Evaluare Națională 2026, matematică: subiect de rezervă

Barem și rezolvare completă pas cu pas

---

SUBIECTUL I (30 de puncte)

Subiectul I, 1)

• Rezolvare:
  Efectuăm mai întâi operația de împărțire, conform ordinii operațiilor:
  $$24:3=8$$
  Apoi efectuăm scăderea:
  $$27-8=19$$
• Răspuns corect: a) (5p)

---

Subiectul I, 2)

• Rezolvare:
  Din șirul de rapoarte egale avem:
  $$\frac{a}{3}=5⟹a=3\cdot 5=15$$
  $$\frac{b}{4}=5⟹b=4\cdot 5=20$$
  Calculăm suma:
  $$a+b=15+20=35$$
• Răspuns corect: d) (5p)

---

Subiectul I, 3)

• Rezolvare:
  Ecuația este:
  $$5-x=5⟹x=5-5⟹x=0$$
• Răspuns corect: c) (5p)

---

Subiectul I, 4)

• Rezolvare:
  Inversul unui număr rațional nenul $\frac{a}{b}$ este fracția inversată $\frac{b}{a}$.
  Inversul numărului $\frac{5}{9}$ este $\frac{9}{5}$.
• Răspuns corect: d) (5p)

---

Subiectul I, 5)

• Rezolvare:
  Calculăm produsul folosind formula $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:
  $$a\cdot b=(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})=5^2-(2\sqrt{6}{)}^2=25-4\cdot 6=25-24=1$$
  Conform tabelului, Cristina a obținut rezultatul $1$.
• Răspuns corect: b) (5p)

---

Subiectul I, 6)

• Rezolvare:
  Calculăm scumpirea:
  $$20\%\text{ din }1000=\frac{20}{100}\cdot 1000=200\text{ lei}$$
  Noul preț al telefonului este:
  $$1000+200=1200\text{ lei}$$
  Afirmația lui Matei este adevărată.
• Răspuns corect: a) (5p)

---

SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

Subiectul al II-lea, 1)

• Rezolvare:
  Punctele $A,B,C,D$ sunt coliniare în această ordine, deci segmentul total este format din reuniunea segmentelor disjuncte:
  $$AD=AB+BC+CD$$
  Știm că $AB=2\text{ cm}$ și $CD=2\cdot AB=2\cdot 2=4\text{ cm}$.
  Astfel:
  $$9=2+BC+4⟹BC=9-6=3\text{ cm}$$
• Răspuns corect: a) (5p)

---

Subiectul al II-lea, 2)

• Rezolvare:
  Unghiurile $AOB$, $BOC$ și $COA$ sunt congruente și formate în jurul punctului $O$, suma măsurilor lor fiind $360^{\circ }$:
  $$\sphericalangle AOB=\sphericalangle BOC=\sphericalangle COA=\frac{360^{\circ }}{3}=120^{\circ }$$
  Semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $AOB$, deci:
  $$\sphericalangle DOB=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$
  Semidreapta $OE$ este bisectoarea unghiului $DOB$, deci:
  $$\sphericalangle EOB=\frac{60^{\circ }}{2}=30^{\circ }$$
  Unghiul $EOC$ este compus din adiacentele $\sphericalangle EOB$ și $\sphericalangle BOC$:
  $$\sphericalangle EOC=\sphericalangle EOB+\sphericalangle BOC=30^{\circ }+120^{\circ }=150^{\circ }$$
• Răspuns corect: d) (5p)

---

Subiectul al II-lea, 3)

• Rezolvare:
  În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, $\sphericalangle C=30^{\circ }$ și ipotenuza $BC=4\text{ cm}$.
  Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$, cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$ este jumătate din ipotenuză:
  $$AB=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$$
  Punctul $M$ este mijlocul ipotenuzei $BC$, deci $BM=\frac{BC}{2}=2\text{ cm}$.
  Mediana corespunzătoare ipotenuzei într-un triunghi dreptunghic este jumătate din ipotenuză:
  $$AM=\frac{BC}{2}=2\text{ cm}$$
  Triunghiul $ABM$ este echilateral, cu toate laturile egale cu $2\text{ cm}$. Perimetrul este:
  $$P_{ABM}=AB+BM+AM=2+2+2=6\text{ cm}$$
• Răspuns corect: b) (5p)

---

Subiectul al II-lea, 4)

• Rezolvare:
  Trapezul $ABCD$ are $AB\parallel CD$ și laturile neparalele congruente $AD=BC$, deci este un trapez isoscel.
  Prin urmare, unghiurile alăturate bazei mari sunt congruente: $\sphericalangle DAB=\sphericalangle ABC$.
  În triunghiul $ACD$, deoarece $AD=CD$, triunghiul este isoscel cu baza $AC$, deci:
  $$\sphericalangle DCA=\sphericalangle DAC=20^{\circ }$$
  Deoarece $AB\parallel CD$, unghiurile alterne interne sunt congruente:
  $$\sphericalangle CAB=\sphericalangle DCA=20^{\circ }$$
  Atunci măsura unghiului $DAB$ este:
  $$\sphericalangle DAB=\sphericalangle DAC+\sphericalangle CAB=20^{\circ }+20^{\circ }=40^{\circ }$$
  Cum trapezul este isoscel, avem:
  $$\sphericalangle ABC=\sphericalangle DAB=40^{\circ }$$
• Răspuns corect: c) (5p)

---

Subiectul al II-lea, 5)

• Rezolvare:
  În triunghiul $AOB$, laturile $OA$ și $OB$ sunt raze ale cercului circumscris, deci $OA=OB$, ceea ce înseamnă că triunghiul $AOB$ este isoscel de vârf $O$.
  Astfel, $\sphericalangle OAB=\sphericalangle ABO=30^{\circ }$.
  Unghiul la centru are măsura:
  $$\sphericalangle AOB=180^{\circ }-(30^{\circ }+30^{\circ })=120^{\circ }$$
  Măsura arcului mic $AB$ este egală cu măsura unghiului la centru, adică $\widehat{AB}=120^{\circ }$.
  Unghiul $\sphericalangle ACB$ este unghi înscris în cerc care subîntinde arcul mic $AB$, deci măsura sa este jumătate din măsura arcului subîntins:
  $$\sphericalangle ACB=\frac{\widehat{AB}}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$
• Răspuns corect: b) (5p)

---

Subiectul al II-lea, 6)

• Rezolvare:
  Trebuie să găsim măsura unghiului dintre dreptele $AC$ și $C^{\prime }{D}^{\prime }$.
  În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, muchia $C^{\prime }{D}^{\prime }$ este paralelă cu muchia $CD$ ($C^{\prime }{D}^{\prime }\parallel CD$).
  Prin urmare:
  $$\sphericalangle (AC,C^{\prime }{D}^{\prime })=\sphericalangle (AC,CD)=\sphericalangle ACD$$
  În pătratul bazei $ABCD$, diagonala $AC$ este și bisectoarea unghiului drept $\sphericalangle BCD$.
  Deci $\sphericalangle ACD=45^{\circ }$.
• Răspuns corect: b) (5p)

---

SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)

Subiectul al III-lea, 1)

a)

• Fie $x$ suma inițială de bani pe care o are Maria.
• În prima zi cheltuiește $\frac{x}{4}$. Suma rămasă după prima zi este:
  $$x-\frac{x}{4}=\frac{3x}{4}$$
• În a doua zi cheltuiește un sfert din suma rămasă, adică:
  $$\frac{1}{4}\cdot \frac{3x}{4}=\frac{3x}{16}$$
• Comparăm sumele cheltuite în cele două zile:
  $$\frac{x}{4}=\frac{4x}{16}>\frac{3x}{16}$$
• Concluzie: Nu este posibil ca Maria să fi cheltuit în a doua zi mai mult decât în prima zi, deoarece suma cheltuită în a doua zi este mai mică decât cea din prima zi. (1p)

b)

• Scriem ecuația corespunzătoare sumelor cheltuite și a celei rămase la final:
  Suma cheltuită în prima zi este $\frac{x}{4}$, în a doua zi $\frac{3x}{16}$, în a treia zi $45$ lei, iar suma rămasă este $\frac{x}{4}$:
  $$\frac{x}{4}+\frac{3x}{16}+45+\frac{x}{4}=x$$ (1p)
• Aducem termenii la același numitor:
  $$\frac{4x}{16}+\frac{3x}{16}+\frac{4x}{16}+45=x⟺\frac{11x}{16}+45=x$$ (1p)
• Rezolvăm ecuația:
  $$x-\frac{11x}{16}=45⟺\frac{5x}{16}=45⟺x=\frac{45\cdot 16}{5}=9\cdot 16=144\text{ lei}$$
  Suma inițială de bani a Mariei a fost de $144$ lei. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)

• Descompunem numitorul comun: $x^2-4=(x-2)(x+2)$.
• Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun $(x-2)(x+2)$:
  $$\frac{7}{x^2-4}+\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x+2}=\frac{7+2(x+2)+3(x-2)}{(x-2)(x+2)}$$ (1p)
• Desfăcut parantezele la numărător:
  $$7+2x+4+3x-6=5x+5=5(x+1)$$
  Așadar:
  $$\frac{7}{x^2-4}+\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x+2}=\frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}$$, pentru orice $x\in \mathbb{R}\setminus \{-2,2\}$. (1p)

b)

• Rescriem expresia $E(x)$ folosind rezultatul de la punctul a) și formula $x^2+2x+1=(x+1{)}^2$:
  $$E(x)=\frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}:\frac{5(x+1{)}^2}{x-2}=\frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)}\cdot \frac{x-2}{5(x+1{)}^2}$$
  Simplificând prin $5$, $x-2$ și $x+1$, obținem:
  $$E(x)=\frac{1}{(x+2)(x+1)}$$ (1p)
• Ecuația dată este $E(n)=\frac{1}{6}$:
  $$\frac{1}{(n+2)(n+1)}=\frac{1}{6}⟹(n+1)(n+2)=6$$ (1p)
• Deoarece $n\in \mathbb{N}$, numerele $n+1$ și $n+2$ sunt două numere naturale consecutive al căror produs este $6=2\cdot 3$:
  $$n+1=2⟹n=1$$
  (Verificare: $(1+1)(1+2)=2\cdot 3=6$ și $1\ne 2$, deci este soluție validă). (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)

• Calculăm valorile funcției în cele două puncte:
  $$f(-1)=\frac{3}{2}(-1)+3=-\frac{3}{2}+3=\frac{3}{2}$$ (1p)
  $$f(1)=\frac{3}{2}(1)+3=\frac{3}{2}+3=\frac{9}{2}$$
  Calculăm suma:
  $$f(-1)+f(1)=\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=\frac{12}{2}=6$$ (1p)

b)

• Aflăm coordonatele punctelor de intersecție cu axele:
  • Cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹\frac{3}{2}x+3=0⟹x=-2$, deci $A(-2,0)$.
  • Cu axa $Oy$: $f(0)=3$, deci $B(0,3)$. (1p)
• Calculăm lungimea segmentului $AB$ în triunghiul dreptunghic $AOB$ (cu $O$ originea sistemului de axe, $OA=2$, $OB=3$):
  $$AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{(-2{)}^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$$ (1p)
• Observăm coordonatele punctului $C(2,3)$. Deoarece $B(0,3)$ și $C(2,3)$ au aceeași ordonată $y=3$, segmentul $BC$ este orizontal și paralel cu axa $Ox$, având lungimea:
  $$BC=2-0=2$$
  Înălțimea din $A(-2,0)$ pe dreapta orizontală $BC$ este egală cu diferența ordonatelor: $h_A=3-0=3$.
  Aria triunghiului $ABC$ este:
  $${\mathcal{A}}_{\Delta ABC}=\frac{BC\cdot d(A,BC)}{2}=\frac{2\cdot 3}{2}=3$$
  Pe de altă parte, exprimând aria în funcție de baza $AB$ și înălțimea corespunzătoare $d(C,AB)$:
  $${\mathcal{A}}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot d(C,AB)}{2}=\frac{\sqrt{13}\cdot d(C,AB)}{2}$$
  Egalând cele două exprimări ale ariei:
  $$\frac{\sqrt{13}\cdot d(C,AB)}{2}=3⟹d(C,AB)=\frac{6}{\sqrt{13}}=\frac{6\sqrt{13}}{13}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)

• În triunghiul $ABC$, dreptunghic isoscel în $A$, $O$ este mijlocul ipotenuzei $BC$.
  Mediana $AO$ corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din ipotenuză:
  $$AO=\frac{BC}{2}$$ (1p)
• În triunghiul $BCD$, dreptunghic în $D$, măsura unghiului $\sphericalangle BCD=60^{\circ }$, deci măsura celuilalt unghi ascuțit este:
  $$\sphericalangle DBC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$$
  Conform teoremei unghiului de $30^{\circ }$, cateta $CD$ opusă unghiului de $30^{\circ }$ este egală cu jumătate din ipotenuza $BC$:
  $$CD=\frac{BC}{2}$$
  Prin urmare, $AO=CD=\frac{BC}{2}$. (1p)

b)

• În triunghiul $BCD$, avem $\sphericalangle BCD=60^{\circ }$. Punctul $E\in BD$ astfel încât $\sphericalangle BCE=15^{\circ }$.
  Atunci:
  $$\sphericalangle ECD=\sphericalangle BCD-\sphericalangle BCE=60^{\circ }-15^{\circ }=45^{\circ }$$ (1p)
• Triunghiul $CDE$ este dreptunghic în $D$ (deoarece $E\in BD$ și $\sphericalangle BDC=90^{\circ }$), iar unghiul $\sphericalangle ECD=45^{\circ }$, deci triunghiul $CDE$ este dreptunghic isoscel cu $CD=DE$.
  Ipotenuza este:
  $$CE=CD\sqrt{2}$$ (1p)
• Pe de altă parte, în triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$, cu $AB=AC$, avem:
  $$BC=AB\sqrt{2}⟹AB=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{BC\sqrt{2}}{2}$$
  Dar de la punctul a) știm că $CD=\frac{BC}{2}$, deci:
  $$CE=CD\sqrt{2}=\frac{BC}{2}\sqrt{2}=\frac{BC\sqrt{2}}{2}$$
  De unde rezultă că $AB=CE$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)

• În dreptunghiul $ABCD$, laturile opuse sunt paralele, deci $AB\parallel CD$. Cum $M\in AB$, avem $AM\parallel CD$.
• Conform teoremei fundamentale a asemănării în triunghiul format de diagonale sau direct prin unghiuri alterne interne egale:
  $$\Delta APM\sim \Delta CPD$$ (1p)
• Raportul de asemănare este:
  $$\frac{AP}{CP}=\frac{AM}{CD}$$
  Cum $M$ este mijlocul lui $AB$, $AM=\frac{AB}{2}=\frac{CD}{2}$, deci $\frac{AM}{CD}=\frac{1}{2}$.
  Rezultă $\frac{AP}{CP}=\frac{1}{2}⟹CP=2\cdot AP$. (1p)

b)

• În triunghiul dreptunghic $ABC$ (dreptunghic în $B$), aplicând teorema lui Pitagora:
  $$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\text{ cm}$$ (1p)
• Din $CP=2AP$ și $AP+CP=AC=3\sqrt{5}\text{ cm}$, obținem:
  $$AP=\sqrt{5}\text{ cm}\text{și}CP=2\sqrt{5}\text{ cm}$$
• Punctul $T$ este mijlocul segmentului $CP$, prin urmare:
  $$CT=TP=\frac{CP}{2}=\sqrt{5}\text{ cm}$$
• Analizăm triunghiurile dreptunghice din dreptunghi:
  • În $\Delta ADM$: $AD=3$, $AM=3$, deci este isoscel cu $\sphericalangle AMD=45^{\circ }$.
  • În $\Delta BCM$: $BC=3$, $BM=3$, deci este isoscel cu $\sphericalangle BMC=45^{\circ }$.
  • Unghiul format pe latura $AB$ este:
    $$\sphericalangle PMC=180^{\circ }-(\sphericalangle AMD+\sphericalangle BMC)=180^{\circ }-(45^{\circ }+45^{\circ })=90^{\circ }$$ (1p)
• Astfel, triunghiul $PMC$ este dreptunghic în $M$ (adică $\sphericalangle PMC=90^{\circ }$).
• În triunghiul dreptunghic $PMC$, $MT$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei $CP$.
  Conform teoremei medianei în triunghiul dreptunghic:
  $$MT=\frac{CP}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}\text{ cm}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)

• În piramida regulată $VABCD$, baza $ABCD$ este pătrat cu latura $AB=12\text{ cm}$.
  Aria bazei este:
  $${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2=12^2=144{\text{ cm}}^2$$
• Fie $O$ centrul bazei ($AC\cap BD=\{O\}$). Înălțimea piramidei este segmentul $VO$, $VO\perp (ABC)$.
  Diagonala bazei este $AC=12\sqrt{2}\text{ cm}$, deci $AO=\frac{AC}{2}=6\sqrt{2}\text{ cm}$.
  În triunghiul dreptunghic $VOA$:
  $$VO=\sqrt{V{A}^2-A{O}^2}=\sqrt{12^2-(6\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{144-72}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\text{ cm}$$ (1p)
• Volumul piramidei este:
  $$V=\frac{{\mathcal{A}}_{ABCD}\cdot VO}{3}=\frac{144\cdot 6\sqrt{2}}{3}=144\cdot 2\sqrt{2}=288\sqrt{2}{\text{ cm}}^3$$ (1p)

b)

• Deoarece $N$ este proiecția lui $M$ pe planul $(ABC)$, iar $VO\perp (ABC)$, avem $MN\parallel VO$.
  Cum $M$ este mijlocul muchiei $VA$, $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $VOA$, deci $N$ este mijlocul segmentului $AO$, iar lungimea segmentului $MN$ este:
  $$MN=\frac{VO}{2}=\frac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}\text{ cm}$$
• Construim perpendiculara din $N$ pe planul $(VAD)$:
  • $MN\perp (ABC)$ și $AD\subset (ABC)⟹MN\perp AD$.
  • Fie $Q\in AD$ astfel încât $NQ\perp AD$.
  • Cum $AD\perp MN$ și $AD\perp NQ$, rezultă $AD\perp (QNM)$. (1p)
  • În planul $(QNM)$, ducem $NT\perp MQ$, cu $T\in MQ$.
  • Deoarece $AD\perp (QNM)$ și $NT\subset (QNM)$, rezultă $AD\perp NT$.
  • Avem $NT\perp MQ$ și $NT\perp AD$, iar $MQ\cap AD=\{Q\}$, deci $NT\perp (VAD)$.
  • Prin urmare, $T$ este proiecția punctului $N$ pe planul $(VAD)$.
  • Deoarece $M\in (VAD)$, proiecția segmentului $MN$ pe planul $(VAD)$ este segmentul $MT$.
  • Unghiul dintre dreapta $MN$ și planul $(VAD)$ este:
    $$\sphericalangle (MN,(VAD))=\sphericalangle (MN,MT)=\sphericalangle NMQ$$ (deoarece triunghiul $MNQ$ este dreptunghic în $N$). (1p)
• Determinăm lungimea segmentului $NQ$:
  • Punctul $O$ se află la distanța $\frac{AB}{2}=6\text{ cm}$ față de latura $AD$.
  • Deoarece $N$ este mijlocul lui $AO$, distanța de la $N$ la $AD$, adică $NQ$, este jumătate din distanța de la $O$ la $AD$:
    $$NQ=\frac{6}{2}=3\text{ cm}$$
• Deoarece $MN\perp (ABC)$ și $NQ\subset (ABC)$, rezultă că $MN\perp NQ$, adică $\Delta MNQ$ este dreptunghic în $N$.
  Tangenta unghiului $\sphericalangle NMQ$ este:
  $$\mathrm{tg}(\sphericalangle NMQ)=\frac{\text{cateta opusa˘}}{\text{cateta ala˘turata˘}}=\frac{NQ}{MN}=\frac{3}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$ (1p)

EVALUAREA NAȚIONALĂ PENTRU ABSOLVENȚII CLASEI a VIII-a

Anul școlar 2025 – 2026

Probă scrisă la matematică

Varianta 5

---

• Toate subiectele sunt obligatorii.
• Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de două ore.

---

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $27-24:3$ este egal cu:

• a) $19$
• b) $17$
• c) $1$
• d) $0$

5p 2. Știind că $\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=5$, rezultatul calculului $a+b$ este egal cu:

• a) $7$
• b) $10$
• c) $12$
• d) $35$

5p 3. Soluția ecuației $5-x=5$ este numărul:

• a) $-10$
• b) $-1$
• c) $0$
• d) $10$

5p 4. Inversul numărului $\frac{5}{9}$ este numărul:

• a) $-\frac{9}{5}$
• b) $-\frac{5}{9}$
• c) $\frac{5}{9}$
• d) $\frac{9}{5}$

5p 5. Patru elevi, Mihai, Cristina, Ionuț și Ana, calculează produsul numerelor $a=5-2\sqrt{6}$ și $b=5+2\sqrt{6}$. Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Mihai	Cristina	Ionuț	Ana
$10$	$1$	$4\sqrt{6}$	$10+4\sqrt{6}$

Conform informațiilor din tabel, rezultatul corect a fost obținut de:

• a) Mihai
• b) Cristina
• c) Ionuț
• d) Ana

5p 6. Un telefon care costă $1000$ de lei se scumpește cu $20\%$. Matei afirmă: „Noul preț al telefonului este $1200$ de lei.”. Afirmația lui Matei este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată, punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine. Dacă $AB=2\text{ cm}$, $CD=2\cdot AB$ și $AD=9\text{ cm}$, atunci lungimea segmentului $BC$ este egală cu:

[Figura: Segmentul de dreaptă AD cu punctele A, B, C, D în această ordine]

• a) $3\text{ cm}$
• b) $5\text{ cm}$
• c) $6\text{ cm}$
• d) $7\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile congruente $AOB$, $BOC$ și $COA$. Semidreapta $OD$ este bisectoarea unghiului $AOB$ și semidreapta $OE$ este bisectoarea unghiului $DOB$. Măsura unghiului $EOC$ este egală cu:

[Figura: Trei unghiuri congruente în jurul punctului O, cu bisectoarea OD a unghiului AOB și semidreapta OE bisectoarea unghiului DOB]

• a) $60^{\circ }$
• b) $90^{\circ }$
• c) $120^{\circ }$
• d) $150^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=4\text{ cm}$ și măsura unghiului $C$ este egală cu $30^{\circ }$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$. Perimetrul triunghiului $ABM$ este egal cu:

[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu unghiul A drept, unghiul C de 30 de grade și mediana AM corespunzătoare ipotenuzei BC]

• a) $\sqrt{3}\text{ cm}$
• b) $6\text{ cm}$
• c) $8\text{ cm}$
• d) $6\sqrt{3}\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$, cu $AB\parallel CD$ și $AD=BC=DC$. Măsura unghiului $DAC$ este egală cu $20^{\circ }$. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

[Figura: Trapezul isoscel ABCD cu baza mare AB, baza mică CD, diagonala AC trasată și AD = BC = CD]

• a) $20^{\circ }$
• b) $30^{\circ }$
• c) $40^{\circ }$
• d) $60^{\circ }$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, înscris în cercul de centru $O$. Dacă măsura unghiului $ABO$ este egală cu $30^{\circ }$, atunci măsura unghiului $ACB$ este egală cu:

[Figura: Cerc de centru O cu triunghiul înscris ABC și raza OB, OA formând triunghiul isoscel AOB]

• a) $30^{\circ }$
• b) $60^{\circ }$
• c) $90^{\circ }$
• d) $120^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Măsura unghiului dreptelor $AC$ și $C^{\prime }{D}^{\prime }$ este egală cu:

[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D' cu segmentele AC și C'D' evidențiate]

• a) $30^{\circ }$
• b) $45^{\circ }$
• c) $60^{\circ }$
• d) $90^{\circ }$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Maria are o sumă de bani. În prima zi cheltuiește un sfert din această sumă. În a doua zi cheltuiește un sfert din suma rămasă. În a treia zi, Maria cheltuiește $45$ de lei și constată că i-a rămas un sfert din suma de bani pe care a avut-o inițial.

(2p) a) Este posibil ca Maria să fi cheltuit în a doua zi mai mult decât în prima zi? Justifică răspunsul dat.

(3p) b) Determină suma de bani pe care a avut-o Maria inițial.

5p 2. Se consideră expresia
$$E(x)=\left(\frac{7}{x^2-4}+\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x+2}\right):\frac{5(x^2+2x+1)}{x-2},$$
unde $x$ este număr real, $x\ne -2$, $x\ne -1$ și $x\ne 2$.

(2p) a) Arată că
$$\frac{7}{x^2-4}+\frac{2}{x-2}+\frac{3}{x+2}=\frac{5(x+1)}{(x-2)(x+2)},$$
pentru orice număr real $x$, $x\ne -2$ și $x\ne 2$.

(3p) b) Determină numărul natural $n$, $n\ne 2$, pentru care $E(n)=\frac{1}{6}$.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3}{2}x+3$.

(2p) a) Arată că $f(-1)+f(1)=6$.

(3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $A$, respectiv $B$. Arată că distanța de la punctul $C(2,3)$ la dreapta $AB$ este egală cu $\frac{6\sqrt{13}}{13}$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic isoscel $ABC$, cu $AB=AC$. Punctul $O$ este mijlocul laturii $BC$, iar punctele $A$ și $D$ sunt de o parte și de alta a dreptei $BC$, astfel încât $\sphericalangle BDC=90^{\circ }$ și $\sphericalangle BCD=60^{\circ }$.

[Figura: Triunghiul dreptunghic isoscel ABC unit prin latura comună BC cu triunghiul dreptunghic BDC, O fiind mijlocul lui BC, iar E pe segmentul BD]

(2p) a) Demonstrează că $AO=CD$.

(3p) b) Arată că $AB=CE$, unde punctul $E$ aparține segmentului $BD$, astfel încât $\sphericalangle BCE=15^{\circ }$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=6\text{ cm}$ și $BC=3\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$, iar dreptele $AC$ și $DM$ se intersectează în punctul $P$.

[Figura: Dreptunghiul ABCD cu punctul M mijlocul lui AB, segmentele AC și DM intersectându-se în P, și punctul T pe CP]

(2p) a) Arată că $CP=2\cdot AP$.

(3p) b) Determină lungimea segmentului $MT$, unde punctul $T$ este mijlocul segmentului $CP$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentată piramida regulată $VABCD$, cu baza $ABCD$, $VA=AB=12\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul muchiei $VA$, iar punctul $N$ este proiecția punctului $M$ pe planul $(ABC)$.

[Figura: Piramida patrulateră regulată VABCD, M mijlocul muchiei laterale VA, N proiecția lui M pe baza ABCD]

(2p) a) Arată că volumul piramidei $VABCD$ este egal cu $288\sqrt{2}{\text{ cm}}^3$.

(3p) b) Determină tangenta unghiului dintre dreapta $MN$ și planul $(VAD)$.