Evaluare Națională 2021, matematică: model oficial (varianta 2)

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: c)

Descompunem numărul $154$ în factori primi:
$$154=2\cdot 7\cdot 11$$
Divizorii primi ai numărului $154$ sunt $2$, $7$ și $11$. Dintre aceștia, cel mai mare este $11$.

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: c)

Raportul dintre numerele $a$ și $b$ este $\frac{a}{b}=\frac{5}{11}$. Amplificând fracția cu $2$, obținem:
$$\frac{5\cdot 2}{11\cdot 2}=\frac{10}{22}$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: b)

Diferența dintre temperatura înregistrată marți ($-7^{\circ }\text{C}$) și temperatura înregistrată luni ($-5^{\circ }\text{C}$) este:
$$-7^{\circ }\text{C}-(-5^{\circ }\text{C})=-7^{\circ }\text{C}+5^{\circ }\text{C}=-2^{\circ }\text{C}$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: a)

Aducem toate fracțiile la numitorul comun $18$:

• $\frac{1}{18}$
• $\frac{1}{3}=\frac{6}{18}$
• $\frac{5}{6}=\frac{15}{18}$
• $\frac{8}{9}=\frac{16}{18}$

Deoarece $1<6<15<16$, ordinea crescătoare este:
$$\frac{1}{18}<\frac{1}{3}<\frac{5}{6}<\frac{8}{9}$$

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: d)

Simplificăm radicalii din expresia lui $n$:
$$n=\sqrt{2}-\sqrt{8}+\sqrt{18}=\sqrt{2}-2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$
Înmulțind numărul $n$ cu $\sqrt{2}$, obținem:
$$n\cdot \sqrt{2}=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2\cdot 2=4$$
Conform tabelului, Laura a obținut rezultatul $4$.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: b)

Calculăm suma tuturor punctajelor obținute de elevi:
$$S=40\cdot 2+50\cdot 4+60\cdot 5+70\cdot 2+80\cdot 4+90\cdot 2+100\cdot 1$$
$$S=80+200+300+140+320+180+100=1320$$
Numărul total de elevi este:
$$N=2+4+5+2+4+2+1=20$$
Media aritmetică a punctajelor este:
$$m_a=\frac{1320}{20}=66$$

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: a)

Punctul $C$ fiind simetricul punctului $A$ față de punctul $M$, înseamnă că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AC$. Prin urmare:
$$CM=AM=3\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: b)

Punctele $A$, $B$ și $C$ fiind la distanțe egale de $O$, ele se află pe un cerc de centru $O$. Deoarece punctele $A$, $O$ și $C$ sunt coliniare, segmentul $AC$ este diametru al cercului. Triunghiul $ABC$ este înscris într-un semicerc, prin urmare unghiul $\angle ABC$ este unghi drept:
$$m(\angle ABC)=90^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: c)

Triunghiul $RAP$ este isoscel cu $AR=AP$ și $m(\angle RAP)=120^{\circ }$, deci:
$$m(\angle ARP)=m(\angle APR)=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$$
Punctul $M$ fiind mijlocul bazei $RP$, mediana $AM$ este și bisectoare și înălțime, deci $AM\perp RP$ și:
$$m(\angle MAP)=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$
Deoarece $MD$ reprezintă distanța cea mai scurtă de la $M$ la dreapta $AP$, avem $MD\perp AP$. În triunghiul dreptunghic $ADM$ ($m(\angle ADM)=90^{\circ }$):
$$m(\angle AMD)=90^{\circ }-m(\angle MAD)=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$$
Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$, cateta $AD$ este jumătate din ipotenuza $AM$, deci:
$$AM=2\cdot AD=2\cdot 400\text{ m}=800\text{ m}$$
În triunghiul dreptunghic $AMP$ ($m(\angle AMP)=90^{\circ }$), deoarece $m(\angle APM)=30^{\circ }$, cateta $AM$ se opune unghiului de $30^{\circ }$, deci:
$$AP=2\cdot AM=2\cdot 800\text{ m}=1600\text{ m}$$
Distanța de la $P$ la $D$ este:
$$DP=AP-AD=1600\text{ m}-400\text{ m}=1200\text{ m}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: c)

Fie $\mathcal{A}$ aria totală a rombului $ABCD$. Diagonala $AC$ împarte rombul în două triunghiuri congruente: ${\mathcal{A}}_{ABC}={\mathcal{A}}_{ADC}=\frac{\mathcal{A}}{2}$.

• Deoarece $M$ este mijlocul laturii $BC$, mediana $AM$ împarte aria triunghiului $ABC$ în două părți egale:
  $${\mathcal{A}}_{ABM}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{\mathcal{A}}{4}$$
• În mod analog, $N$ este mijlocul laturii $CD$, deci:
  $${\mathcal{A}}_{ADN}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{ADC}=\frac{\mathcal{A}}{4}$$
• În triunghiul $BCD$, $MN$ unește mijloacele laturilor $BC$ și $CD$, deci triunghiul $CMN$ este asemenea cu triunghiul $CBD$ cu raportul de asemănare $\frac{1}{2}$. Raportul ariilor este ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$:
  $${\mathcal{A}}_{CMN}=\frac{1}{4}{\mathcal{A}}_{CBD}=\frac{1}{4}\cdot \frac{\mathcal{A}}{2}=\frac{\mathcal{A}}{8}$$
  Aria suprafeței acoperite cu cimbru (triunghiul $AMN$) este:
  $${\mathcal{A}}_{AMN}=\mathcal{A}-({\mathcal{A}}_{ABM}+{\mathcal{A}}_{ADN}+{\mathcal{A}}_{CMN})=\mathcal{A}-\left(\frac{\mathcal{A}}{4}+\frac{\mathcal{A}}{4}+\frac{\mathcal{A}}{8}\right)=\mathcal{A}-\frac{5}{8}\mathcal{A}=\frac{3}{8}\mathcal{A}$$
  Deci aria suprafeței acoperite cu cimbru reprezintă $\frac{3}{8}$ din aria totală.

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: b)

Unghiul $\angle ACD$ este un unghi înscris în cerc, deci măsura sa este jumătate din măsura arcului subîntins:
$$m(\overgroup{AD})=2\cdot m(\angle ACD)=2\cdot 55^{\circ }=110^{\circ }$$
Deoarece segmentul $AB$ este diametru, arcul $\overgroup{ADB}$ este un semicerc, adică $m(\overgroup{ADB})=180^{\circ }$. Măsura arcului $\overgroup{DB}$ este:
$$m(\overgroup{DB})=180^{\circ }-m(\overgroup{AD})=180^{\circ }-110^{\circ }=70^{\circ }$$
Unghiul $\angle DOB$ este unghi la centru care subîntinde arcul $\overgroup{DB}$, prin urmare:
$$m(\angle DOB)=m(\overgroup{DB})=70^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: c)

Volumul cubului inițial este $V=12^3=1728{\text{ cm}}^3$.
Împărțit în $27$ de cubulețe egale, volumul unui cubuleț este:
$$V_{\text{cubuleț}}=\frac{1728}{27}=64{\text{ cm}}^3$$
Lungimea muchiei unui cubuleț $l$ verifică $l^3=64$, de unde $l=\sqrt[3]{64}=4\text{ cm}$.

---

Subiectul al III-lea, 1)

a) Fie $x$ numărul de bănci din clasă.
Dacă se așază câte doi elevi într-o bancă, două bănci rămân libere și într-o bancă stă un singur elev, numărul elevilor este:
$$e=2(x-3)+1=2x-5$$
Deoarece $2x-5=2(x-3)+1$, numărul elevilor din clasă trebuie să fie un număr impar. (1p)

Cum $14$ este număr par, nu este posibil ca în clasă să fie $14$ elevi. (1p)

b) Din a doua condiție, dacă elevii se așază câte trei în bancă, șase bănci rămân libere, numărul elevilor este:
$$e=3(x-6)$$
Egalând cele două relații pentru numărul de elevi: (1p)
$$2(x-3)+1=3(x-6)$$
$$2x-5=3x-18$$ (1p)
$$3x-2x=18-5⟹x=13$$
În clasă sunt $13$ bănci. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a) Descompunem termenul din mijloc $-7x=-2x-5x$:
$$x^2-7x+10=x^2-2x-5x+10$$ (1p)
$$=x(x-2)-5(x-2)=(x-2)(x-5)$$, pentru orice număr real $x$. (1p)

b) Aducem la același numitor prima paranteză:
$$x-\frac{1}{2-x}=x+\frac{1}{x-2}=\frac{x(x-2)+1}{x-2}=\frac{x^2-2x+1}{x-2}=\frac{(x-1{)}^2}{x-2}$$ (1p)

Descompunem expresia de la împărțitor:
$$\frac{x^3-2x^2+x}{x^2-7x+10}=\frac{x(x^2-2x+1)}{(x-2)(x-5)}=\frac{x(x-1{)}^2}{(x-2)(x-5)}$$

Efectuăm împărțirea prin înmulțire cu inversa fracției:
$$E(x)=\frac{(x-1{)}^2}{x-2}\cdot \frac{(x-2)(x-5)}{x(x-1{)}^2}=\frac{x-5}{x}$$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{0,1,2,5\}$. (2p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a) Calculăm valorile funcției:
$$f(0)=-0+6=6$$
$$f(6)=-6+6=0$$ (1p)
$$f(0)\cdot f(6)=6\cdot 0=0$$ (1p)

b) Punctele de intersecție cu axele sunt:

• cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹-x+6=0⟹x=6$, deci $A(6,0)$, de unde $OA=6$;
• cu axa $Oy$: $x=0⟹f(0)=6$, deci $B(0,6)$, de unde $OB=6$. (1p)

Triunghiul $AOB$ este dreptunghic în $O$. Ipotenuza $AB$ are lungimea:
$$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$$ (1p)

Distanța de la punctul $O$ la dreapta $AB$ este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei în $△AOB$:
$$d(O,AB)=\frac{OA\cdot OB}{AB}=\frac{6\cdot 6}{6\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a) Deoarece $M$ este mijlocul laturii $AB=8\text{ cm}$, avem $AM=4\text{ cm}$.
În triunghiul dreptunghic $APM$ ($m(\angle APM)=90^{\circ }$), măsura unghiului $\angle A$ este de $60^{\circ }$, deci $m(\angle AMP)=30^{\circ }$.
Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$:
$$AP=\frac{AM}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$$
Cum $AC=8\text{ cm}$, obținem $CP=AC-AP=8-2=6\text{ cm}$. (1p)

Deoarece $CD\parallel AB$, unghiurile alterne interne sunt congruente, deci $△AMP\sim △CDP$. Rezultă:
$$\frac{AM}{CD}=\frac{AP}{CP}⟹\frac{4}{CD}=\frac{2}{6}⟹CD=\frac{4\cdot 6}{2}=12\text{ cm}$$ (1p)

b) În triunghiul echilateral $ABC$, $M$ este mijlocul laturii $AB$, prin urmare mediana $CM$ este și înălțime, deci $CM\perp AB$:
$$CM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)

Cum $CD\parallel AB$ și $CM\perp AB$, rezultă că $CM\perp CD$, deci $CM$ este chiar înălțimea trapezului dreptunghic $AMCD$.
Aria trapezului $AMCD$ este:
$${\mathcal{A}}_{AMCD}=\frac{(AM+CD)\cdot CM}{2}=\frac{(4+12)\cdot 4\sqrt{3}}{2}=\frac{16\cdot 4\sqrt{3}}{2}=32\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$$ (2p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a) În triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AE\perp BC$, aplicăm teorema catetei pentru cateta $AC$:
$$A{C}^2=EC\cdot BC$$ (1p)
$$6^2=4\cdot BC⟹36=4\cdot BC⟹BC=9\text{ cm}$$ (1p)

b) Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$:
$$AB=\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{9^2-6^2}=\sqrt{81-36}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\text{ cm}$$ (1p)

Perimetrul triunghiului $ABC$ este:
$${\mathcal{P}}_{ABC}=AB+BC+AC=3\sqrt{5}+9+6=15+3\sqrt{5}\text{ cm}$$
Trebuie să demonstrăm că $15+3\sqrt{5}<22$, ceea ce este echivalent cu $3\sqrt{5}<7$. (1p)

Cum $(3\sqrt{5}{)}^2=45$ și $7^2=49$, iar $45<49$, rezultă că $3\sqrt{5}<7$, deci ${\mathcal{P}}_{ABC}<22\text{ cm}$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a) Fie $a$ lungimea muchiei cubului.
Considerăm diagonala cubului $A^{\prime }C$, cu mijlocul $O$, și diagonala feței $A^{\prime }B$, cu mijlocul $M$. În triunghiul $A^{\prime }BC$, segmentul $OM$ unește mijloacele laturilor $A^{\prime }C$ și $A^{\prime }B$, deci este linie mijlocie:
$$OM=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$$
Cum $OM=50\text{ cm}$, obținem $a=2\cdot 50\text{ cm}=100\text{ cm}=1\text{ m}$. (1p)

Aria totală a exteriorului cubului este:
$${\mathcal{A}}_{\text{totala˘}}=6a^2=6\cdot 1^2=6{\text{ m}}^2$$
Necesarul de vopsea este:
$$6\cdot 0,5=3\text{ litri de vopsea}$$ (1p)

b) Deoarece $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ și $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$, avem $A^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BC$, deci punctele $A^{\prime }$, $D^{\prime }$, $C$ și $B$ sunt coplanare, iar planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$ este planul dreptunghiului $A^{\prime }BC{D}^{\prime }$. (1p)

Fie $Q$ mijlocul segmentului $A^{\prime }B$. Deoarece $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este pătrat, diagonalele sunt perpendiculare, deci $AQ\perp A^{\prime }B$.
Pe de altă parte, muchia $A^{\prime }{D}^{\prime }$ este perpendiculară pe fața $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, deci $A^{\prime }{D}^{\prime }\perp AQ$.
Cum $AQ\perp A^{\prime }B$ și $AQ\perp A^{\prime }{D}^{\prime }$, iar $A^{\prime }B,A^{\prime }{D}^{\prime }\subset (A^{\prime }{D}^{\prime }C)$, rezultă că $AQ\perp (A^{\prime }{D}^{\prime }C)$, deci distanța căutată este $d(A,(A^{\prime }{D}^{\prime }C))=AQ$. (1p)

Segmentul $AQ$ este jumătate din diagonala pătratului feței cu latura de $100\text{ cm}$:
$$AQ=\frac{A{B}^{\prime }}{2}=\frac{100\sqrt{2}}{2}=50\sqrt{2}\text{ cm}$$ (1p)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Cel mai mare divizor prim al numărului $154$ este numărul:
a) $2$
b) $7$
c) $11$
d) $77$

5p 2. Se consideră numerele naturale $a=5$ și $b=11$. Raportul dintre numerele $a$ și $b$ are aceeași valoare cu raportul:
a) $\frac{10}{11}$
b) $\frac{1}{2}$
c) $\frac{10}{22}$
d) $\frac{5}{22}$

5p 3. Luni, temperatura măsurată la ora $10$, la o stație meteo a fost de $-5^{\circ }\text{C}$, iar marți, la aceeași oră, au fost înregistrate $-7^{\circ }\text{C}$. Diferența dintre temperatura înregistrată marți și cea înregistrată luni este egală cu:
a) $-9^{\circ }\text{C}$
b) $-2^{\circ }\text{C}$
c) $6^{\circ }\text{C}$
d) $9^{\circ }\text{C}$

5p 4. Dintre următoarele seturi de numere, cel scris în ordine crescătoare este:
a) $\frac{1}{18},\frac{1}{3},\frac{5}{6},\frac{8}{9}$
b) $\frac{1}{3},\frac{1}{18},\frac{5}{6},\frac{8}{9}$
c) $\frac{8}{9},\frac{5}{6},\frac{1}{3},\frac{1}{18}$
d) $\frac{1}{3},\frac{8}{9},\frac{5}{6},\frac{1}{18}$

5p 5. Bogdan, Ana, Cătălin și Laura înmulțesc numărul $n=\sqrt{2}-\sqrt{8}+\sqrt{18}$ cu $\sqrt{2}$ și obțin rezultatele înregistrate în tabelul următor:

Bogdan	$-4$
Ana	$2\sqrt{2}$
Cătălin	$0$
Laura	$4$

Dintre cei patru elevi, cel care a obținut rezultatul corect al înmulțirii este:
a) Bogdan
b) Ana
c) Cătălin
d) Laura

5p 6. În tabelul următor sunt înregistrate punctajele obținute de elevii unei clase la un test de cultură generală:

Punctaj	40	50	60	70	80	90	100
Număr de elevi	2	4	5	2	4	2	1

Media aritmetică a punctajelor obținute de elevii participanți la test este:
a) $60,9$
b) $66$
c) $69,5$
d) $69$

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $M$ și $C$. Punctul $C$ este simetricul punctului $A$ față de punctul $M$. Dacă $AM=3\text{ cm}$, atunci segmentul $CM$ are lungimea egală cu:
[Figura: Trei puncte coliniare A, M, C, cu M între A și C]
a) $3\text{ cm}$
b) $4\text{ cm}$
c) $6\text{ cm}$
d) $9\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $B$, $C$ și $O$, astfel încât $A$, $B$ și $C$ sunt situate la distanțe egale față de punctul $O$, iar punctele $A$, $O$ și $C$ sunt coliniare. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:
[Figura: Punctele A, B, C situate pe un cerc de centru O, cu AC diametru]
a) $120^{\circ }$
b) $90^{\circ }$
c) $60^{\circ }$
d) $30^{\circ }$

5p 3. Locuința Alinei, marcată pe schiță cu punctul $A$, este situată la distanțe egale față de locuințele celor doi colegi de clasă, Radu și Paul, marcate pe schiță cu punctele $R$, respectiv $P$. Radu pornește de acasă, spre Paul, pe drumul cel mai scurt. La jumătatea distanței, adică în punctul $M$, se hotărăște să se îndrepte spre șoseaua $AP$, parcurgând distanța cea mai scurtă. Ajuns la șosea, în punctul $D$, Radu află că până la locuința Alinei sunt $400\text{ m}$. La ce distanță se află locuința lui Paul față de punctul $D$, în care s-a oprit Radu, dacă măsura unghiului $RAP$ este de $120^{\circ }$?
[Figura: Triunghiul isoscel RAP cu AR = AP și unghiul RAP obtuz; M este mijlocul laturii RP; segmentul MD este perpendicular pe AP, cu D situat pe AP]
a) $400\text{ m}$
b) $800\text{ m}$
c) $1200\text{ m}$
d) $1600\text{ m}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentată schița unei grădini de plante aromatice, în formă de romb $ABCD$. Suprafața hașurată, corespunzătoare triunghiului $AMN$, unde $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $BC$, respectiv $CD$, este acoperită cu cimbru, iar restul suprafeței grădinii este acoperită cu lavandă. Din aria totală a grădinii, aria suprafeței acoperite cu cimbru reprezintă:
[Figura: Rombul ABCD cu diagonala AC orizontală, M mijlocul laturii BC, N mijlocul laturii CD și triunghiul AMN hașurat]
a) $\frac{1}{2}$
b) $\frac{1}{3}$
c) $\frac{3}{8}$
d) $\frac{1}{5}$

5p 5. Punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt situate pe un cerc de centru $O$, astfel încât punctele $A$ și $B$ sunt diametral opuse și măsura unghiului $ACD$ este de $55^{\circ }$. Măsura unghiului $DOB$ este egală cu:
[Figura: Cerc de centru O cu diametrul AB orizontal; coardele AC și CD; unghiul ACD înscris în cerc; raza OD]
a) $55^{\circ }$
b) $70^{\circ }$
c) $110^{\circ }$
d) $180^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ care are muchia egală cu $12\text{ cm}$. Secționăm cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ în $27$ de cubulețe cu volume egale. Lungimea muchiei unui cubuleț este egală cu:
[Figura: Reprezentarea spațială a cubului ABCDA'B'C'D']
a) $1\text{ cm}$
b) $2\text{ cm}$
c) $4\text{ cm}$
d) $6\text{ cm}$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Dacă într-o clasă se așază câte doi elevi într-o bancă, atunci un elev rămâne singur în bancă, iar două bănci rămân libere. Dacă elevii se așază câte trei în bancă, atunci șase bănci rămân libere, iar celelalte bănci sunt ocupate complet.

(2p) a) Este posibil ca în clasă să fie $14$ elevi? Justifică răspunsul dat.

(3p) b) Determină numărul de bănci din clasă.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=\left(x-\frac{1}{2-x}\right):\frac{x^3-2x^2+x}{x^2-7x+10}$, unde $x\in \mathbb{R}\setminus \{0,1,2,5\}$.

(2p) a) Arată că $x^2-7x+10=(x-2)(x-5)$, pentru orice număr real $x$.

(3p) b) Demonstrează că $E(x)=\frac{x-5}{x}$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{0,1,2,5\}$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=-x+6$.

(2p) a) Calculează $f(0)\cdot f(6)$.

(3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Determină distanța de la punctul $O$ la dreapta $AB$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu $AB=8\text{ cm}$. Notăm cu $M$ mijlocul laturii $AB$ și construim din $M$ perpendiculara pe $AC$, care intersectează pe $AC$ în $P$ și paralela prin $C$ la $AB$ în $D$.
[Figura: Triunghiul echilateral ABC; M este mijlocul laturii AB; MP perpendicular pe AC, cu P pe AC; D este situat astfel încât CD || AB, iar M, P, D sunt coliniare]

(2p) a) Arată că $CD=12\text{ cm}$.

(3p) b) Calculează aria trapezului $AMCD$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$. Notăm cu $E$ proiecția punctului $A$ pe dreapta $BC$. Lungimea laturii $AC$ este de $6\text{ cm}$, iar lungimea segmentului $EC$ este de $4\text{ cm}$.
[Figura: Triunghiul ABC dreptunghic în A, cu înălțimea AE perpendiculară pe ipotenuza BC]

(2p) a) Arată că $BC=9\text{ cm}$.

(3p) b) Demonstrează că perimetrul triunghiului $ABC$ este mai mic decât $22\text{ cm}$.

5p 6. Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Distanța de la mijlocul unei diagonale a cubului la mijlocul unei diagonale a unei fețe laterale este de $50\text{ cm}$.
[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu planul format de diagonalele fețelor A'D'C hașurat]

(2p) a) Câți litri de vopsea sunt necesari pentru a vopsi exteriorul cubului, știind că pentru a vopsi un metru pătrat este nevoie de $0,5$ litri de vopsea?

(3p) b) Calculează distanța de la punctul $A$ la planul $(A^{\prime }{D}^{\prime }C)$.