Evaluare Națională 2022, matematică: test de antrenament 3

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: c)

Efectuăm operațiile respectând ordinea acestora (mai întâi înmulțirea din paranteză, apoi adunarea din paranteză, iar la final înmulțirea):
$$5\cdot (3+2\cdot 4)=5\cdot (3+8)=5\cdot 11=55$$

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: d)

Calculăm procentul din număr:
$$10\%\text{ din }300=\frac{10}{100}\cdot 300=10\cdot 3=30$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: c)

Descompunem numerele în factori primi:
$$20=2^2\cdot 5$$
$$24=2^3\cdot 3$$
Cel mai mic multiplu comun $[20,24]$ se obține luând factorii primi comuni și necomuni la puterea cea mai mare:
$$[20,24]=2^3\cdot 3\cdot 5=8\cdot 3\cdot 5=120$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: a)

Scriem elementele mulțimii sub formă zecimală pentru a le compara ușor:

• $\frac{33}{10}=3,3$
• $\frac{5}{2}=2,5$
• $\frac{3}{5}=0,6$
• $3=3,0$

Comparând valorile: $0,6<2,5<3,0<3,3$.
Cel mai mare număr din mulțime este $\frac{33}{10}$.

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: a)

Media aritmetică a celor trei numere este:
$$m_a=\frac{4\sqrt{3}+5\sqrt{3}+(-3\sqrt{3})}{3}=\frac{(4+5-3)\sqrt{3}}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$$

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: b)

Fie $A$ vârsta Anei și $M$ vârsta lui Matei. Știm că $A+M=15$ ani.
Peste $3$ ani, vârstele lor vor fi $A+3$ și $M+3$.
Suma vârstelor peste $3$ ani va fi:
$$(A+3)+(M+3)=(A+M)+6=15+6=21\text{ ani}$$
Cum $21\ne 18$, afirmația este falsă.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: d)

Fie $AB=BC=CD=x$.
Atunci:
$$BD=BC+CD=x+x=2x$$
$$AC=AB+BC=x+x=2x$$
Raportul cerut este:
$$\frac{BD}{AC}=\frac{2x}{2x}=1$$

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: c)

Semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle AOB$, deci:
$$\sphericalangle AOD=\sphericalangle DOB=\frac{\sphericalangle AOB}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$
Știm că $\sphericalangle AOD=2\cdot \sphericalangle AOC$, deci:
$$\sphericalangle AOC=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$$
Deoarece semidreapta $OC$ este în interiorul unghiului $AOD$:
$$\sphericalangle COD=\sphericalangle AOD-\sphericalangle AOC=60^{\circ }-30^{\circ }=30^{\circ }$$
Atunci măsura unghiului $COB$ este:
$$\sphericalangle COB=\sphericalangle COD+\sphericalangle DOB=30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: c)

Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $AB=AC$, iar $M$ este mijlocul bazei $BC$.
Rezultă că mediana $AM$ este și înălțime, deci $AM\perp BC$.
Avem $BM=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$.
În triunghiul dreptunghic $AMB$ ($m(\sphericalangle AMB)=90^{\circ }$), aplicăm teorema lui Pitagora:
$$AB=\sqrt{A{M}^2+B{M}^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\text{ cm}$$
Cum $AB=AC=5\text{ cm}$, perimetrul triunghiului $ABC$ este:
$$P_{ABC}=AB+AC+BC=5+5+6=16\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: d)

Fie lungimea $CD$ și lățimea $BC$ ale dreptunghiului. Aria dreptunghiului este:
$${\mathcal{A}}_{ABCD}=CD\cdot BC=24{\text{ cm}}^2$$
Punctul $P\in CD$ astfel încât $DP=3PC$. Avem:
$$CD=DP+PC=3PC+PC=4PC⟹PC=\frac{CD}{4}$$
Triunghiul $PBC$ este dreptunghic în $C$ ($BC\perp CD$), deci aria sa este:
$${\mathcal{A}}_{PBC}=\frac{PC\cdot BC}{2}=\frac{\frac{CD}{4}\cdot BC}{2}=\frac{CD\cdot BC}{8}=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}}{8}=\frac{24}{8}=3{\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: a)

Lungimea cercului este dată de formula $L=2\pi R=\pi \cdot d$, unde $d$ este diametrul cercului.
$$\pi \cdot d=24\pi ⟹d=24\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: c)

În triunghiul $ABC$, punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AC$, respectiv $BC$, prin urmare segmentul $MN$ este linie mijlocie.
Rezultă că $MN\parallel AB$.
Unghiul format de dreptele $MN$ și $VA$ este egal cu unghiul format de dreptele $AB$ și $VA$, adică $\sphericalangle VAB$.
Tetraedrul $VABC$ fiind regulat, toate fețele sunt triunghiuri echilaterale, inclusiv fața $VAB$, deci:
$$m(\sphericalangle VAB)=60^{\circ }$$
Astfel, măsura unghiului dintre $MN$ și $VA$ este $60^{\circ }$.

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)
Dacă prețul unui bilet pentru copii ar fi de $25$ de lei, atunci prețul unui bilet pentru un adult ar fi:
$$25:50\%=25:0,5=50\text{ lei}\text{(1p)}$$
Calculăm costul total pentru $3$ adulți și $6$ copii:
$$3\cdot 50+6\cdot 25=150+150=300\text{ lei}$$
Cum $300\ne 420$, obținem că nu este posibil ca prețul unui bilet pentru copii să fie de $25$ de lei. $\text{(1p)}$

b)
Notăm cu $x$ prețul unui bilet pentru adulți (în lei).
Prețul unui bilet pentru copii reprezintă $50\%$ din prețul biletului pentru adulți, adică $\frac{x}{2}$ lei. $\text{(1p)}$
Scriem ecuația corespunzătoare sumei totale plătite:
$$3x+6\cdot \frac{x}{2}=420⟺3x+3x=420⟺6x=420\text{(1p)}$$
$$x=\frac{420}{6}=70\text{ lei}$$
Deci prețul biletului pentru un adult este de $70$ de lei. $\text{(1p)}$

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)
Folosim formula de calcul prescurtat $(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$:
$$E(x)=(x^2+4x+4)-(x^2-4x+4)\text{(1p)}$$
$$E(x)=x^2+4x+4-x^2+4x-4=8x$$
pentru orice număr real $x$. $\text{(1p)}$

b)
Folosind rezultatul de la punctul a), avem:
$$A=E(n^2)+E(n)=8n^2+8n\text{(1p)}$$
Factorizăm expresia:
$$A=8n(n+1)\text{(1p)}$$
Pentru orice număr natural $n$, numerele $n$ și $n+1$ sunt două numere naturale consecutive, deci produsul lor $n(n+1)$ este un număr par (divizibil cu $2$):
$$n(n+1)=2k,k\in \mathbb{N}$$
Atunci:
$$A=8\cdot 2k=16k$$
Ceea ce arată că $A$ este divizibil cu $16$, adică $A$ este multiplu al lui $16$, pentru orice număr natural $n$. $\text{(1p)}$

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)
Determinăm două puncte care aparțin graficului funcției $f$:

• Pentru $x=0⟹f(0)=0-4=-4⟹A(0,-4)\in G_f$
• Pentru $y=0⟹f(x)=0⟹x-4=0⟹x=4⟹B(4,0)\in G_f$ $\text{(1p)}$

Reprezentăm punctele $A(0,-4)$ și $B(4,0)$ în sistemul cartezian $xOy$ și trasăm dreapta care trece prin ele, reprezentând graficul funcției $f$. $\text{(1p)}$

b)
Avem $f(a)=a-4$ și $f(4)=4-4=0$.
Inecuația devine:
$$1-f(a)\le f(4)⟺1-(a-4)\le 0\text{(1p)}$$
$$1-a+4\le 0⟺5-a\le 0⟺a\ge 5\text{(1p)}$$
Deci, mulțimea soluțiilor inecuației este:
$$S=[5,+\infty )\text{(1p)}$$

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)
Triunghiul $ABC$ este echilateral cu latura $AB=12\text{ cm}$. Perimetrul său este:
$$P_{ABC}=3\cdot AB=3\cdot 12=36\text{ cm}\text{(2p)}$$

b)
Punctul $S$ fiind mijlocul laturii $BC$ în triunghiul echilateral $ABC$, mediana $AS$ este și înălțime:
$$AS\perp BC\text{și}AS=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}\text{(1p)}$$
Fie $\{O\}=AC\cap BD$. Punctul $D$ este simetricul lui $B$ față de $AC$, deci $BD\perp AC$ și $BO=OD$.
În triunghiul echilateral $ABC$, înălțimea din $B$ pe $AC$ este și mediană, deci $O$ este mijlocul lui $AC$ ($AO=OC$).
Cum diagonalele $AC$ și $BD$ se înjumătățesc în $O$, patrulaterul $ABCD$ este paralelogram.
Deoarece $ABCD$ este paralelogram, avem $AD\parallel BC$ și $AD=BC=12\text{ cm}$.
Cum $AS\perp BC$ și $AD\parallel BC$, rezultă $AS\perp AD$.
În triunghiul dreptunghic $SAD$ ($m(\sphericalangle SAD)=90^{\circ }$):
$$SD=\sqrt{A{S}^2+A{D}^2}=\sqrt{(6\sqrt{3}{)}^2+12^2}=\sqrt{108+144}=\sqrt{252}=6\sqrt{7}\text{ cm}\text{(1p)}$$
Deoarece $SC\parallel AD$ (deoarece $S\in BC$ și $BC\parallel AD$), aplicăm teorema fundamentală a asemănării în triunghiul $QAD$:
$$\Delta QSC\sim \Delta QDA⟹\frac{SC}{AD}=\frac{SQ}{QD}$$
Cum $S$ este mijlocul lui $BC$, $SC=\frac{BC}{2}=6\text{ cm}$. Deci:
$$\frac{SQ}{QD}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}⟹QD=2SQ$$
Deoarece $Q\in SD$, avem $SD=SQ+QD=\frac{QD}{2}+QD=\frac{3QD}{2}$, de unde:
$$QD=\frac{2}{3}SD=\frac{2}{3}\cdot 6\sqrt{7}=4\sqrt{7}\text{ cm}\text{(1p)}$$

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)
În dreptunghiul $ABCD$, triunghiul $ABD$ este dreptunghic în $A$. Aplicăm teorema lui Pitagora:
$$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=\sqrt{20^2+15^2}=\sqrt{400+225}=\sqrt{625}=25\text{ cm}\text{(1p)}$$
Sinusul unghiului $ABD$ este:
$$\sin (\sphericalangle ABD)=\frac{AD}{BD}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}\text{(1p)}$$

b)
Avem $CD=AB=20\text{ cm}$. Deoarece $DE=FC=5\text{ cm}$, lungimea segmentului $EF$ este:
$$EF=CD-DE-FC=20-5-5=10\text{ cm}$$
Atunci $DF=DE+EF=5+10=15\text{ cm}$ și $EC=EF+FC=10+5=15\text{ cm}$.
În triunghiul dreptunghic $ADF$ ($m(\sphericalangle D)=90^{\circ }$), catetele sunt $AD=15\text{ cm}$ și $DF=15\text{ cm}$, deci triunghiul este dreptunghic isoscel, de unde $m(\sphericalangle AFD)=45^{\circ }$.
Analog, triunghiul $BCE$ este dreptunghic isoscel ($BC=EC=15\text{ cm}$), deci $m(\sphericalangle BEC)=45^{\circ }$.
Deoarece semidreapta $FE$ coincide cu $FD$ și semidreapta $EF$ coincide cu $EC$, unghiurile triunghiului $EIF$ sunt:
$$m(\sphericalangle IFE)=45^{\circ }\text{și}m(\sphericalangle IEF)=45^{\circ }$$
Rezultă că triunghiul $EIF$ este dreptunghic isoscel în $I$ ($m(\sphericalangle EIF)=90^{\circ }$). $\text{(1p)}$

Fie $S$ mijlocul segmentului $CD$. Atunci:
$$DS=SC=10\text{ cm}⟹ES=DS-DE=10-5=5\text{ cm}\text{și}FS=SC-FC=10-5=5\text{ cm}$$
Deci $S$ este și mijlocul segmentului $EF$.
În triunghiul dreptunghic isoscel $EIF$, $IS$ este mediană corespunzătoare ipotenuzei, deci $IS\perp EF$ și $IS=\frac{EF}{2}=\frac{10}{2}=5\text{ cm}$.
În triunghiul isoscel $COD$ ($OC=OD$), $S$ fiind mijlocul bazei $CD$, avem $OS\perp CD$.
Cum $IS\perp CD$ și $OS\perp CD$, rezultă că punctele $O$, $I$ și $S$ sunt coliniare. $\text{(1p)}$

În triunghiul $DBC$, punctul $O$ este mijlocul lui $BD$, iar $S$ este mijlocul lui $CD$, deci $OS$ este linie mijlocie:
$$OS=\frac{BC}{2}=\frac{15}{2}=7,5\text{ cm}$$
Deoarece $S,I,O$ sunt coliniare și $IS=5\text{ cm}<7,5\text{ cm}=OS$, punctul $I$ se află pe segmentul $OS$:
$$OI=OS-IS=7,5-5=2,5\text{ cm}\text{(1p)}$$

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)
Diagonala cubului este dată de relația $A{C}^{\prime }=l\sqrt{3}$, unde $l$ este lungimea muchiei cubului.
$$l\sqrt{3}=6\sqrt{3}⟹l=6\text{ cm}⟹AB=6\text{ cm}\text{(1p)}$$
Aria laterală a cubului este formată din aria celor $4$ fețe laterale:
$${\mathcal{A}}_l=4\cdot l^2=4\cdot 6^2=4\cdot 36=144{\text{ cm}}^2\text{(1p)}$$

b)
În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, fețele opuse $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ și $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ sunt paralele și congruente.
Segmentele $A^{\prime }{B}^{\prime }$ și $CD$ sunt paralele și de lungimi egale ($A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel CD$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }=CD$), prin urmare patrulaterul $A^{\prime }{B}^{\prime }CD$ este paralelogram. $\text{(1p)}$
Rezultă că $B^{\prime }C\parallel A^{\prime }D$.
Prin urmare, unghiul dintre dreptele $B^{\prime }C$ și $OB$ este egal cu unghiul dintre dreptele $A^{\prime }D$ și $OB$, adică $\sphericalangle (A^{\prime }D,OB)$. $\text{(1p)}$

Deoarece $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este cub:

• $BA\perp (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$
• Fața $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ este pătrat, iar diagonalele sale sunt perpendiculare: $AO\perp A^{\prime }D$, unde $\{O\}=A{D}^{\prime }\cap A^{\prime }D$
• Dreptele $AO,A^{\prime }D\subset (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$

Conform teoremei celor trei perpendiculare (sau deoarece $A^{\prime }D\perp BA$ și $A^{\prime }D\perp AO$, deci $A^{\prime }D\perp (BAO)$), rezultă că:
$$A^{\prime }D\perp BO$$
Astfel, unghiul format de dreapta $OB$ cu dreapta $A^{\prime }D$ are măsura de $90^{\circ }$.
Cum $B^{\prime }C\parallel A^{\prime }D$, măsura unghiului dintre dreptele $B^{\prime }C$ și $OB$ este egală cu $90^{\circ }$. $\text{(1p)}$

---

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI a VIII-a

Anul școlar 2021 – 2022
Matematică
Testul 3

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $5imes(3+2imes4)$ este egal cu:

• a) $23$
• b) $40$
• c) $55$
• d) $100$

5p 2. Numărul care reprezintă $10\%$ din $300$ este egal cu:

• a) $3$
• b) $9$
• c) $27$
• d) $30$

5p 3. Cel mai mic multiplu comun al numerelor $20$ și $24$ este egal cu:

• a) $4$
• b) $60$
• c) $120$
• d) $480$

5p 4. Cel mai mare număr din mulțimea $A=\left\{\frac{33}{10},\frac{5}{2},\frac{3}{5},3\right\}$ este:

• a) $\frac{33}{10}$
• b) $3$
• c) $\frac{5}{2}$
• d) $\frac{3}{5}$

5p 5. Media aritmetică a numerelor $4\sqrt{3}$, $5\sqrt{3}$ și $-3\sqrt{3}$ este egală cu:

• a) $2\sqrt{3}$
• b) $3\sqrt{3}$
• c) $4\sqrt{3}$
• d) $6\sqrt{6}$

5p 6. Suma dintre vârsta Anei și vârsta lui Matei este de $15$ ani. Afirmația „Peste $3$ ani suma vârstelor Anei și a lui Matei va fi egală cu $18$ ani.” este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată, $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt puncte coliniare, în această ordine, astfel încât $AB=BC=CD$.

[Figura: Segmentul AD împărțit prin punctele coliniare B și C în trei segmente egale AB, BC, CD]

Valoarea raportului $\frac{BD}{AC}$ este egală cu:

• a) $0,25$
• b) $0,5$
• c) $0,75$
• d) $1$

5p 2. În figura alăturată este reprezentat unghiul $AOB$ cu măsura de $120^{\circ }$. Semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $AOB$. Semidreapta $OC$ este situată în interiorul unghiului $AOD$, astfel încât măsura unghiului $AOD$ este de două ori mai mare decât măsura unghiului $AOC$. Măsura unghiului $COB$ este egală cu:

[Figura: Unghiul AOB, semidreapta OD interioară unghiului AOB și semidreapta OC situată în interiorul unghiului AOD]

• a) $30^{\circ }$
• b) $60^{\circ }$
• c) $90^{\circ }$
• d) $120^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu $AB=AC$ și $BC=6\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și $AM=4\text{ cm}$.

[Figura: Triunghiul isoscel ABC cu baza BC și mediana/înălțimea AM]

Perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu:

• a) $10\text{ cm}$
• b) $12\text{ cm}$
• c) $16\text{ cm}$
• d) $18\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu aria de $24{\text{ cm}}^2$. Punctul $P$ aparține laturii $CD$, astfel încât $DP=3PC$.

[Figura: Dreptunghiul ABCD cu punctul P situat pe latura CD]

Aria triunghiului $PBC$ este egală cu:

• a) $12{\text{ cm}}^2$
• b) $8{\text{ cm}}^2$
• c) $6{\text{ cm}}^2$
• d) $3{\text{ cm}}^2$

5p 5. Lungimea unui cerc este egală cu $24\pi \text{ cm}$. Diametrul cercului este egal cu:

• a) $24\text{ cm}$
• b) $18\text{ cm}$
• c) $12\text{ cm}$
• d) $6\text{ cm}$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat $VABC$. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $AC$, respectiv $BC$.

[Figura: Tetraedrul regulat VABC, M mijlocul lui AC și N mijlocul lui BC]

Măsura unghiului dreptelor $MN$ și $VA$ este egală cu:

• a) $30^{\circ }$
• b) $45^{\circ }$
• c) $60^{\circ }$
• d) $90^{\circ }$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Pentru a viziona un spectacol de teatru împreună cu familia, Ana cumpără trei bilete pentru adulți și șase bilete pentru copii, plătind în total suma de $420$ de lei. Prețul unui bilet pentru copii reprezintă $50\%$ din prețul unui bilet pentru adulți.

(2p) a) Este posibil ca prețul unui bilet pentru copii să fie $25$ de lei? Justifică răspunsul dat.

(3p) b) Determină prețul biletului pentru un adult.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=(x+2{)}^2-(x-2{)}^2$, unde $x$ este număr real.

(2p) a) Arată că $E(x)=8x$, pentru orice număr real $x$.

(3p) b) Demonstrează că numărul natural $A=E(n^2)+E(n)$ este multiplu al lui $16$, pentru orice număr natural $n$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-4$.

(2p) a) Reprezintă grafic funcția $f$ în sistemul de axe ortogonale $xOy$.

(3p) b) Determină mulțimea soluțiilor inecuației $1-f(a)\le f(4)$, unde $a$ este număr real.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$ cu $AB=12\text{ cm}$. Punctul $S$ este mijlocul segmentului $BC$, punctul $D$ este simetricul punctului $B$ față de $AC$, iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $DS$ și $AC$.

[Figura: Triunghiul echilateral ABC cu mediana AS, D simetricul lui B față de AC și intersecția Q a dreptelor DS și AC]

(2p) a) Arată că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $36\text{ cm}$.

(3p) b) Determină lungimea segmentului $DQ$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$ cu $AB=20\text{ cm}$ și $AD=15\text{ cm}$. Dreptele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$, iar punctele $E$ și $F$ se află pe latura $CD$, astfel încât $DE=FC=5\text{ cm}$.

[Figura: Dreptunghiul ABCD cu intersecția diagonalelor O și intersecția I a dreptelor BE și AF]

(2p) a) Arată că sinusul unghiului $ABD$ este egal cu $\frac{3}{5}$.

(3p) b) Calculează lungimea segmentului $OI$, unde $I$ este punctul de intersecție a dreptelor $BE$ și $AF$.

5p 6. Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu lungimea diagonalei $A{C}^{\prime }$ de $6\sqrt{3}\text{ cm}$.

[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu punctul O fiind intersecția diagonalelor feței ADD'A', adică AD' ∩ A'D]

(2p) a) Arată că aria laterală a cubului $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egală cu $144{\text{ cm}}^2$.

(3p) b) Determină măsura unghiului dreptelor $B^{\prime }C$ și $OB$, unde $\{O\}=A{D}^{\prime }\cap A^{\prime }D$.