Evaluare Națională 2021, matematică: test de antrenament 11

Subiectul I, 1)

Răspuns corect: c)

Efectuăm operațiile respectând ordinea operațiilor:
$$32:8+8\cdot 2=4+16=20$$

---

Subiectul I, 2)

Răspuns corect: c)

Folosind proprietatea fundamentală a proporțiilor:
$$\frac{a}{b}=\frac{c}{2}⟺2a=b\cdot c$$
Știind că $b\cdot c=30$, obținem:
$$2a=30⟹a=15$$

---

Subiectul I, 3)

Răspuns corect: a)

Înlocuim $x=-2$ în expresia dată:
$$E(-2)=3-(-2+2)=3-0=3$$

---

Subiectul I, 4)

Răspuns corect: b)

Calculăm volumul total:
$$V=6\cdot 0,25+3\cdot 0,5=1,5+1,5=3\text{ litri}$$

---

Subiectul I, 5)

Răspuns corect: d)

Introducem factorul sub radical:
$$3\sqrt{2}=\sqrt{3^2\cdot 2}=\sqrt{18}$$
Deoarece $16<18<25$, avem:
$$4=\sqrt{16}<\sqrt{18}<\sqrt{25}=5$$
Cel mai mic număr natural strict mai mare decât $\sqrt{18}$ este $5$.

---

Subiectul I, 6)

Răspuns corect: b)

Elevii care au obținut cel puțin nota 8 sunt cei cu notele 8, 9 și 10.
Din grafic citim numărul de elevi:

• Nota 8: $4$ elevi
• Nota 9: $4$ elevi
• Nota 10: $2$ elevi

Numărul total de elevi este:
$$4+4+2=10$$

---

Subiectul al II-lea, 1)

Răspuns corect: b)

Punctele $A,B,C$ sunt coliniare, așadar ele determină o singură dreaptă (dreapta $AB$).
Punctul $D$ nu se află pe dreapta $AB$, deci formează cu fiecare dintre cele 3 puncte coliniare câte o dreaptă distinctă: $DA$, $DB$ și $DC$.
Numărul total de drepte determinate este $1+3=4$ drepte.

---

Subiectul al II-lea, 2)

Răspuns corect: a)

Deoarece $AB\parallel CD$, unghiurile $\sphericalangle ABC$ și $\sphericalangle BCD$ sunt alterne interne, deci au măsuri egale:
$$\sphericalangle BCD=\sphericalangle ABC=45^{\circ }$$
Cum $\sphericalangle BCD=3x^{\circ }$, obținem:
$$3x=45⟹x=15$$

---

Subiectul al II-lea, 3)

Răspuns corect: b)

Lungimea cercului se calculează cu formula $L=\pi \cdot d$, unde $d$ este diametrul cercului:
$$L=22\pi \text{ cm}$$

---

Subiectul al II-lea, 4)

Răspuns corect: c)

În dreptunghiul $ABCD$, diagonalele sunt egale și se înjumătățesc: $OB=OC=\frac{AC}{2}$.
În triunghiul $OBC$, avem $OB=OC$ și $\sphericalangle BOC=60^{\circ }$, prin urmare triunghiul $OBC$ este echilateral.
Rezultă $BC=OB=OC=10\text{ m}$ (deoarece $BC=AD=10\text{ m}$).
Lungimea diagonalei este $AC=2\cdot OC=20\text{ m}$.
Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$:
$$AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=\sqrt{20^2-10^2}=\sqrt{400-100}=\sqrt{300}=10\sqrt{3}\text{ m}$$
Aria dreptunghiului este:
$${\mathcal{A}}_{ABCD}=AB\cdot BC=10\sqrt{3}\cdot 10=100\sqrt{3}{\text{ m}}^2$$

---

Subiectul al II-lea, 5)

Răspuns corect: d)

În dreptunghiul $ABCD$, avem $CD\parallel AB$, deci $△DIM\sim △BIA$.
Raportul de asemănare este:
$$\frac{DM}{AB}=\frac{\frac{1}{2}CD}{CD}=\frac{1}{2}$$
Fie $h_1$ înălțimea din $I$ a triunghiului $DIM$ (pe latura $DM$) și $h_2$ înălțimea din $I$ a triunghiului $BIA$ (pe latura $AB$).
Avem $\frac{h_1}{h_2}=\frac{1}{2}$, iar $h_1+h_2=AD$, de unde $h_1=\frac{1}{3}AD$.
Aria triunghiului $DIM$ este:
$${\mathcal{A}}_{DIM}=\frac{DM\cdot h_1}{2}=\frac{\frac{1}{2}CD\cdot \frac{1}{3}AD}{2}=\frac{1}{12}\cdot CD\cdot AD=\frac{1}{12}{\mathcal{A}}_{ABCD}$$
Raportul căutat este $\frac{1}{12}$.

---

Subiectul al II-lea, 6)

Răspuns corect: b)

O cutie sub formă de cub are $6$ fețe pătrate cu muchia de $10\text{ cm}=1\text{ dm}$.
Aria totală a cutiei este:
$$A_t=6\cdot l^2=6\cdot 1^2=6{\text{ dm}}^2$$
Foaia de tablă are aria de $5{\text{ dm}}^2$, care este mai mică decât $6{\text{ dm}}^2$, deci nu este suficientă.
Afirmația este falsă.

---

Subiectul al III-lea, 1)

a) Notăm cu $x$ numărul apartamentelor cu două camere, cu $y$ numărul apartamentelor cu trei camere și cu $z$ numărul apartamentelor cu patru camere.
Din enunț, numărul apartamentelor cu trei camere este de cinci ori mai mare decât al celor cu patru camere, deci:
$$y=5z$$
Dacă în bloc ar fi $9$ apartamente cu trei camere, am avea:
$$9=5z⟹z=\frac{9}{5}\notin \mathbb{N}$$
(1p)

Deoarece $z$ trebuie să fie un număr natural, $9$ ar trebui să fie divizibil cu $5$, ceea ce este fals. Așadar, nu este posibil ca în bloc să fie $9$ apartamente cu trei camere.
(1p)

b) Avem sistemul de ecuații:
$$\{\begin{array}{l}x+y+z=40\\ y=5z\\ 2x+3y+4z=122\end{array}$$
(1p)

Înlocuim $y=5z$ în prima și a treia ecuație:
$$\{\begin{array}{l}x+5z+z=40\\ 2x+3(5z)+4z=122\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x+6z=40\\ 2x+19z=122\end{array}$$
Înmulțim prima ecuație cu $2$:
$$\{\begin{array}{l}2x+12z=80\\ 2x+19z=122\end{array}$$
Scăzând prima ecuație din a doua, obținem:
$$7z=42⟹z=6$$
Aflăm numărul de apartamente cu două camere:
$$x=40-6\cdot 6=40-36=4$$
Deci, în bloc sunt $4$ apartamente cu două camere.
(2p)

---

Subiectul al III-lea, 2)

a) Calculăm valorile puterilor:
$$2021^0=1$$
$$(-1{)}^{2021}=-1$$
(1p)

Calculăm $a$:
$$a=2021-1-(-1)=2021-1+1=2021$$
(1p)

b) Aducem numărul $b$ la o formă mai simplă raționalizând numitorul celei de-a doua fracții:
$$b=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3\sqrt{2}}{2}=-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$$
(1p)

Dezvoltăm expresia din paranteză folosind formula $(a-b{)}^2-(a+b{)}^2$:
$$(a-b{)}^2-(a+b{)}^2=(a^2-2ab+b^2)-(a^2+2ab+b^2)=-4ab$$
Atunci expresia $N$ devine:
$$N=(-4ab)\cdot b=-4a{b}^2$$
Înlocuim $a=2021$ și $b=-\sqrt{2}$:
$$N=-4\cdot 2021\cdot (-\sqrt{2}{)}^2=-4\cdot 2021\cdot 2=-8084\cdot 2=-16168$$
Numărul $-16168$ aparține mulțimii numerelor întregi $\mathbb{Z}$.
(2p)

---

Subiectul al III-lea, 3)

a) Calculăm valorile funcției:
$$f(1)=1+1=2$$
$$f(3)=3+1=4$$
$$f(2)=2+1=3$$
(1p)

Calculăm membrii egalității:
$$f(1)+f(3)=2+4=6$$
$$2\cdot f(2)=2\cdot 3=6$$
Deoarece $6=6$, rezultă că $f(1)+f(3)=2\cdot f(2)$.
(1p)

b) Punctul $M$ este intersecția cu axa $Ox$:
$$f(x)=0⟹x+1=0⟹x=-1⟹M(-1,0)$$
Punctul $N$ este intersecția cu axa $Oy$:
$$N(0,f(0))⟹N(0,1)$$
(1p)

Fie $P(x_P,y_P)$ simetricul punctului $M$ față de punctul $N$. Aceasta înseamnă că $N$ este mijlocul segmentului $MP$.
Folosim formulele coordonatelor mijlocului unui segment:
$$x_N=\frac{x_M+x_P}{2}⟹0=\frac{-1+x_P}{2}⟹-1+x_P=0⟹x_P=1$$
$$y_N=\frac{y_M+y_P}{2}⟹1=\frac{0+y_P}{2}⟹y_P=2$$
Coordonatele simetricului sunt $P(1,2)$.
(2p)

---

Subiectul al III-lea, 4)

a) Verificăm dacă triunghiul $ABC$ este dreptunghic folosind reciproca teoremei lui Pitagora:
$$A{B}^2+A{C}^2=10^2+24^2=100+576=676$$
$$B{C}^2=26^2=676$$
Deoarece $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$, rezultă că triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, adică $\sphericalangle BAC=90^{\circ }$.
(1p)

Aria triunghiului dreptunghic este:
$${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{10\cdot 24}{2}=120{\text{ cm}}^2$$
(1p)

b) Fie $N$ mijlocul segmentului $CD$ și $P$ mijlocul segmentului $BD$.
Deoarece $D\in BC$, segmentele $BD$ și $DC$ sunt disjuncte, iar lungimea segmentului $NP$ este:
$$NP=DP+DN=\frac{BD}{2}+\frac{DC}{2}=\frac{BD+DC}{2}=\frac{BC}{2}=\frac{26}{2}=13\text{ cm}$$
(1p)

În triunghiul $ADC$, $AN$ este mediană, iar $G$ este centrul de greutate, deci $\frac{AG}{AN}=\frac{2}{3}$.
În triunghiul $ADB$, $AP$ este mediană, iar $G^{\prime }$ este centrul de greutate, deci $\frac{A{G}^{\prime }}{AP}=\frac{2}{3}$.
Deoarece $\frac{AG}{AN}=\frac{A{G}^{\prime }}{AP}=\frac{2}{3}$, conform reciprocei teoremei lui Thales în triunghiul $ANP$, rezultă că $G{G}^{\prime }\parallel NP$.
(1p)

Din asemănarea triunghiurilor $△A{G}^{\prime }G\sim △APN$, avem:
$$\frac{G{G}^{\prime }}{NP}=\frac{AG}{AN}=\frac{2}{3}⟹G{G}^{\prime }=\frac{2}{3}\cdot NP=\frac{2}{3}\cdot 13=\frac{26}{3}\text{ cm}$$
(1p)

---

Subiectul al III-lea, 5)

a) În triunghiul $ADT$, dreptunghic în $A$, aplicăm teorema lui Pitagora:
$$DT=\sqrt{A{D}^2+A{T}^2}=\sqrt{10^2+20^2}=\sqrt{100+400}=\sqrt{500}=10\sqrt{5}\text{ cm}$$
(1p)

Sinusul unghiului $ATD$ este:
$$\sin (\sphericalangle ATD)=\frac{AD}{DT}=\frac{10}{10\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$
Cum $\sphericalangle ATD\equiv \sphericalangle BTC$, rezultă că:
$$\sin (\sphericalangle BTC)=\frac{\sqrt{5}}{5}$$
(1p)

b) Deoarece $AD\parallel CB$ și $\sphericalangle DAB=90^{\circ }$, trapezul fiind dreptunghic, rezultă că $\sphericalangle ABC=90^{\circ }$.
Astfel, triunghiul $BTC$ este dreptunghic în $B$.
Punctul $T\in AB$, deci $BT=AB-AT=60-20=40\text{ cm}$.
În triunghiul $BTC$, avem:
$$\sin (\sphericalangle BTC)=\frac{BC}{TC}=\frac{\sqrt{5}}{5}⟹TC=BC\sqrt{5}$$
Conform teoremei lui Pitagora în triunghiul $BTC$:
$$T{C}^2=B{C}^2+B{T}^2⟹5B{C}^2=B{C}^2+40^2⟺4B{C}^2=1600⟹B{C}^2=400⟹BC=20\text{ cm}$$
(2p)

Fie $DS\perp BC$, cu $S\in BC$.
Patrulaterul $ABSD$ are trei unghiuri drepte (la $A$, $B$ și $S$), deci este dreptunghi. Rezultă că:
$$BS=AD=10\text{ cm}\text{și}DS=AB=60\text{ cm}$$
Deoarece $BC=20\text{ cm}$ și $BS=10\text{ cm}$, deducem:
$$SC=BC-BS=20-10=10\text{ cm}$$
Așadar, $BS=SC=10\text{ cm}$, ceea ce înseamnă că $S$ este mijlocul segmentului $BC$.
În triunghiul $DBC$, segmentul $DS$ este înălțime și mediană, de unde rezultă că triunghiul $DBC$ este isoscel de bază $BC$ (având $DB=DC$).
(1p)

---

Subiectul al III-lea, 6)

a) Volumul de apă din acvariu este:
$$\mathcal{V}={\mathcal{A}}_{\text{bazei}}\cdot h_{\text{apa˘}}=AB\cdot BC\cdot h_{\text{apa˘}}=60\cdot 40\cdot 50=120000{\text{ cm}}^3$$
(1p)

Transformăm centimetrii cubi în litri:
$$120000{\text{ cm}}^3=120{\text{ dm}}^3=120\text{ litri}$$
(1p)

b) Lungimea segmentului $A^{\prime }C$ este constantă (este lungimea diagonalei paralelipipedului).
Perimetrul triunghiului $A^{\prime }MC$ este ${\mathcal{P}}_{A^{\prime }MC}=A^{\prime }C+A^{\prime }M+MC$, deci este minim atunci când suma $A^{\prime }M+MC$ este minimă.
(1p)

Desfășurăm fețele laterale $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ și $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ în același plan:
Obținem dreptunghiul $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ cu lungimea $AC=AB+BC=60+40=100\text{ cm}$ și lățimea $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }=60\text{ cm}$. Punctul $M$ se află pe segmentul interior $B{B}^{\prime }$.
Suma lungimilor $A^{\prime }M+MC$ este minimă dacă și numai dacă punctele $A^{\prime }$, $M$ și $C$ sunt coliniare (segmentul $A^{\prime }C$ reprezintă diagonala dreptunghiului desfășurat).
(1p)

În planul desfășurării, dreptele $MB$ și $A^{\prime }A$ sunt paralele, deci triunghiurile $△CBM$ și $△CA{A}^{\prime }$ sunt asemenea:
$$△CBM\sim △CA{A}^{\prime }⟹\frac{MB}{A{A}^{\prime }}=\frac{CB}{CA}$$
Înlocuind valorile cunoscute:
$$\frac{MB}{60}=\frac{40}{100}⟹MB=\frac{40\cdot 60}{100}=24\text{ cm}$$
Muchia laterală $B{B}^{\prime }$ este perpendiculară pe planul bazei $(ABC)$, deci $MB\perp (ABC)$. Prin urmare, distanța de la $M$ la planul $(ABC)$ este chiar lungimea segmentului $MB$:
$$d(M,(ABC))=MB=24\text{ cm}$$
(1p)

SUBIECTUL I

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. Rezultatul calculului $32:8+8\cdot 2$ este egal cu:

a) $1$
b) $4$
c) $20$
d) $24$

5p 2. Știind că $\frac{a}{b}=\frac{c}{2}$, $b\cdot c=30$ și $b\ne 0$, valoarea numărului $a$ este egală cu:

a) $60$
b) $30$
c) $15$
d) $10$

5p 3. Se consideră expresia $E(x)=3-(x+2)$, unde $x$ este număr real. Pentru $x=-2$, valoarea expresiei este egală cu:

a) $3$
b) $0$
c) $-1$
d) $-3$

5p 4. În tabelul de mai jos sunt trecute volumul unui pahar mic și volumul unui pahar mare.

Pahar mic	Pahar mare
$0,25$ litri	$0,5$ litri

Volumul a șase pahare mici și trei pahare mari, toate pline, este egal cu:

a) $2$ litri
b) $3$ litri
c) $4$ litri
d) $9$ litri

5p 5. Cel mai mic număr natural mai mare decât $3\sqrt{2}$ este:

a) $2$
b) $3$
c) $4$
d) $5$

5p 6. În graficul de mai jos sunt reprezentate rezultatele obținute la un test de matematică de elevii unei clase a VIII-a.

[Figura: Grafic cu bare reprezentând numărul de elevi pentru fiecare notă: nota 4 – 2 elevi, nota 5 – 6 elevi, nota 6 – 6 elevi, nota 7 – 6 elevi, nota 8 – 4 elevi, nota 9 – 4 elevi, nota 10 – 2 elevi]

Conform graficului, numărul elevilor care au obținut cel puțin nota 8 la acest test este egal cu:

a) $4$
b) $10$
c) $12$
d) $20$

---

SUBIECTUL al II-lea

Încercuiește litera corespunzătoare răspunsului corect. (30 de puncte)

5p 1. În figura alăturată sunt reprezentate punctele distincte $A$, $B$, $C$ și $D$. Punctul $C$ aparține dreptei $AB$ și punctul $D$ nu aparține dreptei $AC$. Numărul dreptelor determinate de oricare două dintre punctele $A$, $B$, $C$ și $D$ este egal cu:

[Figura: O dreaptă orizontală ce conține punctele A, C, B în această ordine și un punct D exterior dreptei]

a) $3$
b) $4$
c) $5$
d) $6$

5p 2. În figura alăturată $AB\parallel CD$ și măsura unghiului $ABC$ este de $45^{\circ }$. Valoarea lui $x$ este egală cu:

[Figura: Două drepte paralele AB și CD tăiate de secanta BC; unghiul ABC este de 45°, iar unghiul altern intern BCD este notat cu 3x]

a) $15$
b) $45$
c) $90$
d) $135$

5p 3. Diametrul unui cerc este de $22\text{ cm}$. Lungimea cercului este egală cu:

a) $11\pi \text{ cm}$
b) $22\pi \text{ cm}$
c) $44\pi \text{ cm}$
d) $121\pi \text{ cm}$

5p 4. În figura alăturată este reprezentat dreptunghiul $ABCD$. Diagonalele $AC$ și $BD$ se intersectează în punctul $O$, $\sphericalangle BOC=60^{\circ }$ și $AD=10\text{ m}$. Aria suprafeței $ABCD$ este egală cu:

[Figura: Dreptunghiul ABCD cu diagonalele AC și BD intersectate în O; măsura unghiului BOC este de 60° și AD = 10 m]

a) $50\sqrt{3}{\text{ m}}^2$
b) $100{\text{ m}}^2$
c) $100\sqrt{3}{\text{ m}}^2$
d) $200{\text{ m}}^2$

5p 5. În figura alăturată $ABCD$ este un dreptunghi, punctul $M$ este mijlocul segmentului $CD$ și punctul $I$ este intersecția dreptelor $BD$ și $AM$. Raportul dintre aria triunghiului $DIM$ și aria dreptunghiului $ABCD$ este egal cu:

[Figura: Dreptunghiul ABCD, M mijlocul laturii CD, segmentele BD și AM se intersectează în punctul I]

a) $\frac{1}{2}$
b) $\frac{1}{3}$
c) $\frac{1}{6}$
d) $\frac{1}{12}$

5p 6. În figura alăturată cubul $ABCDEFGH$ reprezintă o cutie confecționată din tablă care are muchia de $10\text{ cm}$. Afirmația „Pentru confecționarea cutiei este suficientă o foaie de tablă cu aria de $5{\text{ dm}}^2$” este:

[Figura: Cubul ABCDEFGH cu baza inferioară ABCD și baza superioară EFGH]

a) adevărată
b) falsă

---

SUBIECTUL al III-lea

Scrieți rezolvările complete. (30 de puncte)

5p 1. Într-un bloc de locuințe sunt apartamente cu două, trei și patru camere, în total fiind $40$ de apartamente care au $122$ de camere. Numărul apartamentelor cu trei camere este de cinci ori mai mare decât al celor cu patru camere.

(2p) a) Este posibil ca în acest bloc să fie nouă apartamente cu trei camere? Justifică răspunsul dat.

(3p) b) Determină numărul de apartamente cu două camere din acest bloc.

5p 2. Se consideră numerele: $a=2021-2021^0-(-1{)}^{2021}$ și $b=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{3}{\sqrt{2}}$.

(2p) a) Arată că $a=2021$.

(3p) b) Arată că numărul $N=\left((a-b{)}^2-(a+b{)}^2\right)\cdot b$ este întreg.

5p 3. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$.

(2p) a) Arată că $f(1)+f(3)=2\cdot f(2)$.

(3p) b) Reprezentarea geometrică a graficului funcției $f$ intersectează axele $Ox$ și $Oy$ ale sistemului de axe ortogonale $xOy$ în punctele $M$, respectiv $N$. Determină coordonatele simetricului punctului $M$ față de punctul $N$.

5p 4. În figura alăturată este reprezentat triunghiul $ABC$ cu $AB=10\text{ cm}$, $AC=24\text{ cm}$ și $BC=26\text{ cm}$, punctul $D$ reprezintă proiecția punctului $A$ pe dreapta $BC$ și punctele $G$ și $G^{\prime }$ sunt centrele de greutate ale triunghiului $ADC$, respectiv $ADB$.

[Figura: Triunghiul ABC cu înălțimea AD perpendiculară pe BC; punctele G și G' sunt centrele de greutate ale triunghiurilor ADC și ADB]

(2p) a) Arată că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $120{\text{ cm}}^2$.

(3p) b) Determină lungimea segmentului $G{G}^{\prime }$.

5p 5. În figura alăturată este reprezentat trapezul dreptunghic $ABCD$ cu $AD\parallel CB$, măsura unghiului $DAB$ este de $90^{\circ }$, $AD=10\text{ cm}$ și $AB=60\text{ cm}$. Punctul $T$ aparține segmentului $AB$, $AT=20\text{ cm}$ și unghiurile $ATD$ și $BTC$ sunt congruente.

[Figura: Trapezul dreptunghic ABCD cu AD paralel cu BC, unghiul DAB drept, T pe segmentul AB, unghiurile ATD și BTC congruente]

(2p) a) Arată că sinusul unghiului $BTC$ este egal cu $\frac{\sqrt{5}}{5}$.

(3p) b) Demonstrează că triunghiul $BCD$ este isoscel.

5p 6. În figura alăturată paralelipipedul dreptunghic $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ reprezintă un acvariu cu dimensiunile $AB=60\text{ cm}$, $BC=40\text{ cm}$ și înălțimea $A{A}^{\prime }=60\text{ cm}$. Apa din acvariu are adâncimea de $50\text{ cm}$.

[Figura: Paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D' cu baza inferioară ABCD și baza superioară A'B'C'D']

(2p) a) Arată că în acvariu sunt $120$ de litri de apă.

(3p) b) Se consideră punctul $M$ pe muchia $B{B}^{\prime }$ a paralelipipedului, astfel încât perimetrul triunghiului $A^{\prime }MC$ să aibă cea mai mică valoare. Determină distanța de la punctul $M$ la planul $(ABC)$.