Evaluare Națională 2022, matematică: test de antrenament 5

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: d)

• Divizorii naturali ai numărului $75$ sunt $1,3,5,15,25,75$.
• Dintre variantele date, doar $5$ este divizor al numărului $75$ ($75:5=15$).

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: a)

• Efectuăm împărțirea: $1,5:2=\frac{15}{10}\cdot \frac{1}{2}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}=0,75$.

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: b)

• Numărul total de cazuri posibile este egal cu numărul de elemente ale mulțimii $A$, adică $7$.
• Numerele pare din mulțimea $A$ sunt: $0,2,4,6$, deci sunt $4$ cazuri favorabile.
• Probabilitatea este $P=\frac{\text{numa˘r cazuri favorabile}}{\text{numa˘r cazuri posibile}}=\frac{4}{7}$.

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: c)

• Introducem factorul sub radical: $2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\cdot 3}=\sqrt{12}$.
• Deoarece $9<12<16$, avem $3<\sqrt{12}<4$, adică $3<2\sqrt{3}<4$.
• Înmulțind cu $-1$, sensul inegalităților se schimbă: $-4<-2\sqrt{3}<-3$.
• Așadar, $-2\sqrt{3}\in (-4,-3)$.

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: c)

• Conform teoremei împărțirii cu rest: $n=3\cdot 4+r$, unde $r\in \{0,1,2\}$.
• Numerele naturale căutate sunt:
  • Pentru $r=0⟹n_1=12$;
  • Pentru $r=1⟹n_2=13$;
  • Pentru $r=2⟹n_3=14$.
• Suma lor este $S=12+13+14=39$.
• Elevul care a obținut $39$ este Mihai.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: a)

• Reducerea de $20\%$ din prețul de $40$ lei este: $\frac{20}{100}\cdot 40=8$ lei.
• Noul preț al stiloului ar fi fost: $40-8=32$ lei.
• Prețul pentru $4$ stilouri la noul preț: $4\cdot 32=128$ lei.
• Prin urmare, afirmația lui Matei este adevărată.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: d)

• Fie lungimea $AB=x$.
• Punctul $B$ este mijlocul lui $AC⟹BC=AB=x$, deci $AC=2x$.
• Punctul $C$ este mijlocul lui $AD⟹CD=AC=2x$, deci $AD=4x$.
• Punctul $D$ este mijlocul lui $AE⟹DE=AD=4x$, deci $AE=8x$.
• Calculăm lungimea segmentului $BD$: $BD=BC+CD=x+2x=3x$.
• Raportul cerut este $\frac{BD}{AE}=\frac{3x}{8x}=\frac{3}{8}$.

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: b)

• Dreapta $d$ formează cu dreapta $a$ un unghi de $32^{\circ }$.
• Unghiul suplementar unghiului de $140^{\circ }$ format de secanta $d$ cu dreapta $b$ este $180^{\circ }-140^{\circ }=40^{\circ }$.
• În triunghiul format de dreptele $a$, $b$ și $d$, unghiul exterior este egal cu suma unghiurilor interioare nealăturate sau suma unghiurilor este $180^{\circ }$.
• Măsura unghiului dintre dreptele $a$ și $b$ este $40^{\circ }-32^{\circ }=8^{\circ }$ (respectiv $180^{\circ }-(140^{\circ }+32^{\circ })=8^{\circ }$).

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: d)

• Punctul $G$ fiind centrul de greutate al triunghiului $ABC$, iar $D\in AC$ astfel încât $BG\cap AC=\{D\}$, rezultă că $BD$ este mediană, deci $D$ este mijlocul lui $AC$.
• Lungimea segmentului $DC$ este $DC=\frac{AC}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$.
• Centrul de greutate se află la două treimi de vârf și o treime de bază: $\frac{DG}{DB}=\frac{1}{3}$.
• În triunghiul $DBC$, deoarece $GE\parallel BC$, conform teoremei lui Thales:
  $$\frac{DE}{DC}=\frac{DG}{DB}=\frac{1}{3}⟹DE=\frac{DC}{3}=\frac{3}{3}=1\text{ cm}.$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: b)

• Punctul $O$ este mijlocul lui $AC$, iar $PO\perp AC$, ceea ce înseamnă că dreapta $PO$ este mediatoarea segmentului $AC$.
• Deoarece orice punct de pe mediatoare este egal depărtat de capetele segmentului, avem $PC=AP=3\text{ cm}$.
• În dreptunghiul $ABCD$, $AD=BC=\sqrt{5}\text{ cm}$, iar unghiul $\angle ADC=90^{\circ }$.
• În triunghiul dreptunghic $ADP$, aplicând teorema lui Pitagora:
  $$DP=\sqrt{A{P}^2-A{D}^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{5}{)}^2}=\sqrt{9-5}=\sqrt{4}=2\text{ cm}.$$
• Lungimea laturii $DC$ este $DC=DP+PC=2+3=5\text{ cm}$.
• Laturile opuse în dreptunghi sunt egale: $AB=DC=5\text{ cm}$.

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: c)

• Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu vârfurile pe cercul circumscris, deci ipotenuza $BC$ este diametru al cercului.
• Punctul $P$ se află pe cerc, deci triunghiul $BPC$ este înscris într-un semicerc.
• Rezultă că unghiul $\angle BPC$ este drept, având măsura de $90^{\circ }$.

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: a)

• Tetraedrul regulat are $4$ fețe reprezentate de triunghiuri echilaterale congruente cu latura de lungime $l=6\text{ cm}$.
• Aria unei fețe este ${\mathcal{A}}_f=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}$.
• Aria totală a tetraedrului regulat este:
  $${\mathcal{A}}_t=4\cdot \frac{l^2\sqrt{3}}{4}=l^2\sqrt{3}=6^2\sqrt{3}=36\sqrt{3}{\text{ cm}}^2.$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)

• Dacă $\overline{ac}=18$, atunci cifra zecilor este $a=1$ și cifra unităților este $c=8$. (1p)
• Conform relației din enunț, $\overline{abc}=6\cdot \overline{ac}+5=6\cdot 18+5=108+5=113$, de unde rezultă cifra unităților $c=3$.
• Deoarece am obținut $c=3$, în contradicție cu $c=8$, deducem că nu este posibil ca numărul natural $\overline{ac}$ să fie egal cu $18$. (1p)

b)

• Din teorema împărțirii cu rest: $\overline{abc}=6\cdot \overline{ac}+5$, cu condiția de rest $5<\overline{ac}$. (1p)
• Scriem numerele în baza $10$:
  $$100a+10b+c=6(10a+c)+5⟹100a+10b+c=60a+6c+5$$
  $$40a+10b=5c+5$$
• Împărțind prin $5$, obținem relația: $8a+2b=c+1$. (1p)
• Deoarece $c$ este cifră, avem $c\le 9⟹c+1\le 10$, deci $8a+2b\le 10$.
• Cum $a\ge 1$, singura valoare posibilă pentru $a$ este $a=1$:
  • Dacă $a=1$ și $b=0$, obținem $8\cdot 1+2\cdot 0=c+1⟹c+1=8⟹c=7$, ceea ce dă numărul $\overline{abc}=107$ (cu $\overline{ac}=17>5$, verifică: $107=6\cdot 17+5$).
  • Dacă $a=1$ și $b=1$, obținem $8\cdot 1+2\cdot 1=c+1⟹c+1=10⟹c=9$, ceea ce dă numărul $\overline{abc}=119$ (cu $\overline{ac}=19>5$, verifică: $119=6\cdot 19+5$).
• Așadar, numerele căutate sunt $107$ și $119$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)

• Folosim formula diferenței de pătrate $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$:
  $$E(x)=[(5x+3)-(3x+4)][(5x+3)+(3x+4)]$$ (1p)
  $$E(x)=(5x+3-3x-4)(5x+3+3x+4)=(2x-1)(8x+7),$$ pentru orice număr real $x$. (1p)

b)

• Dacă numărul natural $n$ nu este divizibil cu $3$, restul împărțirii lui $n$ la $3$ poate fi $1$ sau $2$. Deci $n=3k+1$ sau $n=3k+2$, unde $k\in \mathbb{N}$. (1p)
• Cazul I: $n=3k+1$:
  $$8n+7=8(3k+1)+7=24k+8+7=24k+15=3(8k+5),$$
  care este divizibil cu $3$, deci $E(n)=(2n-1)(8n+7)$ este divizibil cu $3$. (1p)
• Cazul II: $n=3k+2$:
  $$2n-1=2(3k+2)-1=6k+4-1=6k+3=3(2k+1),$$
  care este divizibil cu $3$, deci $E(n)$ este divizibil cu $3$. (1p)
• În ambele cazuri, $E(n)$ este divizibil cu $3$.

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)

• Calculăm valorile funcției în cele două puncte:
  $$f(-\sqrt{5})=-\sqrt{5}+3=3-\sqrt{5}$$ (1p)
  $$f(\sqrt{5})=\sqrt{5}+3=3+\sqrt{5}$$
• Produsul lor este:
  $$f(\sqrt{5})\cdot f(-\sqrt{5})=(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})=3^2-(\sqrt{5}{)}^2=9-5=4.$$ (1p)

b)

• Simetricul punctului $A(-3,-6)$ față de originea $O(0,0)$ este punctul $B(x_B,y_B)$ astfel încât $O$ este mijlocul segmentului $AB$. (1p)
• Coordonatele mijlocului sunt $x_O=\frac{x_A+x_B}{2}$ și $y_O=\frac{y_A+y_B}{2}$, prin urmare:
  $$0=\frac{-3+x_B}{2}⟹x_B=3$$
  $$0=\frac{-6+y_B}{2}⟹y_B=6,$$
  deci simetricul este punctul $B(3,6)$. (1p)
• Verificăm dacă $B(3,6)$ aparține graficului funcției $f$:
  $$f(3)=3+3=6=y_B,$$
  ceea ce demonstrează că punctul $B$ aparține reprezentării grafice a funcției $f$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)

• Fie $T$ intersecția dreptelor $QP$ și $AB$ ($QP\cap AB=\{T\}$). Deoarece $ABCD$ și $MPQD$ sunt pătrate, avem $AD\perp CD$ și $PQ\perp CD$, deci $PQ\parallel AD$.
• Patrulaterul $ATPM$ are unghiurile drepte, deci este dreptunghi $⟹TP=AM=2\text{ cm}$.
• De asemenea, $TBCQ$ este dreptunghi, deci $TB=QC=CD-QD=AD-MD=AM=2\text{ cm}$. (1p)
• În triunghiul $BTP$, dreptunghic în $T$, aplicăm teorema lui Pitagora:
  $$PB=\sqrt{B{T}^2+P{T}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\text{ cm}.$$ (1p)

b)

• Fie $\{S\}=AQ\cap DP$ și $\{V\}=CM\cap DP$.
• În triunghiul $DSA$, deoarece $PQ\parallel AD$, conform teoremei fundamentale a asemănării:
  $$△PSQ\sim △DSA⟹\frac{PS}{SD}=\frac{PQ}{AD}$$ (1p)
• În triunghiul $CVD$, deoarece $MP\parallel CD$, conform teoremei fundamentale a asemănării:
  $$△MVP\sim △CVD⟹\frac{PV}{VD}=\frac{MP}{DC}$$ (1p)
• Deoarece $MPQD$ este pătrat, $PQ=MP$, iar $ABCD$ este pătrat, deci $AD=DC$. Rezultă că:
  $$\frac{PQ}{AD}=\frac{MP}{DC}⟹\frac{PS}{SD}=\frac{PV}{VD}$$
• Punctele $S$ și $V$ se află pe segmentul $DP$ și îl împart în același raport, deci $S=V$. Deducem că dreptele $AQ$, $CM$ și $DP$ sunt concurente. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)

• Triunghiul $ABC$ fiind echilateral, $AB=BC=AC=AD+DC=2+4=6\text{ cm}$. (1p)
• Triunghiul $EDC$ este dreptunghic în $D$, cu $\angle C=60^{\circ }$, deci $\angle DEC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$.
• Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$, cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză: $DC=\frac{EC}{2}⟹EC=2\cdot DC=2\cdot 4=8\text{ cm}$.
• Deoarece $B\in [EC]$, avem $EB=EC-BC=8-6=2\text{ cm}$. (1p)

b)

• În triunghiul $ADF$, unghiul $\angle ADF=90^{\circ }$ (deoarece $ED\perp AC$) și $\angle A=60^{\circ }$, deci $\angle AFD=30^{\circ }$.
• Rezultă $AF=2\cdot AD=2\cdot 2=4\text{ cm}$, de unde $BF=AB-AF=6-4=2\text{ cm}$. (1p)
• Fie $Q$ proiecția punctului $F$ pe $BC$ ($FQ\perp BC$, $Q\in BC$). În triunghiul dreptunghic $FBQ$ cu $\angle FBQ=60^{\circ }$:
  $$BQ=BF\cdot \cos 60^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}=1\text{ cm}$$
  $$FQ=BF\cdot \sin 60^{\circ }=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\text{ cm}$$
• Lungimea segmentului $QC$ este $QC=BC-BQ=6-1=5\text{ cm}$.
• În triunghiul dreptunghic $FQC$, aplicând teorema lui Pitagora:
  $$FC=\sqrt{F{Q}^2+Q{C}^2}=\sqrt{(\sqrt{3}{)}^2+5^2}=\sqrt{3+25}=\sqrt{28}=2\sqrt{7}\text{ cm}.$$ (1p)
• Exprimăm aria triunghiului $EFC$ în două moduri:
  $${\mathcal{A}}_{EFC}=\frac{EC\cdot FQ}{2}=\frac{8\cdot \sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$
  $${\mathcal{A}}_{EFC}=\frac{FC\cdot d(E,CF)}{2}$$
• Egalând cele două expresii:
  $$d(E,CF)=\frac{2\cdot {\mathcal{A}}_{EFC}}{FC}=\frac{8\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{4\sqrt{21}}{7}\text{ cm}.$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)

• Fie $a$ lungimea muchiei cubului, deci $AD=DC=C{C}^{\prime }=a$.
• Punctul $P$ este mijlocul segmentului $AD⟹PD=\frac{a}{2}$.
• În triunghiul $PDC$, dreptunghic în $D$, aplicăm teorema lui Pitagora:
  $$P{C}^2=P{D}^2+D{C}^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2+a^2=\frac{a^2}{4}+a^2=\frac{5a^2}{4}.$$
• Punctul $M$ este mijlocul segmentului $C{C}^{\prime }⟹MC=\frac{a}{2}$. Deoarece $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$, avem $MC\perp PC$, deci triunghiul $MCP$ este dreptunghic în $C$.
• Aplicând teorema lui Pitagora în $△MCP$:
  $$M{P}^2=M{C}^2+P{C}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{5a^2}{4}=\frac{6a^2}{4}=\frac{3a^2}{2}.$$ (1p)
• Știind că $MP=2\sqrt{6}\text{ cm}⟹M{P}^2=(2\sqrt{6}{)}^2=24$:
  $$\frac{6a^2}{4}=24⟹6a^2=96⟹a^2=16⟹a=4\text{ cm},$$
  deci $AB=4\text{ cm}$. (1p)

b)

• Planele fețelor opuse ale cubului sunt paralele: $(AB{B}^{\prime })\parallel (DC{C}^{\prime })$, prin urmare unghiul format de o dreaptă cu planul $(AB{B}^{\prime })$ este congruent cu unghiul format de aceeași dreaptă cu planul $(DC{C}^{\prime })$:
  $$\sphericalangle (MP,(AB{B}^{\prime }))=\sphericalangle (MP,(DC{C}^{\prime })).$$ (1p)
• Pentru a găsi proiecția dreptei $MP$ pe planul $(DC{C}^{\prime })$:
  • $M\in (DC{C}^{\prime })$, deci proiecția lui $M$ este $M$;
  • $PD\perp AD$ și în cub $PD\perp D{D}^{\prime }$, $PD\perp DC$, cu $D{D}^{\prime }\cap DC=\{D\}$, rezultă că $PD\perp (DC{C}^{\prime })$, deci proiecția punctului $P$ pe planul $(DC{C}^{\prime })$ este punctul $D$. (1p)
• Rezultă că proiecția segmentului $MP$ pe planul $(DC{C}^{\prime })$ este segmentul $MD$, iar unghiul căutat este $\angle PMD$.
• Triunghiul $PDM$ este dreptunghic în $D$ (deoarece $PD\perp (DC{C}^{\prime })$ și $MD\subset (DC{C}^{\prime })$).
• Sinusul unghiului căutat este:
  $$\sin (\sphericalangle (MP,(AB{B}^{\prime })))=\sin (\angle PMD)=\frac{PD}{MP}=\frac{2}{2\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{6}.$$ (1p)

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI a VIII-a

Anul școlar 2021 – 2022

Matematică

Testul 5

---

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Un divizor al numărului $75$ este:

• a) $150$
• b) $12$
• c) $7$
• d) $5$

5p 2. Rezultatul calculului $1,5:2$ este egal cu:

• a) $0,75$
• b) $2,25$
• c) $3$
• d) $75$

5p 3. Probabilitatea ca, alegând la întâmplare un element al mulțimii $A=\{0,1,2,3,4,5,6\}$, acesta să fie număr par este egală cu:

• a) $\frac{3}{7}$
• b) $\frac{4}{7}$
• c) $\frac{7}{4}$
• d) $\frac{7}{3}$

5p 4. Numărul real $-2\sqrt{3}$ aparține intervalului:

• a) $(-3,4)$
• b) $(3,4)$
• c) $(-4,-3)$
• d) $(-3,-2)$

5p 5. Patru elevi, Alin, Cristina, Mihai și Dana, calculează suma tuturor numerelor naturale care împărțite la $3$ dau câtul $4$ și obțin rezultatele înregistrate în tabelul următor:

Alin	Cristina	Mihai	Dana
$54$	$42$	$39$	$12$

Conform informațiilor din tabel, dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect suma numerelor este:

• a) Alin
• b) Cristina
• c) Mihai
• d) Dana

5p 6. Prețul unui stilou este $40$ lei. Matei afirmă: „Dacă prețul stiloului ar fi fost cu $20\%$ mai mic, atunci cu $128$ lei aș fi putut cumpăra $4$ stilouri de același fel.”. Afirmația lui Matei este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată, punctele $A,B,C,D$ și $E$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$, punctul $C$ este mijlocul segmentului $AD$ și punctul $D$ este mijlocul segmentului $AE$. Raportul $\frac{BD}{AE}$ este egal cu:

[Figura: Segmentul de dreaptă cu punctele coliniare A, B, C, D, E]

• a) $\frac{1}{2}$
• b) $\frac{3}{7}$
• c) $\frac{2}{5}$
• d) $\frac{3}{8}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate într-un plan, dreptele $a$ și $b$ intersectate de dreapta $d$, fiind evidențiate măsurile a două unghiuri de $32^{\circ }$ și, respectiv de $140^{\circ }$. Unghiul dintre dreptele $a$ și $b$ este egal cu:

[Figura: Dreptele a și b tăiate de o secantă d, cu unghiurile de 32° și 140° marcate]

• a) $0^{\circ }$
• b) $8^{\circ }$
• c) $90^{\circ }$
• d) $172^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu $AC=6\text{ cm}$. Punctul $G$ este centrul de greutate al triunghiului $ABC$, $BG\cap AC=\{D\}$ și $GE\parallel BC$, $E\in AC$. Lungimea segmentului $DE$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul ABC cu mediana BD, centrul de greutate G și paralela GE la BC]

• a) $4\text{ cm}$
• b) $3\text{ cm}$
• c) $2\text{ cm}$
• d) $1\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$. Punctul $O$ este mijlocul diagonalei $AC$, iar punctul $P$ se află pe latura $DC$, astfel încât dreptele $PO$ și $AC$ sunt perpendiculare. Dacă $AP=3\text{ cm}$ și $BC=\sqrt{5}\text{ cm}$, atunci lungimea segmentului $AB$ este egală cu:

[Figura: Dreptunghiul ABCD cu diagonala AC, mijlocul O și segmentul PO perpendicular pe AC, cu P pe DC]

• a) $3\text{ cm}$
• b) $5\text{ cm}$
• c) $3\sqrt{5}\text{ cm}$
• d) $2\sqrt{14}\text{ cm}$

5p 5. În figura alăturată, punctele $A,B$ și $C$ se află pe un cerc și sunt vârfurile unui triunghi dreptunghic în $A$. Dacă punctul $M$ se află pe latura $BC$ și dreapta $AM$ intersectează a doua oară cercul în punctul $P$, atunci măsura unghiului $BPC$ este egală cu:

[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC înscris într-un cerc, dreapta AM care intersectează cercul în P]

• a) $30^{\circ }$
• b) $60^{\circ }$
• c) $90^{\circ }$
• d) $120^{\circ }$

5p 6. Muchia $AB$ a tetraedrului regulat $ABCD$ este egală cu $6\text{ cm}$. Aria totală a tetraedrului regulat $ABCD$ este egală cu:

[Figura: Tetraedrul regulat ABCD]

• a) $36\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
• b) $27\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$
• c) $36{\text{ cm}}^2$
• d) $18{\text{ cm}}^2$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Dacă împărțim numărul $\overline{abc}$, scris în baza $10$, la numărul $\overline{ac}$ obținem câtul $6$ și restul $5$.

• (2p) a) Este posibil ca numărul $\overline{ac}$ să fie egal cu $18$? Justifică răspunsul dat.
• (3p) b) Determină numerele $\overline{abc}$.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=(5x+3{)}^2-(3x+4{)}^2$, unde $x$ este număr real.

• (2p) a) Arată că $E(x)=(2x-1)(8x+7)$, pentru orice număr real $x$.
• (3p) b) Dacă numărul natural $n$ nu este divizibil cu $3$, atunci arată că $E(n)$ este divizibil cu $3$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+3$.

• (2p) a) Arată că $f(\sqrt{5})\cdot f(-\sqrt{5})=4$.
• (3p) b) Arată că simetricul punctului $A(-3,-6)$ față de originea $O(0,0)$ a sistemului de axe ortogonale $xOy$ aparține reprezentării grafice a funcției $f$.

5p 4. În figura alăturată sunt reprezentate pătratele $ABCD$ și $MPQD$. Punctul $Q$ se află pe latura $CD$ și $AM=2\text{ cm}$.

[Figura: Pătratul ABCD în interiorul căruia este poziționat pătratul MPQD cu Q pe CD și M pe AD, plus segmentul PB]

• (2p) a) Arată că $PB=2\sqrt{2}\text{ cm}$.
• (3p) b) Demonstrează că dreptele $AQ$, $CM$ și $DP$ sunt concurente.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$. Punctul $D$ se află pe latura $AC$ astfel încât $AD=2\text{ cm}$ și $DC=4\text{ cm}$ iar punctul $E$ se află pe dreapta $BC$ astfel încât dreptele $ED$ și $AC$ sunt perpendiculare.

[Figura: Triunghiul echilateral ABC cu punctul D pe AC, E pe prelungirea lui CB astfel încât ED perpendicular pe AC, și F intersecția dintre ED și AB]

• (2p) a) Arată că $EB=2\text{ cm}$.
• (3p) b) Calculează distanța de la punctul $E$ la dreapta $CF$, unde $\{F\}=ED\cap AB$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $C{C}^{\prime }$, punctul $P$ este mijlocul segmentului $AD$ și $MP=2\sqrt{6}\text{ cm}$.

[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu punctul P pe AD, M pe CC' și segmentul MP trasat punctat]

• (2p) a) Arată că $AB=4\text{ cm}$.
• (3p) b) Arată că sinusul unghiului dintre dreapta $MP$ și planul $(AB{B}^{\prime })$ este egal cu $\frac{\sqrt{6}}{6}$.