Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 1

Subiectul I, 1)

• Răspuns corect: a)
• Rezolvare: Se efectuează mai întâi înmulțirea, apoi scăderea:
  $$20-2\cdot 10=20-20=0$$

---

Subiectul I, 2)

• Răspuns corect: c)
• Rezolvare: Fracția dintr-un număr se calculează prin înmulțire:
  $$\frac{1}{3}\cdot 60=\frac{60}{3}=20$$

---

Subiectul I, 3)

• Răspuns corect: d)
• Rezolvare: Media aritmetică a numerelor $x$ și $y$ este:
  $$m_a=\frac{x+y}{2}=\frac{(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)}{2}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$
  Elevul care a obținut rezultatul $\sqrt{3}$ este Mihail.

---

Subiectul I, 4)

• Răspuns corect: a)
• Rezolvare: Un număr este divizibil cu $5$ dacă ultima sa cifră este $0$ sau $5$. Secvența $0,5,10,15$ conține numai numere divizibile cu $5$ ($0$ este divizibil cu orice număr nenul, deoarece $0=0\cdot 5$).

---

Subiectul I, 5)

• Răspuns corect: b)
• Rezolvare: Deoarece $x\in \mathbb{N}$ și $2\le x<6$, valorile posibile pentru $x$ sunt $2,3,4,5$. Mulțimea este $\{2,3,4,5\}$.

---

Subiectul I, 6)

• Răspuns corect: a)
• Rezolvare: Notele mai mari decât $8$ sunt $9$ și $10$. Numărul de elevi cu nota $9$ este $4$, iar cu nota $10$ este $3$. În total sunt $4+3=7$ elevi.

---

Subiectul al II-lea, 1)

• Răspuns corect: c)
• Rezolvare: Punctul $P$ se află la mijlocul segmentului determinat de $A$ și $C$, adică $P$ este mijlocul segmentului $AC$. Prin urmare, simetricul punctului $A$ față de $P$ este punctul $C$.

---

Subiectul al II-lea, 2)

• Răspuns corect: a)
• Rezolvare: Punctul $M$ fiind mijlocul segmentului $AC$, avem:
  $$AM=\frac{AC}{2}=\frac{6\text{ cm}}{2}=3\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

• Răspuns corect: c)
• Rezolvare: Triunghiul $ABC$ este isoscel cu baza $BC$, deci $AB=AC=5\text{ cm}$. Punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$, deci $BC=2\cdot BD=2\cdot 4=8\text{ cm}$.
  Perimetrul triunghiului este:
  $$P_{ABC}=AB+AC+BC=5+5+8=18\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

• Răspuns corect: b)
• Rezolvare: Deoarece $AB\parallel CD$, unghiurile alterne interne $\sphericalangle ABD$ și $\sphericalangle BDC$ sunt congruente. Cum $BD$ este bisectoarea unghiului $\sphericalangle ABC$, avem $\sphericalangle ABD\equiv \sphericalangle CBD$. Rezultă că $\sphericalangle BDC\equiv \sphericalangle CBD$, deci triunghiul $BCD$ este isoscel cu $BC=CD=100\text{ m}$.
  Fie $C{C}^{\prime }\perp AB$, cu $C^{\prime }\in AB$. Deoarece $AD\perp AB$ și $CD\parallel AB$, patrulaterul $ADC{C}^{\prime }$ este dreptunghi, deci $A{C}^{\prime }=CD=100\text{ m}$ și $C^{\prime }B=AB-A{C}^{\prime }=160-100=60\text{ m}$.
  În triunghiul dreptunghic $C{C}^{\prime }B$:
  $$C{C}^{\prime }=\sqrt{B{C}^2-C^{\prime }{B}^2}=\sqrt{100^2-60^2}=\sqrt{10000-3600}=\sqrt{6400}=80\text{ m}$$
  Înălțimea trapezului este $h=AD=C{C}^{\prime }=80\text{ m}$.
  Aria terenului este:
  $${\mathcal{A}}_{ABCD}=\frac{(AB+CD)\cdot h}{2}=\frac{(160+100)\cdot 80}{2}=260\cdot 40=10400{\text{ m}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

• Răspuns corect: b)
• Rezolvare: Unghiul la centru $\sphericalangle BOD$ are măsura egală cu măsura arcului mic $BD$, deci $\sphericalangle BOD=60^{\circ }$. Unghiurile $\sphericalangle AOC$ și $\sphericalangle BOD$ sunt opuse la vârf, deci $\sphericalangle AOC=\sphericalangle BOD=60^{\circ }$.

---

Subiectul al II-lea, 6)

• Răspuns corect: b)
• Rezolvare: Muchia cubului este $l=30\text{ cm}=3\text{ dm}$.
  Volumul total al acvariului cub este:
  $$V=l^3=3^3=27{\text{ dm}}^3=27\text{ litri}$$
  Având inițial $9$ litri de apă, pentru umplere Andrei trebuie să adauge:
  $$27-9=18\text{ litri de apa˘}$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

• a) În urmă cu $8$ ani tatăl avea $36-8=28$ de ani. Fiul avea $28:7=4$ ani, deci în prezent fiul are $4+8=12$ ani. (2p)
  $36:12=3$, deci, în prezent, vârsta fiului este de trei ori mai mică decât vârsta tatălui. (1p)
• b) Fie $x$ numărul de ani care vor trece. Avem ecuația:
  $$36+x=2(12+x)$$ (1p)
  $$36+x=24+2x⟹x=36-24=12\text{ ani}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

• a) Observăm că expresia este de forma $u^2+2uv+v^2=(u+v{)}^2$, unde $u=x+1$ și $v=x-2$:
  $$E(x)=((x+1)+(x-2){)}^2$$ (1p)
  $$E(x)=(2x-1{)}^2\text{, pentru orice numa˘r real }x$$ (1p)
• b) Calculăm valoarea expresiei pentru $x=\sqrt{2}$:
  $$E(\sqrt{2})=(2\sqrt{2}-1{)}^2=(2\sqrt{2}{)}^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 1+1^2=8-4\sqrt{2}+1=9-4\sqrt{2}$$ (1p)
  Atunci:
  $$E(\sqrt{2})+a\sqrt{2}=9-4\sqrt{2}+a\sqrt{2}=9+(a-4)\sqrt{2}$$
  Pentru ca acest număr să fie natural, coeficientul lui $\sqrt{2}$ trebuie să fie $0$, deci $a-4=0⟹a=4\in \mathbb{N}$, caz în care rezultatul este $9\in \mathbb{N}$. (2p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

• a) Scoatem factorii de sub radical:
  $$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$$
  Aducem la numitor comun în paranteză:
  $$x=\left(\frac{8}{3\sqrt{2}}+\frac{18}{3\sqrt{2}}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{13}=\frac{26}{3\sqrt{2}}\cdot \frac{\sqrt{2}}{13}$$ (1p)
  Simplificăm cu $\sqrt{2}$ și prin $13$:
  $$x=\frac{26}{13}\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$$ (1p)
• b) Scoatem factorii de sub radical pentru $\sqrt{147}=\sqrt{49\cdot 3}=7\sqrt{3}$:
  $$y=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{5}{7\sqrt{3}}\right):\frac{\sqrt{3}}{14}=\left(\frac{7}{7\sqrt{3}}-\frac{5}{7\sqrt{3}}\right)\cdot \frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{2}{7\sqrt{3}}\cdot \frac{14}{\sqrt{3}}=\frac{2\cdot 2}{3}=\frac{4}{3}$$ (2p)
  Suma numerelor este:
  $$x+y=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}=\frac{6}{3}=2\in \mathbb{N}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

• a) $△AEB$ este dreptunghic isoscel în $E$, deci $\sphericalangle BAE=45^{\circ }$.
  Deoarece $F$ este simetricul lui $C$ față de $D$, avem $FD=DC$. Dar $DC=AD$ (latură de pătrat), deci $FD=AD$. În plus, $F,D,C$ sunt coliniare și $AD\perp CD$, deci $△ADF$ este dreptunghic isoscel în $D$, de unde rezultă că $\sphericalangle FAD=45^{\circ }$. (1p)
  Calculăm unghiul format în jurul punctului $A$:
  $$\sphericalangle FAE=\sphericalangle FAD+\sphericalangle DAB+\sphericalangle BAE=45^{\circ }+90^{\circ }+45^{\circ }=180^{\circ }$$
  Prin urmare, punctele $E$, $A$ și $F$ sunt coliniare. (1p)
• b) În pătratul $ABCD$, diagonalele sunt perpendiculare și formează unghiuri de $45^{\circ }$ cu laturile: $\sphericalangle ABD=45^{\circ }$.
  Cum $\sphericalangle ABD=\sphericalangle EAB=45^{\circ }$ (unghiuri alterne interne congruente), rezultă că $AE\parallel BD$.
  În triunghiul dreptunghic isoscel $AEB$ cu cateta $AE=4\sqrt{2}\text{ cm}$, ipotenuza este:
  $$AB=AE\sqrt{2}=4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=8\text{ cm}$$
  Diagonala pătratului are lungimea:
  $$BD=AB\sqrt{2}=8\sqrt{2}\text{ cm}$$
  Fie $\{O\}=AC\cap BD$. Atunci $DO=\frac{BD}{2}=4\sqrt{2}\text{ cm}$.
  Deoarece $AE=DO=4\sqrt{2}\text{ cm}$ și $AE\parallel DO$, patrulaterul $ADOE$ este paralelogram. (2p)
  În paralelogramul $ADOE$, diagonalele sunt $DE$ și $AO$. Deoarece punctul $O$ aparține dreptei $AC$, dreapta $AO$ este dreapta $AC$. Punctul $P=AC\cap DE$ este punctul de intersecție a diagonalelor paralelogramului $ADOE$, deci $P$ este mijlocul segmentului $DE$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

• a) În triunghiul dreptunghic $EBC$ (cu $\sphericalangle B=90^{\circ }$), $BA\perp EC$, deci $BA$ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei. Conform teoremei înălțimii:
  $$B{A}^2=AE\cdot AC=2\cdot 8=16⟹BA=\sqrt{16}=4\text{ cm}$$ (2p)
• b) Conform teoremei catetei în $△EBC$, cu $EC=AE+AC=2+8=10\text{ cm}$:
  $$B{C}^2=AC\cdot EC=8\cdot 10=80⟹BC=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\text{ cm}$$
  $$E{B}^2=EA\cdot EC=2\cdot 10=20⟹EB=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\text{ cm}$$ (1p)
  Perimetrul triunghiului $BCE$ este:
  $$P_{△BCE}=EB+BC+EC=2\sqrt{5}+4\sqrt{5}+10=6\sqrt{5}+10\text{ cm}$$
  Pentru a arăta că $6\sqrt{5}+10<28$, comparăm:
  $$6\sqrt{5}+10<28⟺6\sqrt{5}<18⟺\sqrt{5}<3⟺5<9\text{, ceea ce este adeva˘rat.}$$
  Așadar, perimetrul triunghiului $BCE$ este mai mic decât $28\text{ cm}$. (2p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

• a) Deoarece $D^{\prime }D\perp (ABCD)$, proiecția punctului $D^{\prime }$ pe planul $(ADC)$ este punctul $D$. Proiecția punctului $B$ pe planul $(ADC)$ este $B$. Astfel, proiecția dreptei $B{D}^{\prime }$ pe planul $(ADC)$ este dreapta $BD$.
  Unghiul dintre dreapta $B{D}^{\prime }$ și planul $(ADC)$ este $\sphericalangle (B{D}^{\prime },BD)=\sphericalangle D^{\prime }BD$. (1p)
  În triunghiul dreptunghic $D^{\prime }DB$ (cu $\sphericalangle D^{\prime }DB=90^{\circ }$):
  $$DB=AB\sqrt{2}=6\sqrt{2}\text{ cm}$$
  $$D^{\prime }B=AB\sqrt{3}=6\sqrt{3}\text{ cm}$$
  $$\cos (\sphericalangle D^{\prime }BD)=\frac{DB}{D^{\prime }B}=\frac{6\sqrt{2}}{6\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$ (1p)
• b) În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, fața $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ este pătrat, iar diagonalele sale sunt perpendiculare: fie $\{O^{\prime }\}=A^{\prime }D\cap A{D}^{\prime }$, deci $A^{\prime }{O}^{\prime }\perp A{D}^{\prime }$.
  Muchiile laterale sunt perpendiculare pe fețe, prin urmare $C^{\prime }{D}^{\prime }\perp (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$. Deoarece $A^{\prime }{O}^{\prime }\subset (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$, rezultă că $C^{\prime }{D}^{\prime }\perp A^{\prime }{O}^{\prime }$, deci $A^{\prime }{O}^{\prime }\perp C^{\prime }{D}^{\prime }$.
  În plus, $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }$ (deoarece $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este dreptunghi), ceea ce înseamnă că dreapta $A{D}^{\prime }$ este inclusă în planul determinat de $B,C^{\prime },D^{\prime }$, adică planul $(B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.
  Cum $A^{\prime }{O}^{\prime }\perp A{D}^{\prime }$ și $A^{\prime }{O}^{\prime }\perp C^{\prime }{D}^{\prime }$, iar $A{D}^{\prime },C^{\prime }{D}^{\prime }\subset (B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ sunt concurente în $D^{\prime }$, obținem că:
  $$A^{\prime }{O}^{\prime }\perp (B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$$
  Prin urmare, distanța de la punctul $A^{\prime }$ la planul $(B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ este lungimea segmentului $A^{\prime }{O}^{\prime }$. (2p)
  Diagonala feței pătrat are lungimea $A{D}^{\prime }=6\sqrt{2}\text{ cm}$, de unde:
  $$A^{\prime }{O}^{\prime }=\frac{A{D}^{\prime }}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{ cm}$$ (1p)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $20-2\cdot 10$ este numărul:

• a) $0$
• b) $1$
• c) $8$
• d) $18$

5p 2. Numărul care reprezintă $\frac{1}{3}$ din $60$ este:

• a) $10$
• b) $15$
• c) $20$
• d) $30$

5p 3. Patru elevi, Radu, Gabriel, Alexandru și Mihail, au calculat media aritmetică a numerelor $x=\sqrt{3}+1$ și $y=\sqrt{3}-1$. Rezultatele obținute sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Radu	Gabriel	Alexandru	Mihail
$1$	$0$	$2\sqrt{3}$	$\sqrt{3}$

Dintre cei patru elevi, rezultatul corect a fost obținut de:

• a) Radu
• b) Gabriel
• c) Alexandru
• d) Mihail

5p 4. Dintre următoarele secvențe de numere, cea care conține numai numere divizibile cu $5$ este:

• a) $0,5,10,15$
• b) $0,2,5,10$
• c) $0,2,4,6$
• d) $5,6,10,15$

5p 5. Se consideră mulțimea $B=\{x\in \mathbb{N}\mid 2\le x<6\}$. Dintre următoarele mulțimi, cea care reprezintă scrierea mulțimii $B$ prin enumerarea elementelor sale este:

• a) $\{3,4,5\}$
• b) $\{2,3,4,5\}$
• c) $\{3,4,5,6\}$
• d) $\{4,5,6\}$

5p 6. În tabelul de mai jos este prezentată situația statistică a notelor obținute de elevii unei clase a VIII-a la un test de matematică din semestrul I.

Nota la test	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Număr de elevi	0	0	0	2	5	4	5	3	4	3

Conform tabelului, numărul elevilor care au obținut note mai mari decât $8$ la testul de matematică este:

• a) $7$
• b) $9$
• c) $10$
• d) $11$

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $B$, $C$, $D$, $M$ și $P$. Simetricul punctului $A$ față de punctul $P$ este punctul:

[Figura: Punctele A, B, C, D, M și P pe o rețea de pătrățele, unde P este mijlocul segmentului AC]

• a) $A$
• b) $B$
• c) $C$
• d) $D$

5p 2. În figura alăturată punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$ cu $AC=6\text{ cm}$. Lungimea segmentului $AM$ este:

[Figura: Segmentul AC cu punctul M situat la mijloc]

• a) $3\text{ cm}$
• b) $3,5\text{ cm}$
• c) $4,5\text{ cm}$
• d) $6\text{ cm}$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul isoscel $ABC$ cu baza $BC$. Punctul $D$ este mijlocul segmentului $BC$, $AB=5\text{ cm}$ și $BD=4\text{ cm}$. Perimetrul triunghiului $ABC$ este:

[Figura: Triunghi isoscel ABC cu baza BC și mediana/înălțimea AD]

• a) $9\text{ cm}$
• b) $14\text{ cm}$
• c) $18\text{ cm}$
• d) $30\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat un teren în formă de trapez dreptunghic $ABCD$ cu $AD\perp AB$ și $AB\parallel CD$. Semidreapta $BD$ este bisectoarea unghiului $ABC$, $AB=160\text{ m}$ și $CD=100\text{ m}$. Aria terenului este:

[Figura: Trapez dreptunghic ABCD cu unghiul A drept, diagonala BD bisectoare a unghiului B]

• a) $8000{\text{ m}}^2$
• b) $10400{\text{ m}}^2$
• c) $13000{\text{ m}}^2$
• d) $16000{\text{ m}}^2$

5p 5. În figura alăturată $AB$ și $CD$ sunt diametre în cercul de centru $O$, iar măsura arcului mic $BD$ este de $60^{\circ }$. Măsura unghiului $AOC$ este de:

[Figura: Cerc de centru O cu două diametre secante AB și CD]

• a) $30^{\circ }$
• b) $60^{\circ }$
• c) $90^{\circ }$
• d) $120^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat un acvariu în formă de cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, $AB=30\text{ cm}$. Pentru umplerea acvariului, care are inițial $9$ litri de apă, Andrei va trebui să adauge:

[Figura: Cub ABCDA'B'C'D' cu un nivel parțial de apă la bază]

• a) $10\text{ litri de apa˘}$
• b) $18\text{ litri de apa˘}$
• c) $27\text{ litri de apa˘}$
• d) $30\text{ litri de apa˘}$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. În urmă cu $8$ ani tatăl era de șapte ori mai în vârstă decât fiul său. În prezent, tatăl are $36$ ani.

• (3p) a) Verifică dacă, în prezent, vârsta fiului este de trei ori mai mică decât vârsta tatălui.
• (2p) b) Peste câți ani vârsta tatălui va fi egală cu dublul vârstei fiului?

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=(x+1{)}^2+2(x+1)(x-2)+(x-2{)}^2$.

• (2p) a) Arată că $E(x)=(2x-1{)}^2$, pentru orice număr real $x$.
• (3p) b) Determină numărul natural $a$ pentru care $E(\sqrt{2})+a\sqrt{2}$ reprezintă un număr natural.

5p 3. Se consideră numerele $x=\left(\frac{8}{\sqrt{18}}+\frac{6}{\sqrt{2}}\right)\cdot \frac{\sqrt{2}}{13}$ și $y=\left(\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{5}{\sqrt{147}}\right):\frac{\sqrt{3}}{14}$.

• (2p) a) Arată că $x=\frac{2}{3}$.
• (3p) b) Arată că suma numerelor $x$ și $y$ este număr natural.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat un pătrat $ABCD$ și un triunghi dreptunghic isoscel $AEB$ dreptunghic în $E$ și $AE=4\sqrt{2}\text{ cm}$. Punctul $F$ este simetricul punctului $C$ față de punctul $D$.

[Figura: Pătratul ABCD, triunghiul AEB dreptunghic isoscel în exterior pe latura AB, punctul F pe prelungirea laturii CD dincolo de D]

• (2p) a) Demonstrează că punctele $E$, $A$ și $F$ sunt coliniare.
• (3p) b) Arată că, dacă $P$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $DE$, atunci $P$ este mijlocul segmentului $DE$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $EBC$, dreptunghic în $B$. Proiecția punctului $B$ pe dreapta $EC$ este punctul $A$ care determină pe $EC$ segmentele $AC=8\text{ cm}$ și $AE=2\text{ cm}$.

[Figura: Triunghiul dreptunghic EBC în B, cu înălțimea BA perpendiculară pe ipotenuza EC]

• (2p) a) Arată că $BA=4\text{ cm}$.
• (3p) b) Arată că perimetrul triunghiului $BCE$ este mai mic decât $28\text{ cm}$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat un cub $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu $AB=6\text{ cm}$.

[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu diagonala BD']

• (2p) a) Arată că valoarea cosinusului unghiului dintre dreapta $B{D}^{\prime }$ și planul $(ADC)$ este $\frac{\sqrt{6}}{3}$.
• (3p) b) Calculează distanța de la punctul $A^{\prime }$ la planul $(B{C}^{\prime }{D}^{\prime })$.