{ cm}$. Aria discului de centru $O$ și rază $OA$ este egală cu:

[Figura: Cercul de centru $O$ cu coarda $AB$ și triunghiul $OAB$]

• a) $288\pi {\text{ cm}}^2$
• b) $144\pi {\text{ cm}}^2$
• c) $36\pi {\text{ cm}}^2$
• d) $24\pi {\text{ cm}}^2$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCDEFGH$. Lungimea segmentului $EG$ este egală cu $4\sqrt{2}\text{ cm}$. Suma lungimilor tuturor muchiilor cubului este egală cu:

[Figura: Cubul $ABCDEFGH$ cu diagonala feței superioare $EG$ desenată punctat/continuu]

• a) $96\text{ cm}$
• b) $72\text{ cm}$
• c) $48\text{ cm}$
• d) $16\text{ cm}$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Un bunic dorește să împartă suma de $126$ de lei celor trei nepoți ai săi: Ana, Bogdan și Costin. Ana va primi jumătate din suma pe care o vor primi împreună Bogdan și Costin.

• (2p) a) Verifică dacă Ana poate primi de la bunicul ei $40$ de lei. Justifică răspunsul dat.
• (3p) b) Determină suma pe care o va primi Bogdan de la bunicul său, știind că este cu $10\%$ mai mare decât suma pe care o va primi Costin de la bunicul său.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{x-1}{x+1}+\frac{x+1}{x-1}-2\right):\frac{4}{x^2+x-2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne -2$, $x\ne -1$ și $x\ne 1$.

• (2p) a) Arată că $(x-1)(x+2)=x^2+x-2$, pentru orice număr real $x$.
• (3p) b) Arată că numărul $N=\sqrt{E(2)\cdot E(3)\cdot \cdots \cdot E(9)\cdot E(10)}$ este natural.

5p 3. În sistemul de axe ortogonale $xOy$ se consideră punctele $A(2,0)$ și $B(6,3)$.

• (2p) a) Arată că $AB=5$.
• (3p) b) Calculează distanța de la punctul $M(5,0)$ la dreapta $AB$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat pătratul $ABCD$, cu $AB=10\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AD$ și punctul $N$ este proiecția punctului $B$ pe dreapta $CM$.

[Figura: Pătratul $ABCD$ cu $M$ mijlocul lui $AD$, segmentul $CM$, segmentul $BN\perp CM$, și segmentele $AM,MN,AN$ formând triunghiul $MAN$]

• (2p) a) Arată că aria triunghiului $MBC$ este egală cu $50{\text{ cm}}^2$.
• (3p) b) Arată că perimetrul triunghiului $MAN$ este mai mic decât $22\text{ cm}$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $AB=9\text{ cm}$ și $AC=12\text{ cm}$. Punctul $M$ se află pe latura $AB$, $BM=3\text{ cm}$. Paralela prin $M$ la dreapta $AC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $P$, punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$ și $E$ este punctul de intersecție a dreptelor $AG$ și $BC$.

[Figura: Triunghiul dreptunghic $ABC$ cu $M\in AB$, $MP\parallel AC$ cu $P\in BC$, mediana $AE$ intersectând $MP$ și conținând centrul de greutate $G$]

• (2p) a) Arată că lungimea segmentului $BC$ este egală cu $15\text{ cm}$.
• (3p) b) Calculează aria patrulaterului $MGEP$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $ABCD$, cu $AB=20\text{ cm}$, iar punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $AB$, respectiv $CD$.

[Figura: Tetraedrul regulat $ABCD$ cu mijlocul $M$ al muchiei $AB$ și mijlocul $N$ al muchiei $CD$, unite prin segmentul $MN$]

• (2p) a) Arată că lungimea segmentului $MN$ este egală cu $10\sqrt{2}\text{ cm}$.
• (3p) b) Determină măsura unghiului dreptelor $MN$ și $BD$.