Evaluare Națională 2024, matematică: simulare națională

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: a)

Rezolvare:
Efectuăm mai întâi scăderea din paranteză:
$$25-5=20$$
Apoi efectuăm înmulțirea:
$$2\cdot 20=40$$
În final, scăderea:
$$52-40=12$$

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: d)

Rezolvare:
Folosind proprietatea fundamentală a proporțiilor (produsul mezilor este egal cu produsul extremilor):
$$3(x-2)=5y$$
$$3x-6=5y$$
Trecem $5y$ în membrul stâng și $-6$ în membrul drept:
$$3x-5y=6$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: c)

Rezolvare:
Intersecția mulțimilor $A$ și $B$ este formată din elementele comune ambelor mulțimi:
$$A=\{1,2,3,4,5,6\}$$
$$B=\{0,2,4,6,8\}$$
Elementele comune sunt $2,4,6$, prin urmare:
$$A\cap B=\{2,4,6\}$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: d)

Rezolvare:
Rezolvăm inecuația:
$$2x+2\ge 4$$
$$2x\ge 4-2$$
$$2x\ge 2$$
$$x\ge 1$$
Mulțimea soluțiilor este intervalul $[1,+\infty )$.

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: d)

Rezolvare:
Calculăm numărul $a$:
Deoarece $2=\sqrt{4}$ și $4\sqrt{3}=\sqrt{48}$, avem $2<4\sqrt{3}$, deci $2-4\sqrt{3}<0$.
Prin urmare:
$$|2-4\sqrt{3}|=-(2-4\sqrt{3})=4\sqrt{3}-2$$
Apoi:
$$2(\sqrt{12}+1)=2(2\sqrt{3}+1)=4\sqrt{3}+2$$
Adunând cele două expresii:
$$a=(4\sqrt{3}-2)+(4\sqrt{3}+2)=8\sqrt{3}$$
Elevul care a obținut $8\sqrt{3}$ este Vlad.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: a)

Rezolvare:
Numărul total de elevi este:
$$1+3+6+5+5+6+4=30\text{ elevi}$$
Numărul de elevi care au obținut cel puțin nota 8 (adică notele 8, 9 și 10):
$$5+6+4=15\text{ elevi}$$
Deoarece $15$ reprezintă exact jumătatea din $30$ ($30:2=15$), afirmația este adevărată.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: d)

Rezolvare:
Avem $AB=2\text{ cm}$.
$BC=2AB=2\cdot 2=4\text{ cm}$.
$CD=2BC=2\cdot 4=8\text{ cm}$.
Punctul $M$ este mijlocul lui $AB$, deci $MB=\frac{AB}{2}=\frac{2}{2}=1\text{ cm}$.
Punctul $N$ este mijlocul lui $CD$, deci $CN=\frac{CD}{2}=\frac{8}{2}=4\text{ cm}$.
Lungimea segmentului $MN$ este:
$$MN=MB+BC+CN=1+4+4=9\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: b)

Rezolvare:
Unghiurile $AOB$ și $BOC$ sunt complementare, deci $\sphericalangle AOB+\sphericalangle BOC=90^{\circ }$.
$OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$, deci $\sphericalangle AOM=\frac{\sphericalangle AOB}{2}$.
Din enunț avem $\sphericalangle BOC=3\cdot \sphericalangle AOM=3\cdot \frac{\sphericalangle AOB}{2}=\frac{3}{2}\sphericalangle AOB$.
Înlocuim în relația de complementaritate:
$$\sphericalangle AOB+\frac{3}{2}\sphericalangle AOB=90^{\circ }$$
$$\frac{5}{2}\sphericalangle AOB=90^{\circ }⟹\sphericalangle AOB=\frac{90^{\circ }\cdot 2}{5}=36^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: c)

Rezolvare:
Dreapta $DE$ este paralelă cu $BC$.
Unghiul $\sphericalangle DIB$ și unghiul $\sphericalangle IBC$ sunt alterne interne, deci congruente: $\sphericalangle DIB=\sphericalangle IBC$.
Deoarece $BI$ este bisectoare, $\sphericalangle DBI=\sphericalangle IBC$, de unde $\sphericalangle DIB=\sphericalangle DBI$.
Rezultă că $△DIB$ este isoscel, deci $DI=DB$.
Analog, $\sphericalangle EIC=\sphericalangle ICB=\sphericalangle ECI$, deci $△EIC$ este isoscel cu $EI=EC$.
Perimetrul triunghiului $ADE$ este:
$$P_{△ADE}=AD+AE+DE=AD+AE+(DI+IE)=(AD+DB)+(AE+EC)=AB+AC$$
$$P_{△ADE}=10+12=22\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: c)

Rezolvare:
În $△BEC$ dreptunghic în $E$, $EF$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei $BC$.
Prin urmare, $BC=2\cdot EF=2\cdot 4=8\text{ cm}$, deci $FC=4\text{ cm}$.
În dreptunghiul $ABCD$, avem $AD=BC=8\text{ cm}$ și $CD=AB=3\sqrt{2}\text{ cm}$.
Patrulaterul $AFCD$ are laturile $AD\parallel FC$ (deoarece $AD\parallel BC$ și $F\in BC$), iar $CD\perp AD$, $CD\perp BC$, deci $AFCD$ este trapez dreptunghic cu bazele $AD$ și $FC$ și înălțimea $CD$.
Aria trapezului este:
$${\mathcal{A}}_{AFCD}=\frac{(AD+FC)\cdot CD}{2}=\frac{(8+4)\cdot 3\sqrt{2}}{2}=\frac{12\cdot 3\sqrt{2}}{2}=18\sqrt{2}{\text{ cm}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: c)

Rezolvare:
Dreapta $PA$ este tangentă la cerc în $A$, deci raza $OA\perp PA$, adică $△OAP$ este dreptunghic în $A$.
Cunoaștem cateta $OA=3\text{ cm}$ și ipotenuza $OP=6\text{ cm}$.
Deoarece cateta $OA$ este jumătate din ipotenuza $OP$ ($3=\frac{6}{2}$), unghiul opus ei are măsura de $30^{\circ }$, adică $\sphericalangle OPA=30^{\circ }$.
Rezultă $\sphericalangle AOP=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$.
Din simetrie (sau triunghiuri congruente $△OAP\equiv △OBP$), avem și $\sphericalangle BOP=60^{\circ }$.
Astfel, unghiul la centru are măsura:
$$\sphericalangle AOB=\sphericalangle AOP+\sphericalangle BOP=60^{\circ }+60^{\circ }=120^{\circ }$$
Măsura arcului mic $AB$ este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător, deci $120^{\circ }$.

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: d)

Rezolvare:
În triunghiul $VDB$, punctul $O$ este mijlocul diagonalei $BD$ a bazei, iar $M$ este mijlocul muchiei laterale $VB$.
Rezultă că $OM$ este linie mijlocie în triunghiul $VDB$, deci $OM\parallel VD$.
Unghiul dintre dreptele $OM$ și $CD$ este egal cu unghiul dintre dreptele $VD$ și $CD$, adică $\sphericalangle VDC$.
În fața laterală $VDC$, avem muchiile laterale egale cu muchiile bazei: $VD=VC=VA=AB=CD$.
Așadar, triunghiul $VDC$ este echilateral, deci toate unghiurile sale au măsura de $60^{\circ }$.
Prin urmare, măsura unghiului dintre $OM$ și $CD$ este $60^{\circ }$.

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)
Împărțim numărul 53 la numerele menționate în enunț:
$53:18=2$ rest $17$ (1p)
Deoarece restul obținut este $17$, iar $17\ne 5$, Maria nu poate avea în bibliotecă 53 de cărți (1p).

b)
Fie $n$ numărul cărților din bibliotecă. Din teorema împărțirii cu rest, avem:
$n=8c_1+5=12c_2+5=18c_3+5$, unde $c_1,c_2,c_3$ sunt numere naturale (1p)
Scăzând 5, obținem că $n-5$ este multiplu comun al numerelor 8, 12 și 18.
Calculăm cel mai mic multiplu comun:
$8=2^3$, $12=2^2\cdot 3$, $18=2\cdot 3^2⟹[8,12,18]=2^3\cdot 3^2=72$.
Deci $n-5=72k$, de unde $n=72k+5$, unde $k\in \mathbb{N}$ (1p).
Căutăm cel mai mic număr natural de trei cifre:

• Pentru $k=1⟹n=72\cdot 1+5=77$ (are două cifre);
• Pentru $k=2⟹n=72\cdot 2+5=144+5=149$ (are trei cifre).
  Deci numărul cărților este $n=149$ (1p).

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)
Calculăm $E(0)$ înlocuind pe $x$ cu $0$:
$$E(0)=(2\cdot 0+3{)}^2+(0-2)(0+2)-3(1-0)+2$$ (1p)
$$E(0)=3^2+(-2)\cdot 2-3\cdot 1+2=9-4-3+2=4$$ (1p).

b)
Dezvoltăm expresia $E(n)$ pentru orice număr natural $n$:
$E(n)=(4n^2+12n+9)+(n^2-4)-3+3n+2=5n^2+15n+4$ (1p)
Atunci numărul $N$ este:
$N=E(n)+6=5n^2+15n+4+6=5n^2+15n+10$
Factorizăm expresia:
$N=5(n^2+3n+2)=5(n+1)(n+2)$ (1p)
Numerele $n+1$ și $n+2$ sunt două numere naturale consecutive, deci produsul lor este divizibil cu 2 (unul dintre factori este număr par).
Deoarece $(n+1)(n+2)$ este divizibil cu 2, rezultă că $N=5(n+1)(n+2)$ este divizibil cu $5\cdot 2=10$, pentru orice număr natural $n$ (1p).

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)
Aducem la numitor comun paranteza din expresia lui $a$:
$$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3+2+1}{6}=\frac{6}{6}=1$$
Împărțirea din termenul al doilea:
$$\frac{2}{3}:\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{1}=2$$ (1p)
Atunci:
$$a=5\cdot 1-2=5-2=3$$ (1p).

b)
Calculăm numărul $b$:
$$3\cdot 3^2\cdot 3^3\cdot 3^4=3^{1+2+3+4}=3^{10}$$
$$9^4=(3^2{)}^4=3^8⟹3^{10}:3^8=3^2=9$$
$$25^4=(5^2{)}^4=5^8⟹5^8:5^7=5^1=5$$
Deci $b=9-5=4$ (1p).

Numerele $\overline{ac}$ și $\overline{cb}$ sunt direct proporționale cu 4 și 3, adică:
$$\frac{\overline{ac}}{4}=\frac{\overline{cb}}{3}$$ (1p)
Știind că $a=3$ și $b=4$, avem $\frac{\overline{3c}}{4}=\frac{\overline{c4}}{3}$.
$$3\cdot \overline{3c}=4\cdot \overline{c4}$$
$$3(30+c)=4(10c+4)$$
$$90+3c=40c+16$$
$$37c=74⟹c=2$$
Obținem numărul $\overline{abc}=342$ (1p).

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)
În triunghiul dreptunghic $ABC$, cu $\sphericalangle B=40^{\circ }$ și $BE$ bisectoarea unghiului $B$, avem:
$$\sphericalangle ABE=\sphericalangle EBC=\frac{40^{\circ }}{2}=20^{\circ }$$
În triunghiul dreptunghic $MDB$ (dreptunghic în $D$, deoarece $AD\perp BC$), avem:
$$\sphericalangle BMD=90^{\circ }-\sphericalangle MBD=90^{\circ }-20^{\circ }=70^{\circ }$$ (1p)
Unghiurile $\sphericalangle EMA$ și $\sphericalangle BMD$ sunt opuse la vârf, prin urmare:
$$\sphericalangle EMA=\sphericalangle BMD=70^{\circ }$$ (1p).

b)
Avem $EF\perp BC$ și $AD\perp BC$, de unde rezultă $EF\parallel AD$, adică $EF\parallel AM$ (1p).
În triunghiul dreptunghic $ABE$ (cu $\sphericalangle A=90^{\circ }$), unghiul $\sphericalangle AEB=90^{\circ }-20^{\circ }=70^{\circ }$.
Deoarece $\sphericalangle AEM=70^{\circ }$ și $\sphericalangle EMA=70^{\circ }$, triunghiul $AEM$ este isoscel, deci $AE=AM$ (1p).
Triunghiurile dreptunghice $△EFB$ și $△EAB$ sunt congruente (cazul I.U.: ipotenuza comună $BE$ și $\sphericalangle EBF=\sphericalangle EBA=20^{\circ }$), de unde $EF=EA$.
Din $EF=EA$ și $AE=AM$, rezultă că $EF=AM$.
Cum $EF\parallel AM$ și $EF=AM$, patrulaterul $AMFE$ este paralelogram.
Deoarece are două laturi consecutive egale ($AE=AM$), $AMFE$ este romb (1p).

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)
Punctul $P\in AB$, deci $AB=AP+PB$.
Cum $PB=2AP$, obținem $AB=AP+2AP=3AP$ (1p).
$3AP=15\text{ cm}⟹AP=\frac{15}{3}=5\text{ cm}$ (1p).

b)
În paralelogramul $ABCD$, laturile opuse sunt paralele și egale: $CD\parallel AB$, $CD=AB=15\text{ cm}$.
Deoarece $AP\parallel CD$, triunghiurile $ANP$ și $CND$ sunt asemenea ($△ANP\sim △CND$):
$$\frac{AN}{CN}=\frac{NP}{ND}=\frac{AP}{CD}=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$$
De aici, $CN=3AN$, deci $AC=AN+CN=4AN$, de unde $AN=\frac{AC}{4}$.
Punctul $O$ fiind mijlocul diagonalei $AC$, avem $AO=\frac{AC}{2}=2AN$, de unde rezultă că $NO=AO-AN=AN$ (1p).

Fie $PS\perp AC$, cu $S\in AC$ și $DV\perp AC$, cu $V\in AC$.
Triunghiurile dreptunghice $△SNP$ și $△VND$ sunt asemenea (au unghiurile opuse la vârf congruente: $\sphericalangle SNP=\sphericalangle VND$), deci:
$$\frac{PS}{DV}=\frac{NP}{ND}=\frac{1}{3}$$ (1p)
Aria triunghiului $ANP$ este ${\mathcal{A}}_{ANP}=\frac{AN\cdot PS}{2}$, iar aria triunghiului $DNO$ este ${\mathcal{A}}_{DNO}=\frac{NO\cdot DV}{2}$.
Raportul ariilor este:
$$\frac{{\mathcal{A}}_{ANP}}{{\mathcal{A}}_{DNO}}=\frac{\frac{AN\cdot PS}{2}}{\frac{NO\cdot DV}{2}}=\frac{AN}{NO}\cdot \frac{PS}{DV}$$
Cum $AN=NO$, raportul devine:
$$\frac{{\mathcal{A}}_{ANP}}{{\mathcal{A}}_{DNO}}=1\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{3}$$ (1p).

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)
În triunghiul $A{A}^{\prime }{D}^{\prime }$, $M$ este mijlocul segmentului $A{A}^{\prime }$ și $N$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }{D}^{\prime }$.
Rezultă că $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $A{A}^{\prime }{D}^{\prime }$, deci $MN=\frac{A{D}^{\prime }}{2}$ (1p).
În triunghiul $AD{D}^{\prime }$, $P$ este mijlocul segmentului $D{D}^{\prime }$ și $Q$ este mijlocul segmentului $AD$.
Rezultă că $PQ$ este linie mijlocie în triunghiul $AD{D}^{\prime }$, deci $PQ=\frac{A{D}^{\prime }}{2}$.
Prin urmare, $MN=PQ$ (1p).

b)
Din proprietățile liniilor mijlocii avem $MN\parallel A{D}^{\prime }$ și $PQ\parallel A{D}^{\prime }$, de unde $MN\parallel PQ$ (1p).
În pătratul $A{A}^{\prime }{D}^{\prime }D$, segmentele $AM$ și $DP$ sunt paralele și egale ($AM=DP=\frac{A{A}^{\prime }}{2}$), deci $MP\parallel AD$ și $MP=AD$.
În cubul dat, $AD\parallel BC$ și $AD=BC$, prin urmare $MP\parallel BC$ și $MP=BC$, ceea ce înseamnă că patrulaterul $MPCB$ este paralelogram.
Rezultă că $PC\parallel MB$.
Avem:

• $MN\parallel PQ$, cu $MN\subset (MNB)$ și $PQ\subset (PQC)$;
• $MB\parallel PC$, cu $MB\subset (MNB)$ și $PC\subset (PQC)$;
• Dreptele $MN$ și $MB$ sunt concurente în $M$, iar dreptele $PQ$ și $PC$ sunt concurente în $P$.
  Rezultă că planul $(MNB)$ este paralel cu planul $(PQC)$ (1p).
  Punctul $T$ este mijlocul segmentului $PQ$, deci $T\in PQ\subset (PQC)$, de unde dreapta $CT\subset (PQC)$.
  Deoarece $(PQC)\parallel (MNB)$ și $CT\subset (PQC)$, rezultă că $CT\parallel (MNB)$ (1p).

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $52-2\cdot (25-5)$ este:
a) 12
b) 92
c) 100
d) 1000

5p 2. Dacă $\frac{x-2}{5}=\frac{y}{3}$, atunci rezultatul calculului $3x-5y$ este:
a) 0
b) 2
c) 5
d) 6

5p 3. Se consideră mulțimile $A=\{1,2,3,4,5,6\}$ și $B=\{0,2,4,6,8\}$. Intersecția mulțimilor $A$ și $B$ este mulțimea:
a) $\{0,2,4,6,8\}$
b) $\{0,1,2,3,4,5,6,8\}$
c) $\{2,4,6\}$
d) $\{0,2,4,6\}$

5p 4. Mulțimea soluțiilor reale ale inecuației $2x+2\ge 4$ este:
a) $(-\infty ,-1]$
b) $(-\infty ,1]$
c) $[-1,+\infty )$
d) $[1,+\infty )$

5p 5. Patru elevi, Ana, Ioan, Dana și Vlad determină numărul $a=|2-4\sqrt{3}|+2(\sqrt{12}+1)$. Rezultatele obținute de cei patru elevi sunt prezentate în tabelul de mai jos:

Ana	Ioan	Dana	Vlad
0	4	$4\sqrt{3}$	$8\sqrt{3}$

Conform informațiilor din tabel, elevul care a determinat corect numărul $a$ este:
a) Ana
b) Ioan
c) Dana
d) Vlad

5p 6. În diagrama de mai jos sunt prezentate rezultatele obținute de elevii unei clase, la un test de matematică.

[Figura: Diagramă cu bare reprezentând notele de la un test de matematică: Nota 4 (1 elev), Nota 5 (3 elevi), Nota 6 (6 elevi), Nota 7 (5 elevi), Nota 8 (5 elevi), Nota 9 (6 elevi), Nota 10 (4 elevi)]

Afirmația: „Conform informațiilor din diagramă, jumătate din numărul elevilor acestei clase a obținut la testul de matematică cel puțin nota 8.” este:
a) adevărată
b) falsă

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată punctele $A,B,C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine, astfel încât $BC=2AB$, $CD=2BC$ și $AB=2\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$ și punctul $N$ este mijlocul segmentului $CD$. Lungimea segmentului $MN$ este egală cu:
[Figura: O dreaptă pe care sunt coliniare, în ordine, punctele A, M, B, C, N, D]
a) $4\text{ cm}$
b) $5\text{ cm}$
c) $7\text{ cm}$
d) $9\text{ cm}$

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate unghiurile adiacente complementare $AOB$ și $BOC$. Semidreapta $OM$ este bisectoarea unghiului $AOB$ și $\sphericalangle BOC=3\cdot \sphericalangle AOM$. Măsura unghiului $AOB$ este egală cu:
[Figura: Unghiurile adiacente complementare AOB și BOC cu latura comună OB, semidreapta OM situată în interiorul unghiului AOB]
a) $18^{\circ }$
b) $36^{\circ }$
c) $40^{\circ }$
d) $54^{\circ }$

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu $AB=10\text{ cm}$ și $AC=12\text{ cm}$. Semidreapta $BI$ este bisectoarea unghiului $ABC$ și semidreapta $CI$ este bisectoarea unghiului $ACB$. Paralela prin punctul $I$ la dreapta $BC$ intersectează dreptele $AB$ și $AC$ în punctele $D$, respectiv $E$. Perimetrul triunghiului $ADE$ este egal cu:
[Figura: Triunghiul ABC cu bisectoarele BI și CI care se intersectează în I, și dreapta paralelă DE cu BC, D pe AB și E pe AC]
a) $11\text{ cm}$
b) $20\text{ cm}$
c) $22\text{ cm}$
d) $24\text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$, cu $AB=3\sqrt{2}\text{ cm}$ și triunghiul $BEC$ dreptunghic în $E$. Punctul $F$ este mijlocul segmentului $BC$ și $EF=4\text{ cm}$. Aria trapezului $AFCD$ este egală cu:
[Figura: Dreptunghiul ABCD, triunghiul BEC dreptunghic în E situat în exterior pe latura BC, F mijlocul lui BC, segmentul AF trasat]
a) $6\sqrt{2}{\text{ cm}}^2$
b) $12\sqrt{2}{\text{ cm}}^2$
c) $18\sqrt{2}{\text{ cm}}^2$
d) $24\sqrt{2}{\text{ cm}}^2$

5p 5. În figura alăturată este reprezentat cercul cu centrul în punctul $O$ și raza egală cu $3\text{ cm}$. Punctul $P$ este situat la o distanță de $6\text{ cm}$ de centrul cercului. Dreptele $PA$ și $PB$ sunt tangente la cerc în punctele $A$ și $B$. Măsura arcului mic $AB$ este egală cu:
[Figura: Cerc de centru O cu două tangente din punctul exterior P, atingând cercul în punctele A și B]
a) $60^{\circ }$
b) $90^{\circ }$
c) $120^{\circ }$
d) $150^{\circ }$

5p 6. În figura alăturată este reprezentată piramida patrulateră regulată $VABCD$ cu baza $ABCD$, $VA=AB$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $DB$. Dacă punctul $M$ este mijlocul segmentului $VB$, atunci măsura unghiului dreptelor $OM$ și $CD$ este egală cu:
[Figura: Piramidă patrulateră regulată VABCD, O centrul bazei ABCD, M mijlocul muchiei laterale VB]
a) $0^{\circ }$
b) $30^{\circ }$
c) $45^{\circ }$
d) $60^{\circ }$

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Maria aranjează cărțile din bibliotecă și observă că dacă le grupează câte 8, câte 12 sau câte 18 îi rămân de fiecare dată 5 cărți.
(2p) a) Verifică dacă Maria poate avea în bibliotecă 53 de cărți. Justifică răspunsul dat.
(3p) b) Determină numărul cărților din biblioteca Mariei, știind că acesta este cel mai mic număr natural de trei cifre cu proprietățile din enunț.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=(2x+3{)}^2+(x-2)(x+2)-3(1-x)+2$, unde $x$ este număr real.
(2p) a) Arată că $E(0)=4$.
(3p) b) Arată că numărul $N=E(n)+6$ este divizibil cu 10, pentru orice număr natural $n$.

5p 3. Se consideră numărul natural $\overline{abc}$ cu $a,b,c$ cifre nenule, unde $a=5\cdot \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)-\frac{2}{3}:\frac{1}{3}$ și $b=(3\cdot 3^2\cdot 3^3\cdot 3^4):9^4-25^4:5^7$.
(2p) a) Arată că $a=3$.
(3p) b) Determină numărul $\overline{abc}$, știind că numerele $\overline{ac}$ și $\overline{cb}$ sunt direct proporționale cu numerele 4 și 3.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul dreptunghic $ABC$, cu $\sphericalangle A=90^{\circ }$ și $\sphericalangle B=40^{\circ }$. Semidreapta $BE$ este bisectoarea unghiului $ABC$, punctul $E$ aparține segmentului $AC$. Perpendiculara din punctul $A$ pe $BC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $D$, iar perpendiculara din punctul $E$ pe $BC$ intersectează dreapta $BC$ în punctul $F$. Dreptele $BE$ și $AD$ se intersectează în punctul $M$.
[Figura: Triunghiul dreptunghic ABC cu A = 90°, înălțimea AD, bisectoarea BE a unghiului B, EF perpendiculară pe BC, intersecția dintre AD și BE notată cu M]
(2p) a) Arată că măsura unghiului $EMA$ este egală cu $70^{\circ }$.
(3p) b) Arată că patrulaterul $AMFE$ este romb.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat paralelogramul $ABCD$ cu $AB=15\text{ cm}$. Punctul $P$ aparține laturii $AB$, astfel încât $PB=2AP$ și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $BD$.
[Figura: Paralelogramul ABCD, diagonalele AC și BD intersectate în O, punctul P pe segmentul AB, segmentul DP intersectează AC în N]
(2p) a) Arată că lungimea segmentului $AP$ este egală cu $5\text{ cm}$.
(3p) b) Determină raportul dintre aria triunghiului $ANP$ și aria triunghiului $DNO$, unde $N$ este punctul de intersecție a dreptelor $AC$ și $DP$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Punctele $M,N,P$ și $Q$ sunt mijloacele segmentelor $A{A}^{\prime },A^{\prime }{D}^{\prime },D{D}^{\prime }$, respectiv $AD$.
[Figura: Cubul ABCDA'B'C'D', M mijlocul lui AA', N mijlocul lui A'D', P mijlocul lui DD', Q mijlocul lui AD, T mijlocul lui PQ, segmentele MN, PQ, CT și triunghiul MNB]
(2p) a) Arată că $MN=PQ$.
(3p) b) Știind că punctul $T$ este mijlocul segmentului $PQ$, demonstrează că dreapta $CT$ este paralelă cu planul $(MNB)$.