Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 5

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: c)

Efectuăm mai întâi operația din paranteză, apoi înmulțirea și la final adunarea:
$$2+3\cdot (4+5)=2+3\cdot 9=2+27=29$$

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: a)

Din proporția $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$, folosind proprietatea fundamentală a proporțiilor (produsul mezilor este egal cu produsul extremilor), obținem:
$$3x=2y⟹3x-2y=0$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: b)

Numerele întregi negative din intervalul $(-5;4]$ sunt: $-4,-3,-2,-1$.
Suma lor este:
$$(-4)+(-3)+(-2)+(-1)=-10$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: d)

Fiecare fracție se poate scrie sub forma $1-\frac{1}{n+1}$:

• $\frac{2018}{2019}=1-\frac{1}{2019}$
• $\frac{2019}{2020}=1-\frac{1}{2020}$
• $\frac{2020}{2021}=1-\frac{1}{2021}$
• $\frac{2021}{2022}=1-\frac{1}{2022}$

Deoarece $\frac{1}{2022}<\frac{1}{2021}<\frac{1}{2020}<\frac{1}{2019}$, scăzând cel mai mic număr obținem rezultatul cel mai mare. Așadar, numărul cel mai mare este $\frac{2021}{2022}$.

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: a)

Media geometrică a numerelor $a=4\sqrt{2}$ și $b=2\sqrt{2}$ este:
$$m_g=\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{4\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}}=\sqrt{8\cdot 2}=\sqrt{16}=4$$

Conform tabelului, Ana a obținut rezultatul 4.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: b)

În prezent, vârsta Anei este de 14 ani, iar a fratelui de 10 ani.
Peste 3 ani, Ana va avea $14+3=17$ ani, iar fratele ei va avea $10+3=13$ ani.
Suma vârstelor peste 3 ani va fi:
$$17+13=30\text{ ani}\ne 27\text{ ani}$$

Prin urmare, afirmația Anei este falsă.

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: d)

În triunghiul $ABC$, $E$ este mijlocul laturii $BC$, iar $F$ este mijlocul laturii $AC$.
Segmentul $EF$ este linie mijlocie în $△ABC$, deci $EF\parallel AB$.
Cum triunghiul este dreptunghic în $A$, avem $AB\perp AC$. Deoarece $EF\parallel AB$, rezultă că $EF\perp AC$.
Cum $F\in AC$ și $EF\perp AC$, proiecția punctului $E$ pe dreapta $AC$ este punctul $F$.

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: c)

Unghiul de măsură $35^{\circ }$ și unghiul de măsură $2x^{\circ }+5^{\circ }$ sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei (sau suplementare prin corespondență cu unghiul opus la vârf format la intersecția cu dreapta paralelă). Astfel:
$$35^{\circ }+(2x^{\circ }+5^{\circ })=180^{\circ }⟹2x^{\circ }+40^{\circ }=180^{\circ }⟹2x^{\circ }=140^{\circ }⟹x=70$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: a)

Distanța de la punctul $A$ la dreapta $BC$ este minimă atunci când $AD\perp BC$, adică $D$ este piciorul înălțimii din $A$.
În triunghiul dreptunghic $ABD$ (cu $\sphericalangle ADB=90^{\circ }$):
$$\sphericalangle BAD=90^{\circ }-\sphericalangle ABC=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$$
Cum $\sphericalangle BAC=40^{\circ }$, măsura unghiului $\sphericalangle DAC$ este:
$$\sphericalangle DAC=\sphericalangle BAC-\sphericalangle BAD=40^{\circ }-30^{\circ }=10^{\circ }$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: c)

Aria pătratului $ABCD$ este ${\mathcal{A}}_{ABCD}=A{B}^2=2^2=4{\text{ m}}^2$.
Aria triunghiului $BMC$ este un sfert din aria pătratului:
$${\mathcal{A}}_{BMC}=\frac{1}{4}\cdot 4=1{\text{ m}}^2$$
Triunghiul $BMC$ este dreptunghic în $C$ (deoarece $ABCD$ este pătrat, $BC\perp CD$), deci aria sa este:
$${\mathcal{A}}_{BMC}=\frac{BC\cdot CM}{2}$$
Substituind valorile, obținem:
$$\frac{2\cdot CM}{2}=1⟹CM=1\text{ m}$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: b)

$C$ este centrul cercului mic și $CD=2\text{ cm}$ este raza acestuia, deci $CE=CD=2\text{ cm}$.
$B$ este centrul cercului mare și $BD$ este raza lui. Deoarece punctele $A,B,C,D$ sunt coliniare, $AD$ este diametrul cercului mare, având lungimea $AD=2\cdot BD$.
Punctul $C$ este situat pe segmentul $BD$, astfel încât $BC=BD-CD=BD-2$.
Observăm din coliniaritate că cercul mic este tangent interior cercului mare în $D$, iar $BD=2\cdot CD=4\text{ cm}$, deci $B$ este punctul de tangență/centru, raza mare fiind $R=BD=4\text{ cm}$.
Astfel, $AB=4\text{ cm}$, $BC=2\text{ cm}$, deci $AC=AB+BC=4+2=6\text{ cm}$.
În triunghiul dreptunghic $AEC$ (cu $CE\perp AE$, deci $\sphericalangle AEC=90^{\circ }$), aplicăm teorema lui Pitagora:
$$AE=\sqrt{A{C}^2-C{E}^2}=\sqrt{6^2-2^2}=\sqrt{36-4}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: c)

Un cub are 12 muchii de lungimi egale. Notăm lungimea muchiei cubului cu $l$.
Suma lungimilor tuturor muchiilor este:
$$12l=60\text{ cm}⟹l=5\text{ cm}$$
Volumul cubului este:
$$V=l^3=5^3=125{\text{ cm}}^3$$

---

Subiectul al III-lea, 1)

a) Presupunem că întreaga carte are 100 de pagini.
În prima zi, Radu citește:
$$\frac{1}{4}\cdot 100=25\text{ pagini}$$
În primele două zile, numărul total de pagini citite ar fi:
$$25+27=52\text{ pagini}$$
Numărul de pagini rămase de citit ar fi $100-52=48$ pagini (1p).

Dar după a doua zi, el ar fi trebuit să citească jumătate din paginile cărții, adică $\frac{100}{2}=50$ de pagini, ceea ce este în contradicție cu $52\ne 50$ (sau $48$ pagini rămase nu reprezintă jumătatea lui $100$).
Deci nu este posibil ca această carte să aibă 100 de pagini (1p).

b) Fie $x$ numărul de pagini al cărții.
Din enunț, suma paginilor citite în prima zi și a celor citite în a doua zi este egală cu jumătate din numărul paginilor cărții:
$$\frac{1}{4}x+27=\frac{1}{2}x$$ (2p)

Rezolvăm ecuația:
$$\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}x=27⟹\frac{1}{4}x=27⟹x=27\cdot 4=108\text{ pagini}$$ (1p).

---

Subiectul al III-lea, 2)

a) Observăm că $(1-x{)}^2=(x-1{)}^2$ și $(2-x{)}^2=(x-2{)}^2$.
Astfel, expresia devine:
$$E(x)=(x-1{)}^2-(x-2{)}^2+(x-1{)}^2-(x-2{)}^2=2\left[(x-1{)}^2-(x-2{)}^2\right]$$
Aplicând formula diferenței de pătrate $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$:
$$(x-1{)}^2-(x-2{)}^2=[(x-1)-(x-2)][(x-1)+(x-2)]=1\cdot (2x-3)=2x-3$$ (2p)

Atunci:
$$E(x)=2(2x-3)=4x-6$$, pentru orice număr real $x$ (1p).

(Alternativ: dezvoltarea fiecărui binom: $E(x)=(x^2-2x+1)-(x^2-4x+4)+(1-2x+x^2)-(4-4x+x^2)=4x-6$)

b) Inecuația este $2-E(x)\le 0$.
Înlocuind $E(x)=4x-6$:
$$2-(4x-6)\le 0⟹2-4x+6\le 0⟹-4x+8\le 0$$ (1p)
$$-4x\le -8⟹x\ge 2$$
Mulțimea soluțiilor este $S=[2,+\infty )$ (1p).

---

Subiectul al III-lea, 3)

a) Calculăm numărul $a$:
$$a=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right):\frac{1}{2}=\left(\frac{5+3}{15}\right):\frac{1}{2}=\frac{8}{15}\cdot 2=\frac{16}{15}$$ (2p).

b) Calculăm numărul $b$:
$$b=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{5-3}{15}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{2}{15}=\frac{1}{15}$$ (2p)

Comparăm $a$ și $b$:
$$\frac{a}{b}=\frac{\frac{16}{15}}{\frac{1}{15}}=\frac{16}{15}\cdot \frac{15}{1}=16$$
Deci $a=16b$, adică numărul $a$ este de 16 ori mai mare decât numărul $b$ (1p).

---

Subiectul al III-lea, 4)

a) Perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este:
$${\mathcal{P}}_{ABCD}=2(AB+AD)=2(600+400)=2\cdot 1000=2000\text{ m}$$ (2p).

b) Deoarece $E$ este mijlocul lui $AB$ și $F$ este mijlocul lui $CD$, avem $AE=\frac{AB}{2}=300\text{ m}$ și $FC=\frac{CD}{2}=300\text{ m}$.
De asemenea, $AE\parallel FC$ și $AE=FC$, deci patrulaterul $AECF$ este paralelogram.
Diagonala $AC$ (sau comparând triunghiurile formate) arată că $△AEF\equiv △CFE$, deci:
$${\mathcal{A}}_{AEF}={\mathcal{A}}_{CFE}$$ (1p)

În triunghiul $CFE$, segmentul $FM$ este mediană ($M$ fiind mijlocul lui $CE$). Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri de arii egale:
$${\mathcal{A}}_{EMF}={\mathcal{A}}_{CFM}=\frac{1}{2}{\mathcal{A}}_{CFE}$$ (1p)

Astfel, ${\mathcal{A}}_{AEF}={\mathcal{A}}_{CFE}=2{\mathcal{A}}_{CFM}$.
Aria patrulaterului $AEMF$ este suma ariilor triunghiurilor $AEF$ și $EMF$:
$${\mathcal{A}}_{AEMF}={\mathcal{A}}_{AEF}+{\mathcal{A}}_{EMF}=2{\mathcal{A}}_{CFM}+{\mathcal{A}}_{CFM}=3{\mathcal{A}}_{CFM}$$
Prin urmare, aria patrulaterului $AEMF$ este de trei ori mai mare decât aria triunghiului $CFM$ (1p).

---

Subiectul al III-lea, 5)

a) Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $AM\perp BC$, cu $M\in BC$.
Aplicăm teorema înălțimii în $△ABC$:
$$A{M}^2=BM\cdot CM⟹AM=\sqrt{BM\cdot CM}=\sqrt{16\cdot 4}=\sqrt{64}=8\text{ cm}$$ (2p).

b) Lungimea ipotenuzei $BC$ este:
$$BC=BM+CM=16+4=20\text{ cm}$$
Aplicăm teorema catetei pentru determinarea lungimilor laturilor $AC$ și $AB$:
$$AC=\sqrt{CM\cdot BC}=\sqrt{4\cdot 20}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\text{ cm}$$
$$AB=\sqrt{BM\cdot BC}=\sqrt{16\cdot 20}=\sqrt{320}=8\sqrt{5}\text{ cm}$$ (1p)

Perimetrul triunghiului $ABC$ este:
$${\mathcal{P}}_{△ABC}=AB+AC+BC=8\sqrt{5}+4\sqrt{5}+20=12\sqrt{5}+20\text{ cm}$$
Trebuie să demonstrăm că:
$$12\sqrt{5}+20>44⟺12\sqrt{5}>24⟺\sqrt{5}>2$$
Deoarece $\sqrt{5}>\sqrt{4}=2$, inegalitatea este adevărată.
Rezultă că perimetrul triunghiului $ABC$ este mai mare decât $44\text{ cm}$ (2p).

---

Subiectul al III-lea, 6)

a) În baza pătrat $ABCD$, lungimea diagonalei este:
$$AC=AB\sqrt{2}=8\sqrt{2}\text{ cm}$$ (1p)
Patrulaterul $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ are laturile $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }=8\sqrt{2}\text{ cm}$ și $AC=A^{\prime }{C}^{\prime }=8\sqrt{2}\text{ cm}$.
Deoarece prisma este dreaptă, muchiile laterale sunt perpendiculare pe planele bazelor, deci $A{A}^{\prime }\perp AC$, ceea ce înseamnă că patrulaterul $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ este dreptunghi.
Având două laturi adiacente egale ($AC=A{A}^{\prime }=8\sqrt{2}\text{ cm}$), dreptunghiul $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ este pătrat.
Într-un pătrat, diagonalele sunt perpendiculare, așadar $A^{\prime }C\perp A{C}^{\prime }$ (1p).

b) Fie $O^{\prime }$ centrul bazei superioare $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, adică $O^{\prime }=A^{\prime }{C}^{\prime }\cap B^{\prime }{D}^{\prime }$.
Deoarece $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ este prismă dreaptă cu bazele pătrate identice și paralele, avem:

• $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ și $B^{\prime }{D}^{\prime }=BD$.
• Punctele $O$ și $O^{\prime }$ sunt mijloacele diagonalelor $BD$, respectiv $B^{\prime }{D}^{\prime }$, deci segmentul $B^{\prime }{O}^{\prime }$ este egal și paralel cu segmentul $OD$ ($B^{\prime }{O}^{\prime }=\frac{1}{2}{B}^{\prime }{D}^{\prime }=\frac{1}{2}BD=OD$ și $B^{\prime }{O}^{\prime }\parallel OD$).
  Rezultă că patrulaterul $DO{B}^{\prime }{O}^{\prime }$ este paralelogram (1p).

Din proprietatea paralelogramului, laturile opuse sunt paralele:
$$O{B}^{\prime }\parallel D{O}^{\prime }$$
Deoarece $O^{\prime }\in A^{\prime }{C}^{\prime }$, dreapta $D{O}^{\prime }$ este inclusă în planul $(A^{\prime }{C}^{\prime }D)$ ($D{O}^{\prime }\subset (A^{\prime }{C}^{\prime }D)$).
Cum $O{B}^{\prime }\parallel D{O}^{\prime }$ și $D{O}^{\prime }\subset (A^{\prime }{C}^{\prime }D)$, rezultă că dreapta $O{B}^{\prime }$ este paralelă cu planul $(A^{\prime }{C}^{\prime }D)$ (2p).

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) Rezultatul calculului $2+3imes(4+5)$ este egal cu:

   • a) $19$
   • b) $20$
   • c) $29$
   • d) $45$

2. (5p) Știind că $\frac{x}{2}=\frac{y}{3}$, atunci rezultatul calculului $3x-2y$ este egal cu:

   • a) $0$
   • b) $1$
   • c) $5$
   • d) $12$

3. (5p) Suma numerelor întregi negative din intervalul $(-5;4]$ este egală cu:

   • a) $-15$
   • b) $-10$
   • c) $0$
   • d) $10$

4. (5p) Dintre numerele $\frac{2018}{2019}$, $\frac{2019}{2020}$, $\frac{2020}{2021}$ și $\frac{2021}{2022}$ cel mai mare este:

   • a) $\frac{2018}{2019}$
   • b) $\frac{2019}{2020}$
   • c) $\frac{2020}{2021}$
   • d) $\frac{2021}{2022}$

5. (5p) Patru elevi au calculat media geometrică a numerelor $4\sqrt{2}$ și $2\sqrt{2}$ și au obținut rezultatele înregistrate în tabelul de mai jos.

   Ana	Andrei	Anca	Alin
   $4$	$3\sqrt{2}$	$8$	$16$

   Dintre cei patru elevi, cel care a calculat corect media geometrică este:

   • a) Ana
   • b) Andrei
   • c) Anca
   • d) Alin

6. (5p) Ana are 14 ani, iar fratele ei are 10 ani. Ana afirmă că: „Peste trei ani, suma dintre vârsta mea și a fratelui meu va fi egală cu 27 de ani”. Afirmația Anei este:

   • a) adevărată
   • b) falsă

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

1. (5p) În figura alăturată este reprezentat un triunghi $ABC$ dreptunghic în $A$, iar punctele $D$, $E$ și $F$ sunt mijloacele laturilor $AB$, $BC$, respectiv $AC$. Proiecția punctului $E$ pe $AC$ este punctul:

   [Figura: Triunghiul dreptunghic $ABC$ cu unghiul drept în $A$, $D$ mijlocul lui $AB$, $E$ mijlocul ipotenuzei $BC$, $F$ mijlocul catetei $AC$]

   • a) $A$
   • b) $C$
   • c) $D$
   • d) $F$

2. (5p) În figura alăturată, dreptele paralele $a$ și $b$ sunt intersectate de secanta $d$, fiind evidențiate măsurile a două unghiuri de $35^{\circ }$ și de $2x^{\circ }+5^{\circ }$. Valoarea lui $x$ este de:

   [Figura: Dreptele paralele $a$ și $b$ intersectate de secanta $d$, un unghi ascuțit de $35^{\circ }$ format de $a$ cu $d$ și un unghi obtuz intern de aceeași parte a secantei de $2x^{\circ }+5^{\circ }$ format de $b$ cu $d$]

   • a) $15^{\circ }$
   • b) $25^{\circ }$
   • c) $70^{\circ }$
   • d) $75^{\circ }$

3. (5p) În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu $\sphericalangle ABC=60^{\circ }$ și $\sphericalangle BAC=40^{\circ }$. Punctul $D$ aparține dreptei $BC$, astfel încât distanța dintre punctul $A$ și punctul $D$ să fie minimă. Măsura unghiului $\sphericalangle DAC$ este de:

   [Figura: Triunghiul $ABC$ cu punctul $D$ situat pe segmentul $BC$ astfel încât $AD\perp BC$]

   • a) $10^{\circ }$
   • b) $30^{\circ }$
   • c) $80^{\circ }$
   • d) $90^{\circ }$

4. (5p) În figura alăturată este reprezentată schița unei foi de tablă în formă de pătrat $ABCD$, cu $AB=2\text{ m}$. Un tinichigiu vrea să taie din tablă o bucată în forma triunghiului $BMC$, unde punctul $M$ aparține dreptei $DC$, astfel încât aria triunghiului $BMC$ să fie un sfert din aria pătratului $ABCD$. Lungimea segmentului $CM$ este egală cu:

   [Figura: Pătratul $ABCD$ și punctul $M$ situat pe latura $CD$, cu segmentul $BM$ trasat]

   • a) $0,25\text{ m}$
   • b) $0,5\text{ m}$
   • c) $1\text{ m}$
   • d) $1,5\text{ m}$

5. (5p) În figura alăturată, $BD$ este raza cercului mare de centru $B$, $CD=2\text{ cm}$ este raza cercului mic de centru $C$, punctele $A,B,C,D$ sunt coliniare și punctul $E$ aparține cercului mic, astfel încât dreapta $CE$ este perpendiculară pe dreapta $AE$. Distanța dintre punctele $A$ și $E$ este egală cu:

   [Figura: Cercul mare de diametru $AD$ și centru $B$, cercul mic interior de diametru $BD$ și centru $C$, punctul $E$ pe cercul mic astfel încât $CE\perp AE$]

   • a) $4\text{ cm}$
   • b) $4\sqrt{2}\text{ cm}$
   • c) $4\sqrt{3}\text{ cm}$
   • d) $6\text{ cm}$

6. (5p) În figura alăturată este reprezentată o cutie în formă de cub $ABCDEFGH$ care are suma lungimilor tuturor muchiilor egală cu $60\text{ cm}$. Volumul cutiei este egal cu:

   [Figura: Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$]

   • a) $25{\text{ cm}}^3$
   • b) $100{\text{ cm}}^3$
   • c) $125{\text{ cm}}^3$
   • d) $150{\text{ cm}}^3$

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

1. Radu a citit în prima zi $\frac{1}{4}$ din cartea pe care a primit-o de ziua lui de la Andreea. A doua zi citește 27 de pagini și constată că a citit jumătate din paginile cărții.

   • (2p) a) Este posibil să aibă 100 de pagini cartea pe care a primit-o Radu de ziua lui de la Andreea? Justifică răspunsul dat.
   • (3p) b) Determină numărul de pagini din cartea lui Radu.

2. Se consideră expresia $E(x)=(x-1{)}^2-(x-2{)}^2+(1-x{)}^2-(2-x{)}^2$, unde $x$ este număr real.

   • (3p) a) Arată că $E(x)=4x-6$, pentru orice număr real $x$.
   • (2p) b) Rezolvă în mulțimea numerelor reale inecuația: $2-E(x)\le 0$.

3. Se consideră numerele reale $a=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right):\frac{1}{2}$ și $b=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)$.

   • (2p) a) Arată că $a=\frac{16}{15}$.
   • (3p) b) Arată că numărul $a$ este de 16 ori mai mare decât numărul $b$.

4. În figura alăturată este reprezentată schița unui teren agricol în formă de dreptunghi $ABCD$ cu $AB=600\text{ m}$ și $AD=400\text{ m}$. Punctul $E$ este mijlocul laturii $AB$, punctul $F$ este mijlocul laturii $CD$ și punctul $M$ este mijlocul segmentului $CE$.

   [Figura: Dreptunghiul $ABCD$ cu $E$ pe $AB$, $F$ pe $CD$, segmentele $AF$, $FC$, $CE$ și punctul $M$ mijlocul lui $CE$]

   • (2p) a) Arată că perimetrul dreptunghiului $ABCD$ este egal cu $2000\text{ m}$.
   • (3p) b) Arată că aria patrulaterului $AEMF$ este de trei ori mai mare decât aria triunghiului $CFM$.

5. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, iar punctul $M$ este proiecția punctului $A$ pe $BC$. Lungimea segmentului $BM$ este de $16\text{ cm}$, iar lungimea segmentului $CM$ este de $4\text{ cm}$.

   [Figura: Triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu înălțimea $AM\perp BC$, $M\in BC$]

   • (2p) a) Arată că $AM=8\text{ cm}$.
   • (3p) b) Demonstrează că perimetrul triunghiului $ABC$ este mai mare decât $44\text{ cm}$.

6. În figura alăturată este reprezentată o prismă dreaptă $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$. Punctul $O$ este intersecția dreptelor $AC$ și $BD$, $AB=8\text{ cm}$ și $A{A}^{\prime }=8\sqrt{2}\text{ cm}$.

   [Figura: Prisma dreaptă $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cu baza pătratul $ABCD$, punctul $O$ intersecția diagonalelor bazei, diagonalele $A^{\prime }C$, $A{C}^{\prime }$ și planul $(A^{\prime }{C}^{\prime }D)$]

   • (2p) a) Demonstrează că dreptele $A^{\prime }C$ și $A{C}^{\prime }$ sunt perpendiculare.
   • (3p) b) Demonstrează că dreapta $O{B}^{\prime }$ este paralelă cu planul $(A^{\prime }{C}^{\prime }D)$.