Evaluare Națională 2023, matematică: subiect de rezervă

Subiectul I, 1)

• Răspuns corect: c)
• Explicație: Se efectuează mai întâi înmulțirea, apoi adunarea:
  $$2+3\cdot 5=2+15=17$$

---

Subiectul I, 2)

• Răspuns corect: c)
• Explicație: Din proporția $\frac{1}{2}=\frac{a}{3}$, folosind produsul mezilor egal cu produsul extremilor, obținem:
  $$2a=1\cdot 3⟹a=\frac{3}{2}$$

---

Subiectul I, 3)

• Răspuns corect: a)
• Explicație: Produsul este:
  $$(-2)\cdot 7=-14$$

---

Subiectul I, 4)

• Răspuns corect: b)
• Explicație: Numărul zecimal finit $2,3$ se scrie ca fracție ordinară astfel:
  $$2,3=\frac{23}{10}$$

---

Subiectul I, 5)

• Răspuns corect: c)
• Explicație: Elevii care au obținut note mai mari sau egale cu 8 sunt cei cu notele 8, 9 și 10.
  Numărul lor este:
  $$6+4+1=11$$

---

Subiectul I, 6)

• Răspuns corect: a)
• Explicație: Introducem factorii sub radical:
  $$a=2\sqrt{3}=\sqrt{2^2\cdot 3}=\sqrt{12}$$
  $$b=3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}$$
  Deoarece $12<18$, avem $a<b$, prin urmare afirmația lui Radu este adevărată.

---

Subiectul al II-lea, 1)

• Răspuns corect: d)
• Explicație: Simetricul unui punct $B$ față de un punct $E$ este punctul $D$ pentru care $E$ este mijlocul segmentului $BD$. Conform figurii din rețeaua de pătrățele, punctul $E$ se află pe segmentul $BD$ la distanță egală de $B$ și de $D$, deci simetricul este punctul $D$.

---

Subiectul al II-lea, 2)

• Răspuns corect: c)
• Explicație: Dreptele $AB$ și $CD$ sunt paralele, iar secanta $BC$ formează cu acestea unghiurile interne de aceeași parte a secantei, $\sphericalangle ABC$ și $\sphericalangle BCD$. Aceste unghiuri sunt suplementare:
  $$\sphericalangle ABC+\sphericalangle BCD=180^{\circ }⟹\sphericalangle ABC=180^{\circ }-45^{\circ }=135^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

• Răspuns corect: d)
• Explicație: Punctul din interiorul unui triunghi egal depărtat de laturi este centrul cercului înscris în triunghi. În triunghiul echilateral, centrul cercului înscris coincide cu centrul de greutate $G$, iar distanța de la acesta la orice latură este egală cu o treime din înălțime:
  $$h=\frac{l\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\text{ cm}$$
  $$d(M,BC)=r=\frac{h}{3}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

• Răspuns corect: b)
• Explicație: Baza mică este $CD=20\text{ cm}$. Baza mare este:
  $$AB=4\cdot CD=4\cdot 20=80\text{ cm}$$
  Lungimea liniei mijlocii este media aritmetică a lungimilor bazelor:
  $$L_m=\frac{AB+CD}{2}=\frac{80+20}{2}=\frac{100}{2}=50\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

• Răspuns corect: c)
• Explicație: Unghiul la centru $\sphericalangle AOB$ subîntinde arcul mic $AB$, deci $\sphericalangle AOB=46^{\circ }$.
  Triunghiul $OAB$ este isoscel cu $OA=OB=R$, deci unghiurile de la bază sunt congruente:
  $$\sphericalangle BAO=\frac{180^{\circ }-\sphericalangle AOB}{2}=\frac{180^{\circ }-46^{\circ }}{2}=\frac{134^{\circ }}{2}=67^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

• Răspuns corect: d)
• Explicație: Un tetraedru regulat are 6 muchii, toate de lungimi egale. Fiecare muchie are lungimea de $6\text{ cm}$:
  $$S=6\cdot 6=36\text{ cm}$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a)

• Dacă 7 elevi au desenat câte un triunghi, numărul de laturi ale triunghiurilor este:
  $$7\cdot 3=21\text{ laturi}$$ (1p)
• Numărul elevilor care au desenat patrulatere ar fi $25-7=18$, iar numărul de laturi ale patrulaterelor ar fi:
  $$18\cdot 4=72\text{ laturi}$$
  Numărul total de laturi ar fi $21+72=93$. Deoarece $93\ne 90$, nu este posibil ca exact 7 elevi să fi desenat câte un triunghi. (1p)

b)

• Fie $a$ numărul elevilor care au desenat câte un triunghi și $b$ numărul elevilor care au desenat câte un patrulater:
  $$a+b=25$$ (1p)
• Numărul total de laturi desenate este:
  $$3a+4b=91$$ (1p)
• Înmulțind prima relație cu 3, obținem $3a+3b=75$.
  Scăzând această relație din a doua:
  $$(3a+4b)-(3a+3b)=91-75⟹b=16$$
  Deci numărul de elevi care au desenat câte un patrulater este 16. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a)

• Calculăm produsul:
  $$(x+1)(x+2)=x\cdot x+x\cdot 2+1\cdot x+1\cdot 2=x^2+2x+x+2$$ (1p)
  $$=x^2+3x+2$$, pentru orice număr real $x$. (1p)

b)

• Aducem la numitor comun termenii din paranteză. Numitorul comun este $x(x+1)(x+2)$:
  $$\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}=\frac{(x+1)(x+2)+2x(x+2)-3x(x+1)}{x(x+1)(x+2)}$$
  $$=\frac{x^2+3x+2+2x^2+4x-3x^2-3x}{x(x+1)(x+2)}=\frac{4x+2}{x(x+1)(x+2)}=\frac{2(2x+1)}{x(x+1)(x+2)}$$ (1p)
• Expresia $E(x)$ devine:
  $$E(x)=\frac{2(2x+1)}{x(x+1)(x+2)}:\frac{2x+1}{(x+1)(x+2)}=\frac{2(2x+1)}{x(x+1)(x+2)}\cdot \frac{(x+1)(x+2)}{2x+1}=\frac{2}{x}$$ (1p)
• Pentru un număr natural par, nenul $n$, numărul $N$ este:
  $$N=\frac{1}{E(n)}=\frac{1}{\frac{2}{n}}=\frac{n}{2}$$
  Deoarece $n$ este număr natural par, el este divizibil cu 2, deci $\frac{n}{2}$ este un număr natural. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a)

• Calculăm valorile funcției:
  $$f(3)=\frac{3}{3}-1=1-1=0$$ (1p)
  $$f(9)=\frac{9}{3}-1=3-1=2$$
  Deci $f(3)+f(9)=0+2=2$. (1p)

b)

• Determinăm coordonatele punctelor de intersecție cu axele de coordonate:
  • Cu axa $Ox$: $f(x)=0⟹\frac{x}{3}-1=0⟹x=3$, deci $M(3,0)$ și $OM=3$.
  • Cu axa $Oy$: $x=0⟹f(0)=-1$, deci $N(0,-1)$ și $ON=|-1|=1$. (1p)
• În triunghiul $MON$, dreptunghic în $O$, aplicăm teorema lui Pitagora:
  $$MN=\sqrt{O{M}^2+O{N}^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$$ (1p)
• Distanța de la originea $O$ la graficul funcției (dreapta $MN$) este lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic $MON$:
  $$d(O,MN)=\frac{OM\cdot ON}{MN}=\frac{3\cdot 1}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$$ (1p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a)

• În triunghiul echilateral $ABC$, punctul $M$ este mijlocul laturii $AB$, deci $CM$ este mediană și înălțime:
  $$CM=\frac{AB\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)
• În triunghiul echilateral $CDE$, punctul $N$ este mijlocul laturii $DE$, deci $CN$ este mediană și înălțime:
  $$CN=\frac{CD\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\text{ cm}$$
  Rezultă $CM=4\sqrt{3}=2\cdot (2\sqrt{3})=2\cdot CN$. (1p)

b)

• Deoarece $CM$ și $CN$ sunt înălțimi în triunghiurile echilaterale $ABC$ și $CDE$, ele sunt și bisectoare, deci:
  $$\sphericalangle BCM=30^{\circ }\text{și}\sphericalangle DCN=30^{\circ }$$
  Cum punctele $B,C,D$ sunt coliniare în această ordine, avem:
  $$\sphericalangle MCN=180^{\circ }-\sphericalangle BCM-\sphericalangle DCN=180^{\circ }-30^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }$$ (1p)
• Unghiul $\sphericalangle ACD$ este adiacent suplementar cu $\sphericalangle ACB=60^{\circ }$, deci:
  $$\sphericalangle ACD=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$$
  Astfel, $\sphericalangle MCN=\sphericalangle ACD=120^{\circ }$.
  De asemenea, avem rapoartele laturilor ce formează aceste unghiuri:
  $$\frac{CM}{AC}=\frac{4\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{și}\frac{CN}{CD}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$
  Deci triunghiurile $MCN$ și $ACD$ sunt asemenea (cazul L.U.L.). (1p)
• Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este pătratul raportului de asemănare:
  $$\frac{{\mathcal{A}}_{MCN}}{{\mathcal{A}}_{ACD}}={\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=75\%$$
  (Alternativ, calculând direct ariile cu formula cu sinus: ${\mathcal{A}}_{MCN}=\frac{1}{2}\cdot CM\cdot CN\cdot \sin 120^{\circ }=6\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$ și ${\mathcal{A}}_{ACD}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot CD\cdot \sin 120^{\circ }=8\sqrt{3}{\text{ cm}}^2$, de unde $\frac{6\sqrt{3}}{8\sqrt{3}}=\frac{3}{4}=75\%$).
  Prin urmare, $p=75$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a)

• Triunghiul $ABC$ este isoscel cu $AB=AC=10\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$, deci $AM$ este mediană, înălțime ($AM\perp BC$) și bisectoare a unghiului $\sphericalangle BAC$. (1p)
• Rezultă că $\sphericalangle CAM=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$, deci în triunghiul dreptunghic $AMC$ (cu $\sphericalangle AMC=90^{\circ }$), avem $\sphericalangle ACM=30^{\circ }$.
  $$CM=AC\cdot \sin (\sphericalangle CAM)=10\cdot \sin 60^{\circ }=10\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\text{ cm}$$
  Deoarece $M$ este mijlocul lui $BC$, obținem:
  $$BC=2\cdot CM=2\cdot 5\sqrt{3}=10\sqrt{3}\text{ cm}$$ (1p)

b)

• Deoarece $S$ este simetricul lui $M$ față de $A$, punctul $A$ este mijlocul lui $SM$, deci:
  $$AM=AC\cdot \cos 60^{\circ }=10\cdot \frac{1}{2}=5\text{ cm}⟹SM=2\cdot AM=10\text{ cm}$$
  Punctele $S,A,M$ sunt coliniare și $AM\perp BC$, deci $SM\perp MC$. Triunghiul $SMC$ este dreptunghic în $M$.
  Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul $SMC$:
  $$SC=\sqrt{S{M}^2+M{C}^2}=\sqrt{10^2+(5\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{100+75}=\sqrt{175}=5\sqrt{7}\text{ cm}$$ (1p)
• Fie $MT\perp SC$, cu $T\in SC$. Distanța de la $M$ la dreapta $SC$ este lungimea înălțimii $MT$:
  $$MT=\frac{SM\cdot MC}{SC}=\frac{10\cdot 5\sqrt{3}}{5\sqrt{7}}=\frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{7}}=\frac{10\sqrt{21}}{7}\text{ cm}$$ (1p)
• Comparăm $MT$ cu $7\text{ cm}$:
  $$\frac{10\sqrt{21}}{7}<7⟺10\sqrt{21}<49⟺(10\sqrt{21}{)}^2<49^2⟺100\cdot 21<2401⟺2100<2401$$
  Inegalitatea fiind adevărată, deducem că distanța de la punctul $M$ la dreapta $SC$ este mai mică decât $7\text{ cm}$. (1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a)

• Volumul paralelipipedului dreptunghic este dat de formula:
  $$V=AB\cdot BC\cdot A{A}^{\prime }$$ (1p)
• Înlocuind datele din enunț:
  $$V=2\sqrt{3}\cdot 2\cdot 4=16\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$$ (1p)

b)

• Fața $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ este dreptunghi. Fie $\{O\}=A^{\prime }B\cap A{B}^{\prime }$. Într-un dreptunghi, diagonalele se înjumătățesc, deci $O$ este mijlocul segmentului $A^{\prime }B$. (1p)
• În triunghiul $A^{\prime }BC$, punctul $O$ este mijlocul laturii $A^{\prime }B$, iar punctul $M$ este mijlocul laturii $BC$, prin urmare segmentul $OM$ este linie mijlocie.
  Rezultă că $OM\parallel A^{\prime }C$. (1p)
• Deoarece $O\in A{B}^{\prime }\subset (MA{B}^{\prime })$ și $M\in (MA{B}^{\prime })$, dreapta $OM$ este inclusă în planul $(MA{B}^{\prime })$.
  Cum $OM\parallel A^{\prime }C$ și $A^{\prime }C\not\subset (MA{B}^{\prime })$, rezultă că $A^{\prime }C\parallel (MA{B}^{\prime })$. (1p)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $2+3\cdot 5$ este egal cu:

• a) $1$
• b) $10$
• c) $17$
• d) $25$

5p 2. Dacă $\frac{1}{2}=\frac{a}{3}$, atunci numărul $a$ este egal cu:

• a) $\frac{2}{3}$
• b) $1$
• c) $\frac{3}{2}$
• d) $6$

5p 3. Produsul numerelor $-2$ și $7$ este egal cu:

• a) $-14$
• b) $-5$
• c) $5$
• d) $14$

5p 4. Scris sub formă de fracție ordinară, numărul $2,3$ este egal cu:

• a) $\frac{23}{9}$
• b) $\frac{23}{10}$
• c) $\frac{2}{3}$
• d) $\frac{23}{100}$

5p 5. În tabelul de mai jos sunt prezentate informații referitoare la rezultatele obținute de elevii unei clase la un test de matematică.

Nota	4	5	6	7	8	9	10
Număr de elevi	2	1	3	8	6	4	1

Conform informațiilor din tabel, numărul de elevi care au obținut note mai mari sau egale cu 8, la acest test, este egal cu:

• a) $5$
• b) $6$
• c) $11$
• d) $14$

5p 6. Se consideră numerele reale $a=2\sqrt{3}$ și $b=3\sqrt{2}$. Radu afirmă că: „Numărul $a$ este mai mic decât numărul $b$.” Afirmația lui Radu este:

• a) adevărată
• b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele $A$, $B$, $C$, $D$ și $E$. Simetricul punctului $B$ față de punctul $E$ este punctul:

• a) $A$
• b) $B$
• c) $C$
• d) $D$

[Figura: Pe o rețea de pătrățele sunt reprezentate punctele $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, unde $B$, $E$, $D$ se află pe aceeași linie verticală, $E$ fiind mijlocul segmentului $BD$.]

5p 2. În figura alăturată sunt reprezentate dreptele paralele $AB$ și $CD$, cu punctele $A$ și $D$ de aceeași parte a dreptei $BC$. Măsura unghiului $BCD$ este egală cu $45^{\circ }$. Măsura unghiului $ABC$ este egală cu:

• a) $45^{\circ }$
• b) $75^{\circ }$
• c) $135^{\circ }$
• d) $145^{\circ }$

[Figura: Două drepte paralele $AB$ și $CD$, tăiate de secanta $BC$, cu punctele $A$ și $D$ situate de aceeași parte a secantei, unghiul $BCD$ având măsura de $45^{\circ }$.]

5p 3. În figura alăturată este reprezentat triunghiul echilateral $ABC$, cu lungimea laturii de $12\text{ cm}$. Punctul $M$ se află în interiorul triunghiului $ABC$, la distanțe egale de laturile triunghiului. Distanța de la punctul $M$ la dreapta $BC$ este egală cu:

• a) $4\sqrt{3}\text{ cm}$
• b) $6\text{ cm}$
• c) $4\text{ cm}$
• d) $2\sqrt{3}\text{ cm}$

[Figura: Triunghiul echilateral $ABC$ cu punctul $M$ în interiorul său, egal depărtat de laturi.]

5p 4. În figura alăturată este reprezentat trapezul $ABCD$ cu $AB\parallel CD$, $CD=20\text{ cm}$ și $AB=4\cdot CD$. Lungimea liniei mijlocii a acestui trapez este egală cu:

• a) $30\text{ cm}$
• b) $50\text{ cm}$
• c) $80\text{ cm}$
• d) $100\text{ cm}$

[Figura: Trapezul $ABCD$ cu baza mare $AB$ și baza mică $CD$.]

5p 5. În figura alăturată, punctele $A$ și $B$ aparțin cercului de centru $O$. Măsura arcului mic $AB$ este egală cu $46^{\circ }$. Măsura unghiului $BAO$ este egală cu:

• a) $23^{\circ }$
• b) $46^{\circ }$
• c) $67^{\circ }$
• d) $134^{\circ }$

[Figura: Cerc de centru $O$, cu o coardă $AB$ și razele $OA$, $OB$.]

5p 6. În figura alăturată este reprezentat un tetraedru regulat $ABCD$ cu $AB=6\text{ cm}$. Suma lungimilor tuturor muchiilor acestui tetraedru este egală cu:

• a) $18\text{ cm}$
• b) $24\text{ cm}$
• c) $30\text{ cm}$
• d) $36\text{ cm}$

[Figura: Tetraedrul regulat $ABCD$.]

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrie rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. La ora de geometrie, fiecare dintre cei 25 de elevi ai unei clase a desenat pe caiet fie un triunghi, fie un patrulater.

(2p) a) Este posibil ca exact 7 elevi să fi desenat câte un triunghi și numărul total de laturi desenate de cei 25 de elevi să fie egal cu 90? Justifică răspunsul dat.

(3p) b) Determină numărul de elevi care au desenat câte un patrulater, știind că numărul total de laturi ale figurilor geometrice desenate de elevii clasei este egal cu 91.

5p 2. Se consideră expresia $E(x)=\left(\frac{1}{x}+\frac{2}{x+1}-\frac{3}{x+2}\right):\frac{2x+1}{x^2+3x+2}$, unde $x$ este număr real, $x\ne 0$, $x\ne -1$, $x\ne -2$ și $x\ne -\frac{1}{2}$.

(2p) a) Arată că $(x+1)(x+2)=x^2+3x+2$, pentru orice număr real $x$.

(3p) b) Dacă $n$ este număr natural par, nenul, arată că numărul $N=\frac{1}{E(n)}$ este natural.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x}{3}-1$.

(2p) a) Arată că $f(3)+f(9)=2$.

(3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $M$, respectiv $N$. Calculează distanța de la punctul $O$ la reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$.

5p 4. În figura alăturată sunt reprezentate triunghiurile echilaterale $ABC$ și $CDE$, cu $AB=8\text{ cm}$, $CD=4\text{ cm}$, iar punctele $B$, $C$ și $D$ sunt coliniare, în această ordine. Punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $DE$.

[Figura: Triunghiurile echilaterale $ABC$ și $CDE$ alăturate, cu baza pe linia $B-C-D$, punctele $M$ pe $AB$ și $N$ pe $DE$.]

(2p) a) Arată că $CM=2\cdot CN$.

(3p) b) Aria triunghiului $MCN$ reprezintă $p\%$ din aria triunghiului $ACD$. Determină valoarea lui $p$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$, cu $AB=AC=10\text{ cm}$ și $\sphericalangle BAC=120^{\circ }$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$ și punctul $S$ este simetricul punctului $M$ față de punctul $A$.

[Figura: Triunghi isoscel $ABC$ obtuzunghic în $A$, cu mediana $AM$ prelungită cu segmentul $AS=AM$.]

(2p) a) Arată că $BC=10\sqrt{3}\text{ cm}$.

(3p) b) Demonstrează că distanța de la punctul $M$ la dreapta $SC$ este mai mică decât $7\text{ cm}$.

5p 6. În figura alăturată este reprezentat paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=2\sqrt{3}\text{ cm}$, $BC=2\text{ cm}$ și $A{A}^{\prime }=4\text{ cm}$. Punctul $M$ este mijlocul segmentului $BC$.

[Figura: Paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu punctul $M$ pe muchia $BC$.]

(2p) a) Arată că volumul paralelipipedului dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este egal cu $16\sqrt{3}{\text{ cm}}^3$.

(3p) b) Demonstrează că dreapta $A^{\prime }C$ este paralelă cu planul $(MA{B}^{\prime })$.